2025年高考数学一轮复习：一元函数的导数及其应用

第三章

一元函数的导数及其应用

第一节导数的概念及其意义、导数的运算

［学习要求］1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.

能根据导数定义求函数y=C（C为常数），y=x,y=x2,y=x3,y=~,y=G的导数.4.

能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.了解复合函

数的求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如/（ax+6）的复合函数）的导数.

，必备知识■差鎏意

［知锂梳理］

知识点一函数y=/（x）在x=xo处的导数

如果当心-0时，平均变化率♦无限趋近于一个确定的值,即穿有极限，则称尸;■

定义（X）在X=Xo处可导，并把这个确定的值叫做v=f（X）在X=Xo处的导数（也称为瞬

时变化率）

Avf(x0+△%)-/(%)

记法记作了(必)或门，即/(刖)=lim△=limA

।%=%oA%#%A%T0故

几何函数y=/（x）在x=x0处的导数了（劭）就是过该点切线的斜率后o，即％o=lim

f（Xo+△%）-/（%o）

意义AX须L

知识点二导数的物理意义

函数S=S（t）在点电处的导数s'（而）是物体在to时刻的瞬时速度V，即"=S'（电）;v=v

⑺在点电处的导数V'（击）是物体在勿时刻的瞬时加速度。，即°="5）.

知识点三基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)=C(C为常数)f(x)=Q

f(x)=¥(a£R,且aWO)f(x)=此一1

f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x)—cosXf(x)=—sinx

f(x)=8f(x)=铲

f(x)=ax(。>0,且aWl)f(x)=6/4na

1

f(x)=lnxf(X)=-

f(x)=焉

f(x)=log/(Q>0,且QWI)

知识点四导数的运算法则

1.导数的四则运算法则

若，(X),g,(X)存在，则有

(1)函数和差求导法则：[f(x)±g(x)]—/(x)±g'(x)；

(2)函数积的求导法则：g(x)y=f(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(X)1

(3)函数商的求导法则：g(x)WO,则—9(—%).'=

/'(%)9(x)-f(%)g'O)

[90)]2

2.复合函数的定义及其导数

(1)一般地，对于两个函数＞=/(K)和"=g(X),如果通过中间变量小》可以表示成

X的函数，那么称这个函数为函数(〃)与〃=g(X)的复合函数，记作歹=/(g

(X)).

学生用书1第53页

(2)复合函数y=/(g(x))的导数与函数》=/(〃)，u=g(x)的导数间的关系为四

=即歹对X的导数等于〉对M的导数与〃对X的导数的乘积.

［小瓢馀断］

1.（2024•河北邯郸模拟）下列求导运算中正确的是（）

A.（4）'=2B.（3"）'=X-3XT

C.（lnx）r=^^D.（X5）'=5X4

答案：D

解析：对于A,（4）,=0,故A错误；

对于B,（3"），=3叼113,故B错误；

1

对于C,（Inx）r=-,故C错误；

对于D,（/），=5x4,故D正确.

2.（2024•河南郑州模拟）已知/COue^+sinx,则/（0）=（）

A.lB.-1

C.2D.0

答案：C

解析：因为所以/（0）=eO+cos0=2.

3.（2024•江苏连云港模拟）曲线y=x3+l在点（42）处的切线方程为（）

A.y=3x+3B.y=3x~l

C.y=_3x—1D.y=-3x—3

答案：B

解析：因为〃+i=2,所以Q=I,即切点坐标为（1,2）,由/（%）=3N,所以/（1）=3,所

以y=R+l在点（1,2）处的切线方程为y—2=3（%_1）,即

2x

4.（2024•安徽合肥模拟）设函数大幻=七，若/（。）=1，则。=.

答案：1

2e2x(x+a)-e2x2a-l

解析:由题意可知/(X)=—;-3—,且/(O)=l,则1,

(x+a)a

整理可得02—20+1=0,解得a=l.

