中考数学几何专项冲刺专题28网格中的三角函数（基础）含答案及解析

专题28网格中的三角函数（基础）一．选择题1．如图所示的正方形网格中有∠α，则tanα的值为（）A．12 B．55 C．22．如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值是（）A．34 B．45 C．433．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（）A．43 B．34 C．354．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（）A．12 B．55 C．255．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（）A．34 B．25 C．356．如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13 B．1010 C．127．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．43 B．34 C．358．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．12 C．2559．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34 B．35 C．4510．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED＝（）A．1 B．22 C．12 11．在正方形网格中，△ABC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（）A．33 B．12 C．22二．填空题12．如图所示的网格是正方形网格，则tanα+tanβ＝．13．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A与BC交于点F，则tan∠DEF＝．14．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是．15．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD都交于O，则sin∠AOD＝．17．如图，在正方形网格中，cos∠ACB＝．18．如图，点A，B，C均在正方形网格点上，则tanC＝．19．如图，在3×3的正方形网格中有一个四边形ABCD，若小正方形的边长为1，则sin∠ADB+cos∠DBC＝．20．已知α，β为锐角，tanα=17，tanβ＝2，利用如图所示的网格计算tan（α+β）的值为三．解答题21．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值．22．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，（1）则△ABC的面积为；（2）试求sinA的值．23．如图，△ABC的顶点是边长为1的正方形网格的格点，（1）直接写出cosB和tan（∠ACB﹣90°）的值；（2）求sinA的值．24．【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连接格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连接AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为．【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．25．如图，边长为5km的正方形网格表示海平面示意图，其中阴影部分表示轮船无法通过的海域，甲轮船从A码头出发沿北偏东45°方向以10km/h的速度行驶202km到C地．休息半小时后，再以同样速度沿正东方向行驶15km，然后沿西北方向行驶102km到达B岛．（1）在图中画出甲轮船行驶的示意图；（2）乙轮船比甲轮船从A码头晚出发2h，并以15km/h的速度行驶，途中不休息，问：乙轮船能否先于甲轮船到达B岛？若能，画出乙轮船航线示意图并说明理由；若不能，请说出为什么．专题28网格中的三角函数（基础）一．选择题1．如图所示的正方形网格中有∠α，则tanα的值为（）A．12 B．55 C．2【分析】利用网格特点，构建Rt△ACB，然后利用正切的定义求解．【解答】解：如图，在Rt△ACB中，tanα=AB故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．2．如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值是（）A．34 B．45 C．43【分析】利用网格特点得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定义求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴tan∠BAC=4故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（）A．43 B．34 C．35【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，∴cos∠BAC=AD故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（）A．12 B．55 C．25【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论．【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，tanB=AD故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数．题目比较简单，掌握正切函数的定义是解决本题的关键．5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（）A．34 B．25 C．35【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，∴AB=AH2∴cos∠BAC=AH故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．6．如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13 B．1010 C．12【分析】作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，tan∠ACB=AH故选：A．【点评】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．43 B．34 C．35【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC=A∴sin∠BAC=CD故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．8．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．12 C．255【分析】连接BC，先根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：如图，连接BC．根据勾股定理可得AC2＝22+22＝8，BC2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan∠BAC=BC故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，判断△ABC是直角三角形是解题的关键．9．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34 B．35 C．45【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosα=CD【解答】解：如图所示：∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝5∴cosα=CD故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O半径为1，圆心O在格点上，则tan∠AED＝（）A．1 B．22 C．12 【分析】根据锐角三角函数的定义求出tan∠ABC，根据圆周角定理得到∠AED＝∠ABC，得到答案．【解答】解：∵AC＝1，AB＝2，∴tan∠ABC=AC由圆周角定理得，∠AED＝∠ABC，∴tan∠AED=1故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、圆周角定理的应用，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．