备战2025年高考理科数学考点一遍过考点20平面向量的数量积及向量的应用

专题20平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角：.（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|.【注】当与同向时,；当与反向时,.（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即为和的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1若向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)与向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)共线,则QUOTEm⋅n=A．QUOTE00 B．QUOTE44C． D．【答案】D【解析】因为向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)与向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)所以QUOTE2k-1=4k2k-1=4k，解得QUOTEk=-12k=-12.即QUOTEm=(-2,-12)m=(-2,-12)，QUOTE所以QUOTEm⋅nm⋅n=.选D．典例2已知向量与的夹角为QUOTE450450，则__________．【答案】QUOTE1+21+2【解析】由向量与的夹角为QUOTE450450，得.1．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则=A． B．2C．3 D．42．已知菱形的边长为2，，则A．4 B．6C． D．考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例3在平行四边形中，若则A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中，，，，，因为，所以，则，所以.故选C．3．已知向量,且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.典例4已知平面向量的夹角为，且，则A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以.故选B．4．已知QUOTEOA=2，0，OB=0，2OA=2，0，OB=0，2，QUOTEAC=tAB，t∈R考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G是的重心，则或(其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．(2)垂心．若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心．(3)内心．若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心．(4)外心．若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.典例5等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，则，∴.设向量的夹角为，则.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.5．扇形OAB的半径为1，圆心角为QUOTE90∘90∘，P是QUOTEABAB上的动点，则QUOTEOP⋅(OA-OB)OP⋅(OA-A．0 B．QUOTE-1-1C．QUOTE-2-2 D．QUOTE1212典例6已知，，函数.（Ⅰ）求函数QUOTEfxfx的零点；（Ⅱ）若锐角的三个内角QUOTEAA、QUOTEBB、QUOTECC的对边分别是QUOTEaa、QUOTEbb、QUOTEcc，且QUOTEfA=1fA=1，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）由条件可知:，∴.故函数QUOTEfxfx的零点满足,由，解得,．（Ⅱ）由正弦定理得①.由（Ⅰ）知，而QUOTEfA=1fA=1，得，∴，又，得.∵，QUOTE∴∴，代入①化简得：，又在锐角中，有，又，QUOTE∴∴，∴，则有，即：QUOTE3<b+ca≤23<【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.6．在中,内角的对边分别为,且向量，若.（1）求的值；（2）若,求在方向上的投影.典例7一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．【答案】【解析】由题意知F3=−(F1＋F2)，∴|F3|=|F1＋F2|，∴|F3|2=|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28，∴|F3|=.7．在水流速度为的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________.1．已知向量QUOTEa=(3,0)a=(3,0)，QUOTEb=(x,-2)b=(x,-2)，且QUOTEa⊥(a-2b)a⊥(a-2bA．QUOTE-3-3 B．QUOTE-32-32C．QUOTE33 D．QUOTE32322．已知向量，则A．0 B．－1C．2或－2 D．3．已知共点力F1=(lg2，lg2)，F2=(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s=(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为A．lg2 B．lg5C．1 D．24．设向量QUOTEaa，QUOTEbb满足QUOTEa=2b=2a=2b=2且QUOTE2a+3b=12a+3b=1，则向量QUOTEaa在向量QUOTEbb方向的投影为A．-2 B．-1C．1 D．25．已知向量，则下列结论正确的是A． B．C． D．6．已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是A． B．C．且 D．7．在矩形中，,．若点，分别是，的中点，则A．4 B．3C．2 D．18．在中，，，，设点、满足，，若，则A． B．2C． D．39．中，设，若，则是A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法确定其形状10．已知向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则向量与的夹角为A． B．C． D．11．已知向量QUOTEa=(x-1,2),b=(2,1)a=(x-1,2),b=(2,1),则“QUOTEx>0x>0”是“QUOTEaa与QUOTEbbA．