力关键能力■:最I建窿

考点一变化率问题

[例1]（1）（2024•云南楚雄模拟）已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液

1

体，且容器内液体的高度〃（单位：cm）与时间，（单位：s）的函数关系式为〃

当/=访时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当/=电+1时，液体上升高度的瞬时

变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/s

C.8cm/sD.10cm/s

/(%o+卧%)-f(%o)

(2)已知函数/(x)的导函数是7(x),若/(劭)=2,则lim---------晟-----

AITO

()

1

A，2B.l

C.2D.4

［答案］(1)C(2)B

1

［解析］(1)由〃=§户+卢，得〃=祥+2才.

-==

当/=电时，hCQ-I2?o3,解得t()=1(fg—3舍去).

故当t=fo+l=2时，液体上升高度的瞬时变化率为22+2X2=8cm/s.

(2)因为/(x0)=2,

1/(%+/%)—/100)1

f［xo+^x)-f(/)

所以史°~m—2lim--------i-----------=寸(汽)=1.

△%->o那％

1.求平均变化率的步骤

物体的运动方程为y=f(久)，求在区间的平均变化率的步骤：

(1)求时间的改变量=x

(2)求函数值的变化量Ay=/(x)-/(%).

Ay

(3)求平均变化率菽・

2.求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量△/和位移改变量Av=s(Zo+Af)-s&o)-

—As

(2)求平均速度万=瓦.

As

(3)求瞬时速度，当加无限趋近于0时，而无限趋近于常数v,即为瞬时速度.

3.求黑(当Ax无限趋近于0时)的极限的方法

(1)在极限表达式中，可把AH乍为一个数来参与运算.

(2)求出宾的表达式后，Ax无限趋近于0,可令Ax=0,求出结果即可.

。跟踪训练

1.已知函数y=/(x)的图象如图所示，函数＞=/(无)的导数为＞=1(X),则(

Af(2)<f(3)<f(3)~f(2)

B.f(3)</(2)<f(3)-/(2)

C.f(2)<f(3)~f(2)<f(3)

D/(3)<f(3)~f(2)<f(2)

答案：D

f(3)-f(2)

解析：由/(X)图象可知/(3)<—匚^—</(2),

即，(3)<f(3)~f(2)<f(2).

学生用书1第54页

考点二导数的运算

［例2］求下列函数的导数.

(1)/(x)=(―2x+l)2；(2)/(x)=旧+4；

In(2x+1)

(3)fG)=23x+2；(4)歹=——-——；

(5)y=x(6)y=xsin(2%+亦OS(2%+2).

［解］(1)因为/(%)=(—2x+l)2=4N—4x+l,所以/(x)=8x—4.

,有

(2)因为/(x)=75---7---+--T4,所以/(x)=51*声5言=扉5一•

(3)因为/(x)=23工+2,所以，(x)=3X2fe+2ln2.

产［r~ln(2x+1)

(4)

［in(2x+1)］'x-x'ln(2x+1)

(2x+iy

2x+i，x-1”(2x+1)

2%+1-E(2%+l)2x—(2x+1)In(2x+1)

%2(2x+1)x2

ex(ex-l)-(ex+l)ex_2e"

(5)y,=-2="2•

(e—1)(e—1)

(6)因为>=xsin(2%+5)cos(2%+2)=尹sin(4X+K)=—^xsin4x,

所以,=(一；

y9)'sin4x+(—%)(sin4x)'=

111

—'sin4x—4cos4x=—,sin4x_2xcos4x.

I方法总结I

导数运算的6种形式及技巧

连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导

分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导

对数形式先化为和、差的形式，再求导

根式形式先化为分数指数塞的形式，再求导

三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导

复合形式先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

门跟踪训练

2.（多选）（2024•山东济南质检）下列求导运算正确的是（）

A，(in%)xln2x

B.(NeD'=2%+k

'n

C【cos(:2%~3

1,1

D^X_-y=l+-

答案：AD

/1\11

解析：（启）'=一赢,（lnx）'=一记，故A正确;

（x2^）'=（N+2x）e\故B错误；

[cos仅％_g»=—2sin仅％_g）,故C错误；

（尤-：）'=1+（,故D正确.

