2025年高考数学一轮复习：数列

第六章

数列

第一节数列的概念

［学习要求］1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、公式法）.2.了

解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用斯与8的关系求通项公式斯.4.掌

握利用递推关系构造等差数列或等比数列求通项公式斯的方法.

自主梳理

［知识梳理］

知识点一数列的有关概念

1.

概念含义

飞列葭照确定的顺序排列的二列数称为薮列

数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项

H八如果数列｛。“｝的第〃项斯与它的序号廷之间的对应关系可以用一个式子来

［甬TmAx.

'表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

_数列｛&｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛斯｝的前W项和，记作

刖九项和

Sn,即S”=----

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列有限多项

项数

无穷数列无限—多项

递增数列a九_|_1>Qn

递减数列a九十.£Cln其中aGN

项与项间的大小

常数列_|_]〃八

关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于

摆动数列

它的前一项的数列

知识点二数列的表示方法

列表法列表格表示n与an的对应关系

图象法把点（〃，诙）画在平面直角坐标系中

通项公式把数列的通项使用公式法示的方法

公式法使用初始值和a“+i=f（斯）或的，“2和斯+1=/（斯，斯-1）等表示

递推公式

数列的方法

［小题诊断］

1.已知数列1,2,V7,V10,V13,则2内在这个数列中的项数是（

A.16B.24

C.26D.28

答案：C

2.已知数列｛斯｝的前〃项和为&,且&=/+〃，则〃2的值是（）

A.2B.4

C.5D.6

答案:B

解析：由题意，§2=22+2=6,Si=l+1=2,所以〃2=52—31=6—2=4.

3.（多选）已知数列｛为｝的通项公式为为=9+12%则在下列各数中，是｛为｝的项的是

（）

A.21B.33

C.152D.153

答案：ABD

解析：由数列的通项公式得，0=21,“2=33,02=153.

4.在数列｛斯｝中，〃i=3,斯+1=。〃+,1、,则〃2=，通项公式斯=.

n（n+1）------------------------------------

答案：%4-i

2n

学生用书［第128页

，关键能力重点探究。

考点一用观察法求通项公式

［例1］写出下列各数列的一个通项公式.

1111

(1)1X2‘2X3’3X4‘4X5’

⑵|,2,£8,25

2

(3)5,55,555,5555,

［解］（1）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为

负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是斯=（-1）「、.

n（n+1）

（2）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一变形为分数再观察.

即也??T-§，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为

（3）将原数列改写为|X9,|X99,|X999,易知数列9,99,999,…的通项为100

—1,故所求的数列的一个通项公式为斯=:.

I方法总结I

由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略（转化为特殊数列）、联想（联想常见

的数列）等方法.

1.常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化

2.具体策略：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特

征；（4）各项的符号特征和绝对值特征；（5）化异为同，对于分式还可以考虑对分子、

分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用

*k+l*,

(-1)或(-1),左GN处理.

也跟踪训组

1.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：

(1)LP??也…；

⑵1,四,1,四,1,....

2244

解：(1)数列可变形为a3aaa…，

(2)数列可变形为即22三工工...

1VFVTV4r通'底''

1

考点二由斯与S”的关系求通项公式

［例2］(1)已知数列｛四｝的前〃项和为S”，且满足S"=2"+2—3,则斯=.

(2)(2024•广东湛江模拟)已知a为数列｛斯｝的前几项和,且S,+2斯=2(n£N*),则

［解析］(1)根据题意，数列｛诙｝满足5"=2"+2—3,

当儿22时，有%=S”一S”T=(2"+2—3)—(2,,+1-3)=2"+1

5,TI—1,

｛2n+1,n>2.

(2),：Sn+2an=2(wGN*),

・・。1=不S〃-1+2〃n-1=2(〃22),

=

Sn—Sn-1+2an~2an-10(及22),

・・3斯=2斯-1(〃22),

=2(w22),.•.数列｛念｝是以2为首项，三为公比的等比数列，

a

n_1333

••・『当修厂】=(|广

学生用书［第129页

I方法总结I

1.已知S“求诙的3个步骤

(1)先利用的=N求出ai；

(2)用w—1替换S,中的“得到一个新的关系，利用斯=$0-&"-i)(心2)便可求出当“

22时许的表达式；

(3)注意检验n=l时的表达式是否可以与ri>2时的表达式合并.

