中考数学几何专项冲刺专题22平行四边形存在性问题巩固练习（基础）含答案及解析

平行四边形存在性问题巩固练习1．已知Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，点A，点B的坐标分别为（0，2），（3，0）．（1）写出以点O，A，B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；（2）直线l的解析式为y＝﹣2x+2，设点M为直线l上一点，过点M作AB的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M，N，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点，与y轴相交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使△BDP与△ABC相似，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）若点E是题中抛物线对称轴l上的动点，点F是抛物线上的动点，则是否存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W的解析式为y=−12x2﹣x+4，抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在A的右侧），与y轴交于点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），与抛物线的另一个交点为（1）求B、C两点的坐标及一次函数的解析式；（2）若P为抛物线的对称轴上一动点，当△BCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上一动点，过．M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示的平面直角坐标系，在△ABC中，∠A＝60°，边AB在x轴上，AC交y轴于点E，AC、BC的长是关于x的方程x2﹣16x+64＝0的两个根，且OA：OB＝1：3．（1）求点C的坐标；（2）求直线EB的解析式；（3）在平面内是否存在点P，使得以E、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）的图象于B点．若不论点A在何处，反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）图象上总存在一点6．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线E：y＝x2﹣4的图象与直线l：y＝﹣2交于A、C两点，B为抛物线y＝x2﹣4的顶点，抛物线F与E关于x轴对称．（1）求抛物线F的关系式；（2）x轴下方的F上是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将抛物线E的关系式改为y＝ax2+c（a＞0，c≠0），直线l的关系式改为y=−c8．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A、B的坐标；（2）求S△AOB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，且OA和OC的长分别是方程x2+bx+（1）求b，c的值（2）过点B作另一条直线交x轴于点D，使BD平分∠ABC，求直线BD的解析式；（3）在直线BD上是否存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−12x2+32x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若点N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M，使以点A，C，11．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，与对称轴交于D（m，2），其中B点在y轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个一次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）若点P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象仍交于E点，在直线AB上是否存在一点P，使得以D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y=kx（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝（1）B点的坐标为；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标．平行四边形存在性问题巩固练习1．已知Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，点A，点B的坐标分别为（0，2），（3，0）．（1）写出以点O，A，B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标；（2）直线l的解析式为y＝﹣2x+2，设点M为直线l上一点，过点M作AB的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M，N，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先由点的坐标求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（﹣3，2）或（3，2）或（3，﹣2）；（2）根据平行四边形的性质先求得M的横坐标，代入直线的解析式即可求得纵坐标．