3.（2024•陕西西安模拟）已知函数人幻=1鼠》+丹1/2—3,则，（1）=.

答案：一1

1

解析：因为人久)=lnx+/(l)N—3,所以，(x)=1+»tL)x,故1(1)=1+4(1)，解得，(1)

=一1.

考点三导数的几何意义

⑥角度(一)求切线方程

［例3］(1)(2023•全国甲卷)曲线在点(1,3处的切线方程为()

ee

A.yBy

eee3e

C.y=/+aD.y=/+］

(2)已知函数/G)=xlnx.若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/G)相切，则直

线/的方程为.

［答案］(1)C(2)x—y—l=Q

x

［解析］(1)由〉=普e%，可得产x:e12,

(X十1)

则yrIx=i=z，

.,.曲线在点(1,，处的切线方程为5=4(x_1),即_^=卒+不

(2)因为点(0,-1)不在曲线/(x)=xlnx上，所以设切点为(劭，泗).又因为/

(x)=l+lnx,所以直线/的方程为y+1=(1+lnxo)x.

fyn=xAnxn

所以由,0+］=(l+lnx0)%0>解得M=l，N)=0,

所以直线/的方程为y=x~l,

即x—y—l=0.

I方法总结I

求曲线y=/(x)的切线方程

若已知曲线y=f（%）和点P（xo,y（）），求过点P的切线方程，

i,当点P0o,y0）是切点时，切线方程为y—九=（。（））（久—/）•

2•当点00o,%）不是切点口?，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P'QI,f（%））；

第二步：写出过点P'QI,f（］i））的切线方程y—f0i）=f（x1）（%-%1）；

第三步：将点P的坐标（%,%）代入切线方程求出，;

第四步：将乙的值代入方程y—/01）=f（x1）（x-x1）可得过点P00,y0）的切线方程•

⑥角度（二）求切点坐标

［例4］过点（0,-1）作曲线/（G）=lnx（x>0）的切线，则切点坐标为.

［答案］（乖，1）

［解析］由/'（口）=lnx（x>0）,得/（x）=lnx2=21nx,

2

则，（%）=>设切点坐标为（配，21nxo）,显然（0,-1）不在曲线上，

21n%0+12I-I-

则------,得XQ=&,则切点坐标为（加,1）.

xo

学生用书1第55页

I方法总结I

求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导婺值等于切线的斜率，从而得出切

线方程或求出切点坐标・

⑥角度（三）求与切线有关的参数值（范围）

［例5］（1）（2024•山东济宁模拟）若曲线y=（ax+l）H在点（0,1）处的切线方程是2x

—y+l=0,则q=（）

A.3B.2

C.lD.O

（2）（2022・新高考/卷）若曲线>=（x+a）铲有两条过坐标原点的切线，则。的取值范

围是.

［答案］（1）C（2）（一功，-4）U（0,+功）

［解析］（1）由题意，

在y=（ax+l）e^中，y'=a^-\-（ax+1）^=（ax+a+l）e\

在点（0,1）处，V=Q+1,

•・・在点（0,1）处的切线方程是2%一）+1=0,

・・・在点（0,1）处的斜率为2,

・•・a+l=2,解得Q=l.

（2）设/（x）=y=（x+a）e\则/（x）=（X+Q+1）ex,设切点为（劭，（xo+〃）e°

）,

••・切线方程为y—（x（）+a）e°=（%o+a+l）e°（%—%（））.

%n%n?

又•・,切线过原点（0,0）,（%O+Q）e=（xo+a+1）e（—%（））,整理得％O+QX（）—a

=0,又切线有两条，.••关于劭的方程％o+Qx（）—a=O有两不相等的实根，故/=a2+4a>

0,解得〃>0或q<—4.