2.8与斯关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用斯=S「S(〃T)(〃22)转化为只含s”S(”-1)的关系式，再求解；

3九3力—1一。九，

:_(〃23)转化为只含斯，伙加1)的关系式，再求解.

(^n~l~^n~2~an-l

内跟踪训练

2

2.已知数列｛念｝的前〃项和Sn=2n—3n,则数列｛斯｝的通项公式斯=.

答案：4〃一5

解析：〃i=Si=2—3=—1,

=2—

当〃22时，anSn—Sn-i=(2层一3")一［2(n—1)3(n—1)］=4〃-5.

*.*a\=—\也适合上式，・••斯=4〃-5.

3.已知数列｛斯｝的前〃项和S〃满足％+〃〃=—2,则数列｛斯｝的通项公式期=.

©n-l

解析：当〃=1时，Si+ai=2〃i=—2,解得〃i=-1;

由Si+斯=—2,可知当〃22时，S〃-i+斯-1=—2,两式相减，得2斯一斯—1=0,即斯

11/1\H—1

芥T(心2),所以数列｛斯｝是首项为一1,公比为我等比数列，所以斯=一(以.

考点三由数列的递推关系求通项公式

［例3］(1)若数列｛斯｝满足。1=1,且对于任意的〃£N*都有斯+1=%+〃+1,贝!J斯=

()

■M2

A.M2B.—

2

2

C(n+i)口n(九+1)

.2.2

(2)在数列｛斯｝中,川=1,斯=?斯-1"22,〃dN*),则数列｛诙｝的通项公式

为.

［答案］(1)D(2)a—~

nn

［解析］(1)由斯+1—斯=〃+1知

42=2,

。3—。2=3,

—43=4,

〃八斯-1-九，

以上等式累加知an—。1=2+3+…+几,

n(n+l)

2

(2),：a=—a-i(〃22),即WO,

nnn

・_n~l

,,,

an-i71

・Si-i—:一2an2n—3…一工

，，an-2n-19an-3n-2'，Qi2'

以上（n—1）个式子相乘得,

_11

an2nl

曲23nnf

・

•.斯-----.

nn

当〃=1时，ai=l,符合上式，・••斯=：.

I方法总结I

由数列的递推关系求通项公式的常用方法

1.已知的,Aan-an_1=f(71)(几之2),可用“累加法”求册.

2.已知由(%*0)*且色-=f(n)(n>2),可用“累乘法”求a”

an-i

也跟踪训练

4.在数列｛a”｝中，的=2,。"+1=斯+111(1+J,则斯=()

A.2+lnnB.2+(n_1)Inn

C.2+nlnnD.l+n+lnn

套案.A

I=I■R

解析：因为念+i—斯=ln生口=ln(n+1)—Inn,

n

所以政一〃i=ln2—In1,

。3—〃2=ln3—In2,

—〃3=ln4—In3,

an-an-\=lnn—In(〃—1)(〃22).

把以上各式累加得斯一〃i=lnIn1,

则斯=2+ln〃（〃22）.因为〃i=2满足此式,

所以斯=2+lnn.

5.（2024•山东潍坊模拟）设数列｛斯｝的前〃项和为S〃，〃i=l,｛S〃+〃斯｝为常数列，则斯

)

B.---

n(n+1)

D.

•(n+l)(n+2)三

答案：B

解析：法一（累乘法）：因为数列｛斯｝的前几项和为S〃且41=1,

所以Si+lX〃i=l+l=2.

因为｛S〃+〃斯｝为常数列，所以由题意知，

Sn+九4〃2.

当〃》2时，（w+1）an=（n-1）an-i,从而强生生.….*-=U.….口,

。2a3an-l34n+1

所以斯=—^——（*）,当〃=1时（*）式成立，

n（n+1）

法二(特值验证法)：由的=1,｛%+"斯｝为常数列，可得Si+lXm=l+l=2,

故S〃+M4〃=2.