11．在正方形网格中，△ABC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为（）A．33 B．12 C．22【分析】在直角△ABC中，首先利用勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：AB=AC2则sin∠BAC=BC故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．二．填空题12．如图所示的网格是正方形网格，则tanα+tanβ＝4．【分析】根据题意和图形，可以计算出tanα+tanβ的值，本题得以解决．【解答】解：由图可得，tanα+tanβ=AC故答案为：4．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．13．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A与BC交于点F，则tan∠DEF＝12【分析】根据圆周角定理得出∠DBC＝∠DEF，进而得出tan∠DEF＝tan∠DBC，求出答案即可．【解答】解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，则tan∠DEF＝tan∠DBC=DC故答案为：12【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出tan∠DEF＝tan∠DBC是解题关键．14．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是35【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出即可．【解答】解：如图所示：∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinα=AC故答案为：35【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．15．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB＝∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，∴∠AOB＝∠COD，故答案为：＝【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD都交于O，则sin∠AOD＝255【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．【解答】解：由网格可得：△AEB是Rt△，AE＝22，AB=10DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，故sin∠AOD＝sin∠ABE=AE故答案为：25【点评】此题主要考查了解直角三角形，得出sin∠AOD＝sin∠ABE是解题关键．17．如图，在正方形网格中，cos∠ACB＝55【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出BC的长，结合余弦的定义可求出cos∠ACB的值，此题得解．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，如图所示．在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝2，∴BC=B∴cos∠ACB=CD故答案为：55【点评】本题考查了解直角三角形，牢记余弦的定义是解题的关键．18．如图，点A，B，C均在正方形网格点上，则tanC＝12【分析】连接AD，如图，利用网格特点得到∠ADC＝90°，CD＝2AD，然后根据正切的定义求解．【解答】解：连接AD，如图，易得∠ADC＝90°，而CD＝2AD，所以tanC=AD故答案为12【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．19．如图，在3×3的正方形网格中有一个四边形ABCD，若小正方形的边长为1，则sin∠ADB+cos∠DBC＝55+【分析】根据锐角三角函数的定义进行解答．【解答】解：如图，AD=AE2+DE2∴sin∠ADB=AEAD=1∴sin∠ADB+cos∠DBC=5故答案是：55【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理．熟练掌握锐角三角形函数定义即可解答，属于基础题型．20．已知α，β为锐角，tanα=17，tanβ＝2，利用如图所示的网格计算tan（α+β）的值为【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tanα=17，tantan（α+β）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，正切函数是对边比邻边，画图准确是解题关键．三．解答题21．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值．【分析】根据正方形网格中每个小正方形的边长均为1，可以求得边AB、AC、BC的长，然后即可得到得到CD的长，从而可以求得∠sinA，cosA，tanA与sinB，cosB，tanB的值．．【解答】解：∵在正方形网格中每个小正方形的边长均为1，∴AC=12+22=5∴AB⋅CD2=4×3解得，CD＝1，∴AD=(5)2∴sinA=CDAC=15=5sinB=110=1010，cosB即sinA=55，cosA=255【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意求出各边的长，然后求出各角的余弦值．22．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，（1）则△ABC的面积为6；（2）试求sinA的值．【分析】（1）根据三角形的面积＝正方形的面积﹣三个角上三角形的面积即可得出结论．（2）作出AB边的高CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．【解答】解：（1）S△ABC＝4×4−12×4×2−＝16﹣4﹣2﹣4＝6．故答案为6．（2）CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝25，∵12AB•CE∴CE=2×6sinA=CE【点评】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．23．如图，△ABC的顶点是边长为1的正方形网格的格点，（1）直接写出cosB和tan（∠ACB﹣90°）的值；（2）求sinA的值．【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥BC于F，AE⊥CE于E．在直角△ABF中，cosB=BF在直角△ACE中，tan（∠ACB﹣90°）＝tan∠ACE=AE（2）如图，过点C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12CD×AB=12∴CD×AB＝BC×AF，∴CD×32=∴CD=2在Rt△ADC中，sinA=CD【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．24．【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连接格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连接AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为3．【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．【分析】（1）在Rt△ABE中，利用正切函数的定义求出tan∠ABE即可．（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CE∥AB，那么∠APD＝∠ECD．利用割补法求出△ECD的面积=11由勾股定理求出CE=17，那么根据三角形的面积公式得出DM=1117【解答】解：（1）如图1，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠CPB，∴tan∠ABE＝tan∠CPB，∵∠AEB＝90°，∴tan∠CPB＝tan∠ABE=AE故答案为3．（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．∵BC∥AE，BC＝AE，∴四边