I方法总结I

1•利用点与曲线的位置关系可建立不等关系，确定过点作曲线的条数・

2，一般已知曲线上一点P（久0,y0）的切线与已知直线的关系（平行或垂直），先确定该切线的

斜率勺再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到卜=/（K0）=tana,其中倾斜

角a£[0,豆），根据范围进一步求得角度a或有关参数的取值范围,

许跟踪训练

4.（2024•安徽合肥模拟）已知函数/（x）=xlnx,若直线/过点（0,—e）,且与曲线>=

/（%）相切，则直线/的斜率为（）

A,-2B.2

C.—eD.e

答案：B

解析：函数/（%）=xlnx的导数为/（x）=lnx+l,

设切点为（机，〃）,可得切线的斜率左=l+ln冽，

九+emlnm+e

则l+ln%=f=--—,

解得m=Q,故k=1+lnQ=2.

5.若曲线〉=e2。、在点（0,1）处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则a=（）

A.-2B.-1

C.lD.2

答案：C

解析：直线x+2y+l=0的斜率为左=一^,

由题设知＞=e2"在（0,1）处的切线的斜率为2,而V=2we2%

•・少，Ix=0=2a=2,可得Q=1.

6.在平面直角坐标系xOy中，点/在曲线y=lnx上，且该曲线在点4处的切线经过点（一

e,—1）,则点/的坐标是.

答案：（e,1）

解析：设4（m,n）,则曲线y=lnx在点4处的切线方程为y—〃=方（%—m）.

又切线过点（一e,—1）,

一1

所以有n~\~1=~（m+e）.

再由〃=ln冽，解得加=e,n=\,

故点4的坐标为（e,1）.

,1

［例］（1）（2024•云南保山模拟）若函数/（x）=41nx+l与函数g（x）=^-2x（a＞

0）的图象存在公切线，则实数。的取值范围为（）

（11ri\

（2）（2024•河北邯郸模拟）若曲线y=e＞与圆（x—a）2+俨=2有三条公切线，则°的取

值范围是

［答案］(1)A(2)(1)+8)

［解析］（1）由函数/（x）=41nx+l,可得

4

f（X）=?

4

设切点为"41nz+l）,则/⑺=~,

,4

公切线方程为y—41nt—1=~（x—t）,

4

即y=pr+41nL3,

与y=12—2x联立可得|x2—卜+；卜一41n/+3=0,

4\l211（?+1）

H2+2］-4X-X（3-41nO=0,整理可得

fa>0-

又由1>0’可得3—41n/>0,解得OV/VeL

（5I

令〃⑺=口而，其中0<t<e\可得

4/2\t+41nt-1

it+1）--1

hr（/）=---------1，

（3_41nt）

3.

令9⑺=f+41nt~\,可得（t）=1+；>0,函数夕（?）在（0,e4）上单调递增，且夕

（1）=0,

当0<f<l时，（p（?）<0,即〃（/）<0,此时函数〃G）单调递减，

3

当1<7</时，（p（力>0,即〃（%）>0,此时函数〃（力单调递增，

所以〃（/）min=〃（1）—3,且当，一0+时，h（力一+8,所以函数〃（1）的值域为［3,

+8）,所以且a>0,解得即实数a的取值范围为（0,1］.

（2）曲线>=廿在点（xo,则）处的切线方程为y—（X—x0）,

I，/、侧

xx\(。-%o)+，|

0

由直线y—e°=e(x—x0)与圆(x—6z)2+俨=2相切，得----/?x-----=”.(*)

Jl+e°

因为曲线〉=廿与圆(工一口)2+/=2有三条公切线，故(*)式有三个不相等的实数根，

2%n?

即方程e((x0_a_l)-2)=2有三个不相等的实数根.

令g(x)=e*((x—6Z—1)2—2),则曲线y=g(x)与直线>=2有三个不同的交点.

显然，gr(x)=2e1V(x—q—2)(%—。+1).

r

当(—8,a—1)时，g'(x)>0,当(«—1,Q+2)时，g(x)<0,当(a

+2,+8)时，gf(x)>0,

所以，g(x)在(一8,a—1)上单调递增，在(a—1,Q+2)上单调递减，在(Q+2,

+8)上单调递增；

2

(%_a_1)_2

且当X——8时，g(x)=------------0,当X—+8时，g(x)=0^((%—4Z—1)2-

e

2)—>+8,

2

(g(a_l>>2e>1

因此，只需[g(a+2)<2：即'e2(a+2)<；

，一,

解得a>\.