当〃=1时，4ii=l,排除C;当九=2时，S2+2X〃2=2,

=

即。1+。2+2〃2=2,即3〃2=1,ci2~9A,B,D都满足；

当〃=3时，$3+3。3=2,即1+］+4的=2,

1

解得的=-6,排除A,D.

数列的函数特性

◎角度(一)数列的单调性

［例1］已知｛诙｝是递增数列，且对于任意的“GN*都有出=〃2+筋恒成立，则实数％的取

值范围是.

［答案］(-3,+°°)

2

［解析］由题意可知，an+\—an—("+1)+/l(M+1)—iv—%”=2w+l+Z

•.•｛。“｝是递增数列，；.斯+1—斯>0,且当〃=1时，斯+i—最小，

00

/.«,:+1——。1=3+义>0,；">一3,即实数2的取值范围是(-3,+).

I方法总结I

解决数列的单调性问题的3种方法

根据a1-a的符号判断数列｛a｝

作差比较法n+nn

是递增数列、递减数列或是常数列

根据(a”>0或a”<0)与1的大

作商比较法un

小关系进行判断

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

学生用书［第130页

位角度(二)数列的周期性

［例2］若数列｛〃“｝满足的=2,即+1="也，"GN*,则02024的值为（）

11

11

A.2B.-3C~-D.-

23

［答案］D

_1_1

［解析］由题意知，6/1=2,。2=当=-3,613=7-7=—<34=—1_f=1,。5=—141=2,。6=

1—21+3ZH■•—31——

23

-1_i_o1

——=一3,…，因此数列｛见｝是周期为4的周期数列，所以〃2024=〃506X4=。4=不

I方法总结I

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值.

国跟踪训练

1.（2024•甘肃白银模拟）在数列｛a九｝中，若41=2,斯=1-.....（几22）,则。2024=

an-l

（）

A.-lB.i

2

C.2D.l

答案二B

解析：由题意得〃1=2,。2=1———1—。3=1———1—2=—1,

a122a2

1

〃4=1一一=1+1=2,.......

a3

-1

故｛a九｝为周期数列，一个周期为3,故〃2024=〃674><3+2=。2=5.

2.已知数列｛斯｝的通项公式为厮=筹詈，“GN*,则数列｛斯｝前20项中的最大项与最小项

分别为.

答案：3,-1

2n—192n—21+2.2

解析:a=-------=-----------=1当心11时，春>°，且单调递减；当

n2n-212n—212n~21

1W〃W1O时，」一<0,且单调递减.因此数列｛。〃｝前20项中的最大项与最小项分别为第

2n—21

11项，第10项，则411=3,aio=—l.

学生用书I第348页

J课时作业巩固提升。

[A组基础保分练]

1.（2024.山东青岛模拟）写出数列1,|,支p拳…的一个通项公式斯=（）

nn7n—1

A.^—B.--

2n—12n—1

onon—1

C.-----D.-----

2九+12n+l

答案：B

解析：数列1,I，I，三,素

则其分子为2“一I分母为2〃一i,则其通项公式为e二.

2n-l

2.（2024・甘肃酒泉模拟）己知数列的一个通项公式为斯=（-1）n-2n+a,且的=一

5,则实数。等于（）

A.lB.3

C.l1D.—3

答案：B

解析：因为斯=(-1)n-2n+a,〃3=—5,

所以一23+〃=-5,解得a=3.

3.已知数列｛a九｝的前〃项和为S〃=层+〃+1,则〃3=()

A.5B.6

C.7D.8

答案：B

解析：因为斗=层+〃+1,所以43=513—512=6.

4.在各项均为正数的数列｛〃〃｝中，对任意的相，孔WN*,都有〃帆+〃=。"〃小若恁=64,则〃9

=()

A.256B.510

C.512D.1024

答案：C

解析：由题意可得。6=〃3%3=64..*.4/3=8,

・・。9==64X8—512.

5.数列｛斯｝满足0=4,即+1=打("CN*).若数列｛诙｝是常数列，则。=()

an+1

A.12B.—1

C.OD.(-1)〃

答案：A

解析：因为数列｛斯｝是常数列，所以。=。2=%-二=^一即〃(〃+1)=层-2,得a=一

a1+la+1

2.