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件12．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是A．－ B．－2C．－ D．－113．已知点，，，若，则的值为A． B．C． D．14．已知QUOTEOO是内部一点，QUOTEOA+OB+OC=0OA+OB+OC=0，QUOTEAB⋅AC=2AB⋅AC=2且QUOTE∠BAC=60°A．QUOTE3333 B．QUOTE33C．QUOTE3232 D．QUOTE232315．平面直角坐标系QUOTExOyxOy中，分别是与QUOTExx轴、QUOTEyy轴正方向同向的单位向量，向量，，则以下说法正确的是A． B．C． D．16．已知是互相垂直的单位向量,向量,,则__________．17．平面向量QUOTEaa与QUOTEbb的夹角为QUOTE45°45°，QUOTEa=(1,-1)a=(1,-1)，QUOTE|b|=1|b|=1，则QUOTE|a+2b|=|a+2b|=__________．18．已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．19．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，且，则的值是．AABCEFD20．在平行四边形中，，点在边上，则的取值范围是．21．设向量，其中，若，则.22．已知向量QUOTEABAB与QUOTEACAC的夹角为QUOTE120°120°，且QUOTEAB=2AB=2，QUOTEAC=3AC=3.若QUOTEAP=λAB+ACAP=λAB+AC，且QUOTEAP⊥BCAP⊥BC,则实数QUOTEλλ的值为__________．23．在平行四边形中，.（1）用表示；（2）若，，求的值.24．如图，在四边形QUOTEOBCDOBCD中，QUOTECD=2BOCD=2BO，QUOTEOA=2ADOA=2AD，QUOTE∠D=90°∠D=90°，且QUOTEBO=AD=1BO=AD=1.（1）用QUOTEOA,OBOA,OB表示QUOTECBCB；（2）点QUOTEPP在线段QUOTEABAB上，且QUOTEAB=3APAB=3AP，求QUOTEcos∠PCBcos∠PCB的值.1．（2019年高考全国I卷理数）已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A． B． C． D．2．（2019年高考全国II卷理数）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．−3 B．−2C．2 D．33．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知向量，满足，，则A．4 B．3C．2 D．04．（2019年高考北京卷理数）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A．5 B．6C．7 D．86．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A．−1 B．+1C．2 D．2−7．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B．C． D．8．（2017北京理科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2019年高考全国III卷理数）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.10．（2019年高考天津卷理数）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．11．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=___________．12．（2017天津理科）在中，，，．若，，且，则的值为___________．13．（2017山东理科）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是___________．14．（2017浙江）已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．15．（2019年高考江苏卷）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．变式拓展变式拓展1．【答案】C【解析】在平行四边形中，，，则，，则．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示，菱形的边长为2，，∴，∴，∴，且，∴，故选B．3．【答案】【解析】∵与的夹角为钝角，∴，即，∴.又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得.应该排除反向的情形，即排除，于是实数λ的取值范围为.【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,;当夹角为180°时,,这是容易忽略的地方.4．【答案】QUOTE1212【解析】QUOTE∵AC=tAB,∴OC-得QUOTEOC=tOB+1-tOA=QUOTEOC=2-2t2+4t2当QUOTEt=12t=12时，QUOTEOCOC有最小值QUOTE1212.5．【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设点QUOTEP(x,y)P(x,y)，则QUOTE0≤x≤10≤y≤1x2+y2=10≤x≤1QUOTE∴OP=(x,y)∴OP=(x,y)，QUOTEOA=(1,0)OA=(1,0)，QUOTEOB=(0,1QUOTE∴OP⋅(OA-OB)=x-y由图形可知，当QUOTEx=0x=0，QUOTEy=1y=1时，上式取得最小值是QUOTE-1-1．故选B．6．【解析】（1）∵，，，又为的内角，.（2）在中，由正弦定理，得，，，为锐角，，由余弦定理，得，解得或（舍去）.∴在方向上的投影为.7．【答案】【解析】如图，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表实际航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小为.专题冲关专题冲关1．【答案】D【解析】∵QUOTEa=(3,0)a=(3,0)，QUOTEb=(x,-2)b=(x,-2)，∴QUOTEa-2b=3又QUOTEa⊥(a-2b)a⊥(a-2b)，∴QUOTE33-2x=033-2x=0故选D.2．【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选A．3．【答案】D【解析】由题意，共点力F1=(lg2，lg2)，F2=(lg5，lg2)作用在物体M上，其合力为F1+F2=（1，2lg2）,产生位移s=(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W=(F1+F2)QUOTE∙s=2lg5+2故QUOTE选D选D.4．