I方法总结I

1.两曲线y=/(x),y=g(%)在公共点(％好处有相同的切线，则满足方程组

f/⑼=9(a),

[r(a)=g'(a)，解此方程组可得a,进而得后得出切线方程・

2.求与曲线y=f0),y=g(%)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(％,f(，))，

f(%)-g(%2)

。2,902))，满足方程组/(叼)=。'。2)=一一,据此解得，或者叼，即可求得

公切线方程•

许跟踪训练

InV7

L若直线>=履+6是曲线y=丁的切线，也是曲线》=呈的切线，则左=.

答案：一J

2e

In%1—In%

解析：由〉=刀可得，y,=一「

人x

=km+b,

Inm

设直线尸丘+b与曲线产竽相切于点（加，n）,则有।n-——m，

1_Inm

k=

.m2'

1_Inm1_Inm1_21nm

所以切线方程可表示为y—〃=---（%—加）,即歹=---^~x-------.

mm"

22

由可得，y~一-2.

（t=ks+b

2£'

设直线y=Ax+6与曲线相切于点（s,t）,则有।t=s,所以切线方程可表示为歹

,口一泰

224

-t=--2（工一5）,即/=--环+1

SS3

/I—Inm2

.................-_—3

所以।2tmi:'消去s,整理得：41n*2m—121n加+9=0,解得：In加=子所以加=/,

、m=s,

3

1_Ine'

1

所以斜率k=一YT~

T2e-3-

2.若直线y=Ax+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，贝！J6

答案：1—ln2

解析：对函数歹=lnx+2求导，得_/=］对函数y=ln（x+1）求导，得•设直线》

=Ax+b与曲线＞=lnx+2相切于点Pi（xi,为）,与曲线y=ln（x+1）相切于点巳

（必，歹2），则歹i=lnxi+2,j2=ln（必+1）.由点Pi（%i,为）在切线上，得》一（lnxi+

2）=—（%—%i）,由点尸2（M,丝）在切线上，得歹一In（x2+l）=*+彳（x—%2）.因为这

11

%1一々+L,11

两条直线表示同一条直线，所以I%2解得修=2，所以左=兀=

In(%2+1)=1口％1+々+1+1,

2,Z?=lnxi+2—1=1—In2.

学生用书I第301页

：1课时作业修

[A组基础保分练]

1.（多选）（2024•河南安阳模拟）下列求导运算正确的是（）

A6+W

B.(e2x)'=e级

仁(1吟)'=焉

xsinx+cosx

Dfcosx\r

-(—)2

X

答案：AC

解析：对于选项A,因为1+9'=1—故A正确；

对于选项B,因为（/）=e2x・（2x）r=2e2\故B错误；

对于选项C,因为（log2%）'=五⑦故c正确；

fcosx\%（—sin%）-cosxxsinx+cosx

对于选项D,因为丁'=-----2-------=--------2—，故D错误.

'K）XX

2.（2024•深圳检测）曲线》=（x3-3x）-lnx在点（1,0）处的切线方程为（）

A.2x+y~2=0B.x+2y~l=0

C.x+y-1=0D.4x+y—4=0

答案：A

1

解析：由j/=(3x2—3),lnx+--(x3—3x),得所求切线斜率左=j/|%=i=—2,故所求切

线方程为〉=-2(x—1),即2x+y—2=0.

3.(2024•河北保定模拟)已知函数/(x)=e2X+/(1)N,则，(1)=()

A.-2e2B.2e2

C.e2D.-e2

答案：A

解析：由/(x)=e2X+/(1)x2,

得，(x)=2e2X+2f(1)尤，

令x=l,得，(1)=2e2+2f(1),

所以，(1)=-2e2.

4.(2024•河北衡水模拟)曲线y=x—/在横坐标为1的点处的切线为/,则点"(1,2)

到直线I的距离为()

A等

24

C.yD.g

答案：A

解析：y=i—3N,则切线/的斜率左=/I%=1=-2.又易知切点为(1,0),所以切线/的

22-J5

方程为2x+y—2=0,则点M(l,2)到直线/的距离为宝=〒.