6.已知数列｛〃〃｝满足41=1,即+1=["九+3''为3乌：则“6=()

(2an+1,n为偶数,

A.16B.25

C.28D.33

答案：C

解析：由题意得，当〃=1时，念=1+3=4;当〃=2时，的=2X4+1=9;当〃=3时，外

=9+3=12;当〃=4时，々5=2X12+1=25;当〃=5时，恁=25+3=28.

7.数列｛斯｝满足〃1=—3,斯=皿U，其前〃项积为G，则於024=()

an+1+l

A.iB.1

2

3

C.-D.-3

2

答案：B

解析：由斯=一+i:,得斯斯+1+。〃=斯+1-1,即斯+1=土马■.又〃1=-3,ai=—^,〃3=

an+i+11-«n2

-1

。4=2,。5=—3,「・数列｛。八｝是周期数列，周期为4,且。1〃2〃3〃4=1,二・"024=北乂506=

1.

8.(多选)已知数列｛斯｝的通项公式为=929n+2("GN*),则下列结论正确的是

9nz—1

()

A.这个数列的第10项为If

B.2是该数列中的项

C.数列中的各项都在区间[；,1)内

D.数列｛斯｝是单调递减数列

答案：BC

9n2—9n+2(3n—l)(3n—2)

解析：a

n9n2—1(3n—l)(3n+l)

_3n—2

3n+l'

令〃=10得故A错误；

令的二=21得〃=33£N*,

3n+l100

故里是数列中的项，故B正确；

100

GL3n—23n+l—3-3

因为a=------=---------=1-------

n3九+13?1+13?1+1

又"GN*.

所以数列｛斯｝是单调递增数列，

所以工W斯<1,故C正确，D不正确.

4

9.设数列｛公｝的前〃项和为S〃，Sn=r^+n(〃£N*),则斯=.

答案：2n

22

解析：当〃=1时，4I=SI=2,当〃22时，Sn_1=(n—1)+(n—1)=n—n,所以斯

=Sn~Sn_1=2n,〃i=2也符合上式，所以诙=2儿

10.(2024・上海模拟)数列｛时｝对任意正整数加满足〃口2…斯=层，则数列的通项公

式an=.

解析：当n=l时，“1=1;

2

当〃22时，由…层可得…恁-1=(九一1)，

21,72=1,

两式作商可得斯=712,又不符合上式，所以斯=4n2

1)[[7,n>2.

1(九一1)

11.已知数列｛斯｝满足〃1=1,且斯=〃(斯+1—斯)(〃£N*),则。3=，an

答案：3n

解析：由…(…)，可得誓=乎，则当心2时,T*一红=

nn—1n—2727t

-----X-----X-----X•••X-X1=n・・〃3=3.・=1〉两Cln=〃，••Cln~~Tl.

n—1n~2n—31

12.已知数列｛5｝满足：诙+1=/"小(nCN*).若内=3,则0=______.

La九+2,ctn<^2]

答案:2

解析：由题意，当斯V〃i时，an+i—an=2f数列｛〃〃｝为公差d=2的等差数列，则俏=〃1+

2X2=3,。1=一1,此时不满足诙故不符合题意；当〃〃》的时，数列｛〃〃｝是等比数

列，此时公比乡二久生;？，则〃3=。「22=3,解得。1=三，满足斯三〃1,所以。1=々

an44

学生用书1第349页

[B组能力提升练]

13.(多选)已知数列｛斯｝的通项公式为斯=(”+2).6)"，则下列说法正确的是()

A.数列｛〃“｝的最小项是a\

B.数列｛.〃｝的最大项是«4

C.数列｛诙｝的最大项是恁

D.当时,数列｛〃“｝递减

答案：BCD

解析：假设第〃项为｛斯｝的最大项，贝^

0rlN。九+1'

J…(广，

nn+1

bn+2)-g)>(n+3)-g),

所以『一S'又〃£N*,所以〃=4或〃=5,故在数列｛斯｝中，〃4与〃5均为最大项，且〃4=

In>4,

〃5=6，当〃三5时，数列｛斯｝递减.