【解答】解：（1）设C点的坐标为（x，y），如图1，∵以点O，A，B，C顶点的四边形是平行四边形，①当BC＝AO时，∵O（0，0），B（3，0），A（0，2）∴AO＝2，∴BC＝2，∴C点坐标为C2（3，2）或C3（3，﹣2）②BO＝AC时，∵BO＝3，∴AC＝3，∴C点坐标为C1（﹣3，2），综上，第四个顶点C的坐标为（﹣3，2）或（3，2）或（3，﹣2）；（2）存在，如图2，过M1作CM1⊥y轴于C，过M1作M1E⊥x轴于E，∵B的横坐标是3，∴M1的横坐标是﹣3，代入直线y＝﹣2x+2得：y＝﹣2×（﹣3）+2＝8，∴M1（﹣3，8），过M2作DM2⊥y轴于D，∵B的横坐标是3，∴M2的横坐标是3，代入直线y＝﹣2x+2得：y＝﹣2×3+2＝﹣4，∴M2（3，﹣4），∴M点的坐标是：（﹣3，8）和（3，﹣4）．【点评】本题是一次函数的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想的运用是解题的关键．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点，与y轴相交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使△BDP与△ABC相似，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）若点E是题中抛物线对称轴l上的动点，点F是抛物线上的动点，则是否存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；（2）由三角函数正切值可得出∠ABC＝∠ABD，再去分两种情况讨论相似，由相似三角形的性质即可得出结论；（3）设出E点坐标（32，n），分BD为对角线以及BD为边讨论，由平行四边形的性质，用含n的代数式表示出F【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）三点，∴有0=a−b+c0=16a+4b+c−3=4a−2b+c，解得故抛物线的解析式为y=−12x2+（2）假设存在，且点P坐标为（m，0），令BC与y轴交点为M．抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2，令即点D坐标为（0，2）．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有0=4k+b−3=−2k+b，解得k=即直线BC的解析式为y=12令x＝0，则y＝﹣2，即点M（0，﹣2）．∵tan∠ABC=OMOB=∴∠ABC＝∠ABD．①当∠DPB＝∠CAB时，如图1，∵△BPD∽△BAC，∴BPBA∵A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），D（0，2），P（m，0），∴BD＝25，BC＝35，BA＝5，BP＝4﹣m，∴4−m5=2535此时P点的坐标为（23②当∠BAD＝∠BCA时，如图2，∵△ABC∽△DBP，∴BPBC∴4−m35=25此时P点的坐标为（﹣2，0）．综上知：在x轴上存在点P，使△BDP与△ABC相似，点P的坐标为（23（3）假设存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，有两种情况，一种BD为对角线，另一种BD为一条边．抛物线的解析式为y=−12x2+32x设点E的坐标为（32，n①当BD为对角线时，如图3，∵四边形DEBF为平行四边形，所以EF和BD互相平分，令中点为Q．∴Q点的坐标为（2，1），∴F点坐标为（52，2﹣n∵点F在抛物线上，∴2﹣n=−1解得n=−5即E点坐标为（32，−②当BD为一条边时，如图4，此时点F在点E的左侧，过E作EG∥x轴，过F作FG∥y轴，二者交于点G．∵四边形DEBF为平行四边形，∴BD＝EF，且BD∥EF，∵EG∥x轴，∴∠DBO＝∠FEG．在△BDO和△EFG中，有∠DBO=∠FEG∠BOD=∠EGF∴△BDO≌△EFG（AAS）．∴F点坐标为（−52，∴有n+2=−12×(−52即E点的坐标为（32，−由抛物线的对称性可知，还存在F点在E的右侧情况，此时F点坐标为（112，n∴有n﹣2=−12×(即E点的坐标为（32，−综合①②可得：存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，点E的坐标为（32，−58）、（32，−55【点评】本题考查了二次函数综合运用、全等三角形的判定以及性质和平行四边形的性质，解题的关键：（1）将已知点坐标代入解析式；（2）设出P点坐标，利用相似三角形的对应边之比等于相似比，找出含m的方程；（3）设出E点坐标，由平行四边形的性质可得出关于n的方程．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W的解析式为y=−12x2﹣x+4，抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在A的右侧），与y轴交于点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），与抛物线的另一个交点为（1）求B、C两点的坐标及一次函数的解析式；（2）若P为抛物线的对称轴上一动点，当△BCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上一动点，过．