5.函数f(x)=lnx+ax的图象上存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数a的取值范围

是()

A.(―8,2]B.(—8,2)

C.(2,+8)D.(0,+8)

答案：B

1

解析：函数/（x）=lnx+ax的图象上存在与直线2x—y=0平行的切线，即/（x）=7+。

=2在（0,+8）上有解，即。=2-].

因为x>0,所以2—：V2,所以q的取值范围是（一8，2）.

6.（2024・陕西咸阳模拟）已知函数/（%）=lnx+x,过原点作曲线歹=/G）的切线/,则切点

。的坐标为（）

A&1）B.（e,e+1）

C。11）D.,e2+2）

答案：B

1

解析：由题意可知/<%）=或+1,

设切点为尸（%。，ln%0+,）,则切线方程为>=（；+1j（x_%0）+InXQ+XQ.

因为切线过原点，所以0=（，+l）（_%o）+lnxo+xo=lnx（）—l,

解得M=e,则P（e,e+1）.

3

7.（多选）（2024•辽宁沈阳模拟）已知函数次幻=/n_1）4+1,/（幻为人久）的导函数，

则（）

A/（-l）=l

B/⑴=—5

C4x）在（0,+8）上单调递减

D/（l）=3

答案：BCD

3

解析：因为/（%）=^+^（-

x

所以=

解得，(—1)=—1,

33

则/(%)=：—N+1,/(%)=--2—2x,

xX

易知人x)在(0,+8)上单调递减，/(1)=-5,/(1)=3,故A错误，B,C,D正确.

1

8.(多选)已知点M是曲线y=/3—2x2+3x+l上任意一点，曲线在M处的切线为/,则

下列结论正确的是()

B./斜率最小时的切点坐标为伍|)

C.切线/的倾斜角a的取值范围为［。，即与，IT)

D./斜率的取值范围为《W1

答案：BC

解析：,.y=N—4x+3=(%—2)2—1,

5

・••当X=2时，y'min=-1,此时>=

・•・斜率最小时的切点坐标为(2,|),最小斜率左=一1,

・・・A错误，B正确.

由k>—1,得tan

又［0,兀)，，。金］。，,U［彳，IT),

故a的取值范围为［。，即肾，n),：.C正确，D错误.

1_x

9.(2024•江西景德镇模拟)函数火%)=\+lnx在％=1处的切线方程为.

—一11

合案：y=2x~2

解析：由题意知，/(1)=0,则切点为(1,0),

-21%2+1

…)=不于+”即产G>°),

所以切线的斜率为/（1）=;,

111

故函数在x=l处的切线方程为＞一0=5（%_1）,即y=^x~2-

10.（2024・浙江绍兴模拟）过点。）作曲线＞=炉的切线，写出一条切线方

程：•

答案：＞=0或歹=3x+2（写出一条即可）

解析：由歹=%3可得J/=3N,

设过点（―I,0）作曲线的切线的切点为（汽，涧），则必=说，

所以切线方程为y—Po=3%j（%一劭），

将代入得一无：=34（一|_%o）,解得x（）=0或必=一1,

所以切点坐标为（0,0）或（一1,-1）,

故切线方程为y=0或y=3x+2.

1

11.（2024•辽宁大连期末）已知曲线》=、+刖、在点（1,1）处的切线与直线x+2y=0垂

直，贝1」左=.

答案：1

解析：易知点（1,1）在曲线＞=x+%nx上.

令/（%）=x+}nx,则/（x）=1+2，

所以7（1）=1+］又该切线与直线x+2y=0垂直，所以1+1=2,解得左=1.

学生用书I第302页

12.已知函数/（%）为奇函数，当x＞0时，/（x）=x3_inx,则曲线》=/（、）在点（一1,

-1）处的切线的斜率为

答案：2

解析：因为当x>0时，/(x)=x3~lnx,所以当x<0时，-x>0,/(—%)=~x3—In

(—x).因为函数/(x)为奇函数，所以/(%)=-/(-%)=x3+ln(―x),»]f(%)

1

=3x2+~,所以/(―1)=2,所以曲线歹=/(%)在点(—1,—1)处的切线的斜率为2.

