中考数学几何专项冲刺专题18几何最值之费马点巩固练习（基础）含答案及解析

几何最值之费马点巩固练习1. 已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝.2. 如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为.3. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．4. 若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，则PB的值为；（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC．5. 如图，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC.连接BE，DC相交于点P，连接AP.（1）证明：点P就是△ABC费马点；（2）证明：PA＋PB＋PC＝BE＝DC；6. 如图，在△MNG中，，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和最小值是.几何最值之费马点巩固练习1. 已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝.【解答】【解析】如图，在等腰Rt△DEF中，，过点D作DM⊥EF于点M，过E、f分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1，，解得，则，，.2. 如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为.【解答】【解析】如图所示，∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1＋∠3＝60°，∠1＋∠2＝60°，∠2＋∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB，，即，.3. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．【解答】2【解析】如图，连接AC，把△AEC绕着点C顺时针旋转60º得到△GFC，连接EF、BG、AG，易证△EFG、△AGC都是等边三角形，则EF＝CE，又∵FG＝AE，∴AE＋BE＋CE＝BE＋EF＋FG，如下图所示：∵点B、G为定点，∴线段BG即为点E到A、B、C三点距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上，设正方形的边长为，则，，∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值是，∴，解得.4. 若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，则PB的值为；（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC．【解答】（1）；（2）见解析【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180º－∠APB＝60º，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60º，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120º，∴△ABP∽△BCP，；（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．∵∠B′EC＝∠APC＝120°，∠PEC＝60°∴∠B′EC＋∠PEC＝180°即P、E、B′三点在同一直线上，∵∠BPC＝120°，∠CPE＝60°，∴∠BPC＋∠CPE＝180°，即B、P、E三点在同一直线上∴B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．又PE＝PC，B′E＝PA，∴BB′＝EB′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．5. 如图，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC.连接BE，DC相交于点P，连接AP.（1）证明：点P就是△ABC费马点；（2）证明：PA＋PB＋PC＝BE＝DC；【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB交CD于O，如图所示：∵△ADB，△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，∵AM⊥CD，AN⊥BE，，∴AM＝AN，∴∠APM＝∠APN，∵∠AOD＝∠POB，∴∠OPB＝∠DAO＝60°，∴∠APN＝∠APM＝60°，∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，∴点P是就是△ABC费马点；（2）在线段PD上取一点T，使得PA＝PT，连接AT，如图所示：∵∠APT＝60°，PT＝PA，∴△APT是等边三角形，∴∠PAT＝60°，AT＝AP，∵∠DAB＝∠TAP＝60°，∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，∴△DAT≌△BAP（SAS），∴PB＝DT，∴PD＝DT＋PT＝PA＋PB，.PA＋PB＋PC＝PD＋PC＝CD＝BE.6. 如图，在△MNG中，，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和最小值是.【解答】【解析】以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，作DF⊥NM，交M的延长线于F，如图所示：∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME，在△GMO和△DME中，，