M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的解析式；（2）由A、B关于对称轴对称，则连接AC与对称轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可求得P点坐标；（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设M（x，−12x2﹣x+4），则可表示出N点坐标，从而可用t表示出MN，利用平行四边形的性质可得MN＝CD，可得到关于x的方程，可求得【解答】解：（1）在y=−12x2﹣x+4中，令y＝0可得0=−12x2﹣x+4，解得令x＝0可得y＝4，∴A（﹣4，0），B（2，0），C（0，4），∵一次函数y＝kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），∴2k+b=0b=3，解得k=−1.5∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3；（2）∵y=−12x2﹣x+4=−12（∴抛物线对称轴为x＝﹣1，如图1，连接AC交对称轴于点P，∵A、B关于对称轴对称，∴PA＝PB，∵A、P、C三点在一条线上，∴BP+PC最小，∴此时△PCB的周长最小，∵A（﹣4，0），C（0，4），∴直线AC解析式为y＝x+4，当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3，∴P（﹣1，3）；（3）∵点M是直线BE上一动点，∴可设M（x，﹣1.5x+3），∵MN∥y轴交抛物线于点N，∴N（x，−12x2﹣∴MN＝|﹣1.5x+3﹣（−12x2﹣x+4）|＝|0.5x2﹣0.5∵C（0，4），D（0，3），∴CD＝1，∵MN∥CD，∴当以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，则有MN＝CD，∴|0.5x2﹣0.5x﹣1|＝1，即0.5x2﹣0.5x﹣1＝1或0.5x2﹣0.5x﹣1＝﹣1，当0.5x2﹣0.5x﹣1＝1时，解得x=1±172，此时M点的坐标为（1+172，9+3当0.5x2﹣0.5x﹣1＝﹣1时，解得x＝0（M与D重合，舍去）或x＝1，此时M点坐标为（1，1.5），综上可知存在满足条件的M点，坐标为（1+172，9−3174）或（【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的应用、平行四这形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用平行四边形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．4．如图所示的平面直角坐标系，在△ABC中，∠A＝60°，边AB在x轴上，AC交y轴于点E，AC、BC的长是关于x的方程x2﹣16x+64＝0的两个根，且OA：OB＝1：3．（1）求点C的坐标；（2）求直线EB的解析式；（3）在平面内是否存在点P，使得以E、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程x2﹣16x+64＝0，可得到AC＝BC＝8，进而证得△ABC是等边三角形，得到AB＝8，再由OA：OB＝1：3，得到OA、OB的长，从而求得A、B的坐标即可求得C的坐标；（2）应用待定系数法即可求得直线AC的解析式，从而求得E的坐标，然后再根据待定系数法即可求得；（3）分别以E、B、C为顶点的三角形的三条边为对角线作出三个平行四边形，根据四边形的性质即可得到P的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣16x+64＝0得x1＝8，x2＝8，∴AC＝BC＝8∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝8，∵OA：OB＝1：3，∴AO=14×8＝2，∴C（2，43）；（2）∵A（﹣2，0），C（2，43），∴直线AC的解析式为y=3x+23∴E（0，23），∵B（6，0），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∴6k+b=0b=23解得∴直线BE的解析式为y=−33x+2（3）存在．如图，P点的坐标分别为：（﹣4，63），（4，﹣23），（8，23）．【点评】本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：设直线P为：y＝kx+b，然后把两个点的坐标代入确定k，b．也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四边形的性质．5．如图，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）的图象于B点．若不论点A在何处，反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）图象上总存在一点【分析】假设y2=kx上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，由四边形AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用AAS得到三角形AOC与三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE＝OC，DE＝AC，设A（a，2a）（a＞0），即OC＝a，AC=2a，得出D与B纵坐标，进而表示出D与B【解答】解：假设y2=kx上有一点D，使四边形过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，∵四边形AOBD为平行四边形，∴BD＝OA，BD∥OA，∴∠DBA＝∠OAB＝∠AOC，在△AOC和△DBE中，∠DBE=∠AOC∠DEB=∠ACO=90°∴△AOC≌△DBE（AAS），设A（a，2a）（a＞0），即OC＝a，AC=∴BE＝OC＝a，DE＝AC=2∴D纵坐标为4a，B纵坐标为2∴D横坐标为ak4，B横坐标为ak∴BE＝|ak4−ak2|＝a∴k＝﹣4．