[B组能力提升练]

13.已知函数/G)=工3—X和点。(1,-1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条

数为()

A.lB.2

C.3D.4

答案:B

解析：因为/(I)=F—1=0,所以点尸(1,—1)没有在函数/(X)的图象上.设切点坐

标为(x0,yo),则乂)=%：一%o,f(%。)=34一1.由导数的几何意义可知，切线的斜率为左

3

+1

2y0y0=x0-x0)

=3x—1,大k=x一7，所以fo+12化简可得％n(2x—3)=0,解得刘=0或

unxo-1----=?丫1u0

Xo_l"o—,

3

=2,所以切点有两个，因而有两条切线.

14.(2024•广东揭阳模拟)已知曲线y=x3+2aN+x+6在点(1,0)处的切线的倾斜角为?

,则Q+6=()

35

A.-4B.-4

11

C-2D-T

答案:A

3ir

解析：1(%)=3%2+4办+1,由题意可知，切线的斜率左=tan彳=—1,则

ff(1)=2+2a+b=0,__51

仍(1)=3+4a+l=_l,解仔a——4,b-2,

3

所以〃+6=—不

15.已知函数/（%）=办3+bN+cx+d,且满足/（2%_=一2%）,41）=2,/（0）=-2,

则4-2）=（）

A.28B.-28

2020

C.-^-D.—

答案：B

解析：由/（2%-1）=一/（1一2%）,知函数/（%）为奇函数，

又/（%）的定义域为R,所以火0）=0,得d=0.

由/（_1）=一/（1）得6=0,所以/（%）=办3+cx,/（%）=3aN+c,

（a-i-c=2（a=4

由/（l）=2,/（0）=—2,得［c——2得［c__2所以火%）=43—2x,

于是7（_2）=4X（_2）3—2X（_2）=—28.

16.（2024•四川成都模拟）若点P是曲线y=lnx—N上任意一点，则点P到直线/：x+y—

4=0距离的最小值为（）

C.2避D,4A/2

答案：C

解析：过点P作曲线歹=lnx—x2的切线（图略），当切线与直线/：x+y—4=0平行时,

点P到直线/:x+y—4=0距离的最小.

、1

,=

设切点为P（劭，yo）（%o>O）,y~—2xf

所以，切线斜率为左=j—2x（）.

xo

由题知2x（）=-1得%o=1或％o=-5（舍），

xo4

|1-1-4|

所以，尸（1,-1）,此时点尸到直线/:'+>—4=0距离d=——后—=2娘.

17.（多选）已知函数/（%）=x3+x—16,则错误的结论是（)

A.曲线y=/(x)在点(2,-6)处的切线方程为13x—y—19=0

B.直线/为曲线y=/(x)的切线，且经过原点，则直线/的方程为x—y=0

C.直线/为曲线y=/(x)的切线，且经过原点，则直线/的方程为x—y=0或13x-y=0

D.如果曲线y=/G)的某一切线与直线y=—%+3垂直，则切点的横坐标为±1

答案：ABC

解析：因为/(x)=(工3+工一16)'=3N+1,又点(2,—6)在曲线＞=/(%)上，

所以/G)在点(2,-6)处的切线的斜率为/(2)=13,

所以切线方程为y+6=13(x—2),即y=13x—32,所以A错误；

对于B,C,设切点坐标为(x0,%)，则直线/的斜率为/(汽)=3%o+l,

所以直线/的方程为y=(3%Q+1)(x—Xo)+%：+xo—16.

因为直线/过原点，所以0=(3XQ+1)(0—%o)+XQ+%O—16,

整理得，％()=—8,所以配=—2,所以次=(—2)3+(—2)—16=-26,

f(x0)=3X(-2)2+1=13,所以直线/的方程为y=13x,所以B,C错误.

1

对于D,因为切线与直线＞=一/+3垂直，所以切线