【答案】A【解析】由题意可知：QUOTEa=2b=2a=2b=2，，则QUOTE2a+3b2=4a5．【答案】D【解析】选项A：=，所以选项A错误；选项B：，∴不平行于，所以选项B错误；选项C：，因为，所以选项C错误；选项D：，因为，所以选项D正确，故选D.6．【答案】C【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，由，得.当向量，共线时，，得，此时.所以且.故选C．7．【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，，∴.故选C．8．【答案】D【解析】因为，所以，所以.由已知，，则.故选D.9．【答案】C【解析】因为QUOTEc⋅(c+a-b)=AB⋅(AB+BC-CA)=2AB⋅AC=2|AB故选C．10．【答案】A【解析】设向量与的夹角为，因为向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，所以，即，则，又，所以，故选A．11．【答案】C【解析】若QUOTEaa与QUOTEbb的夹角为锐角,则QUOTEa·b>0a·b>0,且QUOTEaa与QUOTEbb不平行,所以QUOTEa·b=2x>0a·b=2x>0,得x>0,且QUOTEx-1≠4,x≠5x-1≠4,x≠5,所以“QUOTEx>0x>0”是“QUOTEaa与QUOTEbb的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C．12．【答案】A【解析】以为轴，以边上的高为轴建立平面直角坐标系，如图，则，设，则，所以当时，取得最小值.故选A．13．【答案】C【解析】，，，则，.故选C.14．【答案】A【解析】由QUOTEOA+OB+OC=0OA+OB+OC=又QUOTEAB⋅ACAB⋅ACQUOTE=|AB||AC|cos600=2=|AB||AC|cos600=2，所以QUOTE|AB||故选A．15．【答案】B【解析】由题意不妨设，则，，据此逐一考查所给的选项：QUOTEa=4+0=2a=4+0=2，QUOTEb=1+1=2b=1+1=2，则QUOTEaQUOTEa-b=1,-1,a-b⋅b=1,-1⋅1,1=0aQUOTEa⋅b=2,0⋅1,1=2a⋅b=2,0⋅1,1=2不存在实数QUOTEλλ满足QUOTEa=λba=λb，则不成立，选项D错误.故选B.16．【答案】2【解析】由题得.17．【答案】QUOTE1010【解析】由QUOTEa=1,-1a=1,-1，得QUOTEa=2a=又QUOTEb=1b=1，且向量QUOTEa与ba与b的夹角为QUOTE45∘45∘，QUOTE∴a+2b2=a2QUOTE∴a+2b=1018．【答案】【解析】由与共线得：，解得：.向量在方向上的投影为：.19．【答案】 【解析】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，∴，，∴.20．【答案】【解析】因为点在边上，所以设，则，，所以，又，所以，故答案为．21．【答案】【解析】将的两边平方并化简可得，，又∵，是单位向量，∴，即，即，又∵，∴.22．【答案】【解析】由题意可得QUOTEAP⋅BC=0AP⋅BC=0，即QUOTE(λAB+AC整理得QUOTEAC2+(λ-1)AB⋅AC-λ因为向量QUOTEABAB与QUOTEACAC的夹角为QUOTE120°120°，且QUOTEAB=2AB=2，QUOTEAC=3AC=3，所以QUOTE9+(λ-1)×2×3×(-12)-4λ=09+(λ-1)×2×3×(-12)-4λ=0，23．【解析】（1）.（2）∵，，∴.由图可得：，∴.24．【解析】（1）因为QUOTEOA=2ADOA=2AD，所以QUOTEDO=32AO因为QUOTECD=2BOCD=2BO，所以QUOTECB=CD+DO+OBCB=CD+DO+（2）因为QUOTECD=2BOCD=2BO，所以QUOTEOB∥CDOB∥CD.因为QUOTEOA=2ADOA=2AD，所以点QUOTEO,A,DO,A,D共线.因为QUOTE∠D=90°∠D=90°，所以QUOTE∠O=90°∠O=90°.以QUOTEOO为坐标原点，QUOTEOAOA所在的直线为QUOTExx轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为QUOTEBO=AD=1BO=AD=1，QUOTECD=2BOCD=2BO，QUOTEOA=2AD所以QUOTEA(2,0),B(0,1),C(3,2)所以QUOTEAC=(1,2)AC=(1,2)，QUOTEAB=(-2,1)因为点QUOTEPP在线段QUOTEABAB上，且QUOTEAB=3APAB=3AP，所以QUOTEAP=13AB=(-2所以QUOTECP=AP-AC=(-5因为QUOTE CB=(-3,-1) CB=(-3,-1)所以.直通高考直通高考1．【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．2．【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．【名师点睛】本题专题为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【答案】B【解析】因为QUOTE,,所以选B.4．【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即，因为，所以|+|>||；当|+|>||成立时，|+|2>|-|2•>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.故选C．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.5．【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为QUOTE2323的直线方程为QUOTEy=23(x+2)y=23(x+2)，与抛物线方程联立，消元整理得：QUOTEy2-6y+8=0y2-6y+8=0，解得QUOTEM(1,2),N(4,4)M(1,2),N(4,4)，又QUOTEF(1,0)F(1,0)，所以QUOTEFM=(0,2),FN=(3,4)FM=(0,2),FN=(3,4)，从而可以求得QUOTEFM⋅FN=0×3+2×4=8FM⋅FN6．【答案】A【解析】设QUOTEa=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)，则由QUOTEa,e=π3a由b2−4e·b+3=0得QUOTEm2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|a−b|的最小值为圆心QUOTE(2,0)(2,0)到直线QUOTEy=±3x7．【答案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