14.已知数列｛厮｝满足41=33,血芝芳=2,则詈的最小值为()

A.10.5B.10

C.9D,8

答案二A

—

解析：由"+；工=2得〃〃+1-斯=2%6zn=(a2-«-£)+(a3—a2)+(a4a3)d-----F^an—

。打_1)+。1=2+4+6+…+2(〃-1)—1)；+、~~—+33=n2—〃+33,

•_；+33=孔+11~~1(TI£N*).当(0,333)时，瓷单调递减；当ne(V^3,+

8)时，塞单调递增.又〃£N*,经验证，〃=6时，詈最小值为10.5.

15.在数列｛〃〃｝中，若对任意的几£N'均有〃〃+〃八+1+诙+2为定值，且〃i=2,“9=3,硒8=

4,则数列｛。〃｝的前100项的和Sioo=()

A.132B.299

C.68D.99

答案：B

解析：因为对任意的〃£N*均有。八+斯+1+念+2为定值，所以外+。八+1+。八+2=斯+1+。〃+2+

斯+3,所以斯+3=斯，所以数列｛斯｝是周期数列，且周期为3,故。2=〃98=4,的=。9=3,

。100=。1=2,所以Sioo=33(〃1+。2+的)+〃ioo=299.

16.在数列｛斯｝中，ai=l,a=(n,an)，b=(an+1，〃+l),且°_1/，则〃ioo等于

()

.100c100

A.—B.——

9999

C.100D.-100

答案：D

解析：因为4=(n,即)，b—(an+1,n+1),且所以〃即+i+(H+1)。〃=0,

所以皿=—匕1,所以艺=—2也=—三，…皿=—129.以上各式左右分别相乘，得2

annar1a22a9999ar

=—100,因为m=l,所以4ioo=1100.

17.(多选)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两

项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1,2

进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第MTIGN*)次得

到数列I,Xl，X2，X3，…，,玄，2.记。"=1+XI+X2H-----\-Xk+2,数列｛即｝的前”项和为

s,„则()

A.A-+1=2H

B.a„+i=3斯-3

2

C.cin=|(n+3n)

DS=|(3"+i+2n-3)

答案：ABD

解析：由有3项，〃2有5项，方有9项，〃4有17项，…，故〃〃有2"+1项，所以％+2

=2〃+1,即％+1=2",故A正确；由“1=3+3,〃2=3+3+9,的=3+3+9+27,.=3

+3+9+27+81,…，«„=3+3'+32+3^-----H3"=3+也二型=之土，故C错误；由斯

1—32

=--可得―=3<7/；-3,故B正确；由S"=41+〃2+…+〃"=/(32+33+

9()

34+...+3n+1)+y=jx^f+y=|(3n+1+2n-3),故D正确.

18.(2024.广东惠州调研)已知数列｛斯｝满足m=l,即+1—2斯=2"("GN*),则数列｛斯｝

的通项公式an=.

答案：〃2门

解析：斯+i—2奥=2"两边同时除以2"+1可得鸵一爱=/又发；•数列｛"是以涉首

项，押公差的等差数列，.费=升(〃一1)x|=^,

；・斯=儿2〃-1.

19.已知数列满足41=3且诙+1=3,则数列。"=.

解析：由1，^两边取倒数可得上=三+3,即上一三=3,所以数列[三]是等差数

aaa

3an+1^n+lnn+ln

列，且首项为2,公差为3,所以三=3〃一1,所以诙=^.

an3n-l

20.已知印表示不超过X的最大整数，例如：[2.3]=2,[-1.7]=—2.在数列｛斯｝中，斯=[lg

n\,记Sn为数列｛〃〃｝的前n项和，则42024=；S2024=.

答案：34965

解析：V«n=[lgn],

，当时，斯=[坨5=0;

当10W〃W99时，斯=[lgm=1;

当100W〃W999时，〃〃=[lg5=2;

当1000W〃W9999时，a„=[lgn]=3,

•■.a2024=[lg2

024]=3,S2024=9X0+90X1+900X2+1025X3=4965.