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．6．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y＝0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0）B（3，0），将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x−12）2+∴当x=12时，PE的最大值则△ACE的面积的最大值是：12×【2﹣（﹣1）】（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+7，0），F4（4−①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4④如图，同③可求出F的坐标为（4−7总之，符合条件的F点共有4个．【点评】本题是二次函数和一次函数以及平行四边形个的判定的综合应用，重点考查了数形结合以及分类讨论的思想方法．7．如图，已知抛物线E：y＝x2﹣4的图象与直线l：y＝﹣2交于A、C两点，B为抛物线y＝x2﹣4的顶点，抛物线F与E关于x轴对称．（1）求抛物线F的关系式；（2）x轴下方的F上是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将抛物线E的关系式改为y＝ax2+c（a＞0，c≠0），直线l的关系式改为y=−c【分析】（1）利用关于x轴对称的两点横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可；（2）先由抛物线E的解析式为y＝x2﹣4，求出A，C，B三点的坐标，得到AC＝22，再根据平行四边形的性质，得出当D点在x轴下方时，D点坐标为（﹣22，﹣4）或（22，﹣4），再把这两个点代入抛物线F的解析式中，发现这两个点满足F的解析式，从而得出所求点D的坐标；（3）把E的解析式系数用a代替，借助参数a来求证这两个点．方法跟前面一样．【解答】解：（1）∵抛物线F与E关于x轴对称，抛物线E的解析式为y＝x2﹣4，∴抛物线F的解析式为﹣y＝x2﹣4，即y＝﹣x2+4；（2）存在点D，而且还是两个．将y＝﹣2代入y＝x2﹣4，得x2﹣4＝﹣2，解得x＝±2，所以A点坐标为（−2，﹣2），C点坐标为（2抛物线y＝x2﹣4的顶点B的坐标为（0，﹣4），所以AC＝22，所以在x轴下方，当D点坐标为（﹣22，﹣4）或（22，﹣4）时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．将（﹣22，﹣4）代入抛物线F的解析式y＝﹣x2+4，得左边＝﹣4，右边＝﹣（﹣22）2+4＝﹣4，左边＝右边，点（﹣22，﹣4）在抛物线F上，同理，将（22，﹣4）代入抛物线F的解析式y＝﹣x2+4，得左边＝﹣4，右边＝﹣（22）2+4＝﹣4，左边＝右边，点（22，﹣4）在抛物线F上．综上所述，所求点D的坐标为（﹣22，﹣4）或（22，﹣4）；（3）不存在点D，理由如下：如图，将y=−c2代入y＝ax2+c，得ax2+c整理，得x2=−3c∵a＞0，c≠0，∴c＞0时原方程无解，点D不存在；c＜0时，解得x＝±−6ac2a，此时A点坐标为（−−6ac2a，−c2），C点坐标为（−6ac2a，−c抛物线E：y＝ax2+c的顶点B的坐标为（0，c），B在x轴下方，抛物线F的解析式为y＝﹣ax2﹣c．∵AC=−6ac∴在x轴下方，当D点坐标为（−−6aca，c）或（−6aca，c）时，以A，B，C将（−−6aca，c）代入抛物线F的解析式y＝﹣ax2﹣c，得左边＝c，右边＝﹣a（−−6aca）2﹣c＝5c，左边≠右边，点（−−6ac同理，将（−6aca，c）代入抛物线F的解析式y＝﹣ax2﹣c，得左边＝c，右边＝﹣a（−6aca）2﹣c＝5c，左边≠右边，点（−6aca，c综上所述，所求点D的坐标不存在．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合是解题的关键．8．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A、B的坐标；（2）求S△AOB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；（2）根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据y＝（x+2）2，可得函数图象的对称轴；（4）分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边，可得答案．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝22＝4，即B点坐标是（0，4），当y＝0时，（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，即A点坐标是（﹣2，0）；（2）如图，连接AB，S△AOB=12|AO|•|BO|（3）y＝（x+2）2的对称轴是x＝﹣2；（4）对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：当P点坐标是（﹣2，4）时，AP∥OB，AP＝OB，四边形PAOB是平行四边形；当P点坐标是（﹣2，﹣4）时，AP∥OB，AP＝0B，四边形PABO是平行四边形．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的关系，平行四边形的判定，分类讨论是解题关键．