学生用书I第130页

第二节等差数列

［学习要求］1.能够利用公式求等差数列中的指定项、前〃项和.2.会利用等差数列的定

义、等差中项证明数列是等差数列.3.掌握利用等差数列的性质求等差数列指定项(或其

项数)、公差；利用等差数列的单调性求前w项和的最值.

■必备知识自主梳理。

［知识梳理］

知识点一等差数列的有关概念

1.定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

2.等差中项

由三个数a,A,6组成的等差数列，这时A叫做，与6的等差中项,根据等差数列的

定义可知，24=a+6.

知识点二等差数列的有关公式

1.通项公式

an=ai+(n—1)d=nd+(的一］)=当dWO时，a”是关于〃的一次函数.

2.前〃项和公式

+(n—l)d

n(Gi+a)n(n—1)

Sn=nS—HCli

2n2

”的二次函数，且没有常数项.

知识点三等差数列的常用性质

1.通项公式的推广：诙=而+(n—m)d(mm£N*).

2.若｛〃〃｝为等差数列，且左+/=机+〃(k,I,m,〃£N"),则。化+〃/=斯"~斯.

3.若｛斯｝是等差数列，公差为d,则%ak+m，ak+2m，…Qk,m^N*)是公差为md的

等差数列.

4.数歹！JSmfs2m—Sm,S3m—S2",…也是等差数列.

5.S2〃T=(2n—1)an.

6.等差数列｛跖,｝的前n项和为S",｛手｝为等差数列.

学生用书I第131页

［小题诊断］

1.在等差数列｛斯｝中，已知〃5=11，。8=5,则。10等于()

A.-2B.-1

C.lD.2

答案：C

解析：设等差数列｛%｝的公差为“，由题意得产="】+4/解得卜=1%

(5=的+7d,(d=-2,

=

an—2〃+21,

・・・〃K)=—2X10+21=1.

2.在等差数列｛斯｝中，已知〃3+。5+〃7=15,则该数列前9项和S9=()

A.18B.27

C.36D.45

答案：D

解析：在等差数列｛斯｝中，〃3+〃5+。7=3〃5=15,所以〃5=5,所以59=%必乂9=等*9

=9^5=9X5=45.

3.(2021.上海卷)已知等差数列｛斯｝的首项为3,公差为2,则〃io=.

答案：21

解析：设公差为d,则aio=ai+9d=21.

4.等差数列｛斯｝的前〃项和为S”.若的=2,8=12,则°6=.

答案：12

解析：设等差数列｛斯｝的公差为d,则S3=3ai+3d,所以12=3X2+3%解得d=2,所以

06=01+51=2+5X2=12.

幅关键能力重点探究。

考点一等差数列基本量的计算

［例1］(2020•全国II卷)记S”为等差数列｛斯｝的前〃项和.若防=-2,痣+。6=2,则Sio

［答案］25

［解析］法一:设等差数列｛a〃｝的公差为d,则由°2+。6=2,得的+/+(71+5d=2,即一4

+6d=2,解得d=l,所以No=lO义(-2)+等-1A上yQ义1=25.

法二：设等差数列｛斯｝的公差为d,因为。2+。6=2〃4=2,所以〃4=1,所以d=&二生=

号之=1,所以No=lOX(-2)+等Xl=25.

口方法总结口

解答等差数列运算问题的通法

L等差数列运算问题的一般求法是设出首项的和公差d,然后由通项公式或前n项和公式

转化为方程(组)求解.

2.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及的,an,d,n,5在五个量，知其中三个就

能求另外两个，体现了方程的思想.

由跟踪训练

1•数列｛高｝是等差数列，且0=1，俏一土那么42024

死案,—1011

口木.1012

解析：设等差数列｛W的公差为d,因为〃1=1,。3=一右所以mI=L所以3

77?

=1+2(7,解得d=l,所以---=l+n—l=n,所以斯=一一1,所以〃2024=---------1=一

a九十1712024

20221011

20241012,

考点二等差数列的判定与证明

[例2](2021•全国甲卷)已知数列｛斯｝的各项均为正数，记a为｛斯｝的前〃项和，从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛斯｝是等差数列；②数列｛图｝是等差数列；

③〃2=3。1.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

[解]选①②作为条件，证明③.

设等差数列｛斯｝的公差为d,因为｛四｝是等差数列，所以2J豆=店+房，即

2J2cli+d=y/^+J3cli+3d,两边平方，得4(2〃i+d)=〃i+3〃i+3d+

2^1ar(3ai+3d),整理得4〃i+d=2jai(3ai+3d),两边平方，得16於+8〃11+心=

4(3青+3〃id),化简得4谖一4〃14+法=0,即(2〃1一〃)2=0,所以d=2〃i,则〃2=。1+

d=3〃i.

选①③作为条件，证明②.

设等差数列｛〃〃｝的公差为d.

因为。2=3的，即〃i+d=3m,所以d=2〃i.

所以等差数列｛斯｝的前〃项和，⑺2°d=nai+?(\=n2^.

又〃i>0,所以，£=小河.

贝qjs,+i-(〃+i)外向所以数列｛、廊｝是公差为的等差数列•

选②③作为条件，证明①.

设等差数列｛、/£｝的公差为d,因为=/端，+3a1=2夜7,所以

d=，豆—/豆=2夜?一7^7=7^?,则等差数列｛的通项公式为(n—1)

=12

4a[=ny[a[,所以S〃=层0，当〃22时，anSn~Sn-\—ria\—(九一1)a\=(2九一1)a\,

且当〃=1时，上式也成立，所以数列｛〃〃｝的通项公式为斯=(2n—1)a\,则斯+1—。〃=

(2〃+1)a\~(2n—1)ai=2ai,所以数列｛斯｝是公差为2内的等差数列.

□方法总结口

等差数列的判定与证明的方法

方法解读适合题型

对于数列｛%｝,“—a”T(〃)2,

定义法〃GN*)为同一常数㈡(斯｝是等

解答题

差数列

中的证

a

对于数列{an},2aLi=n+

等差明问题

a2(〃23,7?eN*)成立㈡{%}

中项法n

是等差数列

a„=pn+q(p.q为常数)对任意

通项

的正整数〃都成立㈡｛斯｝是等

公式法

差数列填空题

前n验证S„=AM2-FBW(A,B为常中的判

项和数)对任意的正整数〃都成立Q定问题

公式再｛6｝是等差数列

学生用书I第132页

也跟蹉训空

2.(2021•全国乙卷)记S”为数列｛诙｝的前w项和，儿为数列｛SJ的前〃项积，已知

Sn%

2.

(1)证明：数列｛"｝是等差数列；

(2)求｛为｝的通项公式.

(1)证明：由幻=S-S2可得，

瓦，71=1,

S'=J4，n>2.

、％-1

由三+工=2知，

Sn%

71?1a91

当”=1时，怖+5=2,即：+三=2,所以"=Si=I当“22时，备+；=2,即2与=

bn-l

2"i+l,

即为―6“一i=|,故数列｛儿｝是首项为|,公差为纲等差数列.

(2)解：由(1)知，6〃=|+(«—1)

故当时，S〃=4="1,Si也符合该式，

bn-ln+1

即S,=W(〃GN*),从而的=邑=三，

n+129

当时，a=S-S-i=^~—=-—1―,m不符合该式，

nnnn+1nn(n+1)

(31

5,n=1,

所以斯=〈i

------,n>2.

、n(n+1)

考点三等差数列的性质及应用

⑧角度(一)等差数列项的性质

[例3](1)在等差数列｛斯｝中，.+3a8+的5=120,则2a9一的0的值是()

A.20B.22

C.24D.-8

(2)已知数列｛斯｝,都是等差数列,且m=2,bi=-3,47—3=17,则(72024—62024

的值为.

［答案］(1)C(2)4051

［解析］(1),.,(71+348+415=548=120,

••(78=24,••2。9—410=。1。+。8—6/10=^8=24.

(2)令C"=a"一b",因为｛斯｝,｛6“｝都是等差数列,所以｛c“｝也是等差数列.设数列｛0｝的公

差为d,由已知，得ci=0—bi=5,C7=17,则5+6d=17,解得1=2,故02024—62024=

C2024=5+2023X2=4051.

口方法总结口

已知为等差数列，d为公差：

L通项公式的推广：an