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，且OA和OC的长分别是方程x2+bx+（1）求b，c的值（2）过点B作另一条直线交x轴于点D，使BD平分∠ABC，求直线BD的解析式；（3）在直线BD上是否存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据自变量与函数的对应关系，可得A、B点坐标，根据互相垂直的两直线中一次项系数的乘积为﹣1，可得BC的解析式，根据函数值为零，可得C点坐标，根据根与系数的关系，可得答案；（2）根据角平分线分对边所得的线段与三角形的另外两边成比例，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；（3）分类讨论：①M1N1CB是平行四边形，根据平行线的一次项系数相等，可得CN的解析式，MN的解析式，根据M点的坐标满足MN的解析式，可得M点的坐标；②当M2N2BC是平行四边形，根据MB∥y轴，可得M点的横坐标，把M点的横坐标代入BD的解析式，可得答案．【解答】解：（1）当y＝0时，12x+6＝0，解得x＝﹣12，即A当x＝0时，y＝6，即B（0，6）．过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，得BC的解析式为y＝﹣2x+6，当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得x＝3，即C（3，0），OA的长为12，OB的长为3．OA和OC的长分别是方程x2+bx+c＝0的两个根，得﹣b＝12+3，b＝﹣15，c＝12×3＝36，b＝﹣15，c＝36；（2）设D（a，0），由线段的和差，得AD＝（a+12），BD＝（3﹣a），由勾股定理，得AB=(−12)2+62=6由BD平分∠ABC，得ADBD=AC解得a＝2，即D（﹣2，0），设BD的解析式为y＝kx+b，将B、D点坐标代入解析式，得b=6−2k+b=0解得k=3b=6BD的解析式为y＝3x+6；（3）设M（a，3a+6），如图1：①当M1N1CB是平行四边形时，N1C∥BD，M1N1∥BC，设CN1的解析式为y＝3x+b，将C（3，0）代入函数解析式，得3×3+b＝0，解得b＝﹣9，即N1（0，﹣9），M1N1的解析式为y＝﹣2x﹣9，将M（a，3a+6）代入函数解析式，得﹣2a﹣9＝3a+6，解得a＝﹣3，3a+6＝﹣3，即M1（﹣3，﹣3）；如图2：②当M2N2BC是平行四边形时，M2C∥y轴，M2的横坐标与C点的横坐标相等，把x＝3代入BD的解析式，得y＝3×3+6＝15，即M2（3，15）．综上所述：在直线BD上存在一点M，过点M作MN∥BC交y轴于点N，使以M，N，B，C为顶点的四边形是平行四边形，M1（﹣3，﹣3），M2（3，15）．【点评】本题考查了一次函数综合题，利用了函数与自变量的对应关系，得出A、B、C的坐标，利用了根与系数的关系，角平分线的性质，平行线的性质：平行线的一次项的系数相等，运用知识点较多，综合性较强，题目有一定难度．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−12x2+32x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若点N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M，使以点A，C，【分析】求出求出A、B、C三点坐标，画出图形即可解决问题．【解答】解：存在．理由如下，对于抛物线y=−12x2+32x+2，令y＝0得−12x2+32∴B（﹣1.0），A（4，0），C（0，2）．对称轴x=3如图所示，①当以AC为边时，易知点M的横坐标为112或−52，此时M1（112，−398），M②当以AC为对角线时，易知点M的横坐标为52，此时M3（52，综上所述，当点M的坐标为（112，−398）或（−52，−398）或（52，218【点评】本题考查二次函数的应用、平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，与对称轴交于D（m，2），其中B点在y轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个一次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）若点P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象仍交于E点，在直线AB上是否存在一点P，使得以D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把D（m，2）代入y＝x+m，得到2＝m+m，得m＝1，所以直线解析式为y＝x+1，得点B坐标（0，1），因为二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），所以可以假设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2，把B（0，1）代入即可解决问题．（2）PE的长实际是直线AB的解析式与抛物线的差．由此可得出h，x的函数关系式，自变量的取值范围由图象即可解决．（3）先求出D点的坐标和CD的长，由于四边形PDCE是平行四边形，因此CD＝PE，将CD的长代入（2）的函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的P点，如果有解，那么求出的x就是P的横坐标，进而可根据直线AB的解析式求出P点的坐标．【解答】解：（1）把D（m，2）代入y＝x+m，得到2＝m+m，∴m＝1，∴直线解析式为y＝x+1，∴点B坐标（0，1），∵二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），∴可以假设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2，把B（0，1）代入得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2即y＝x2﹣2x+1；（2）由