人教八年级数学上册全等三角形《角平分线的性质》示范公开课教学课件

12.3角的平分线的性质（2）

人教版数学八年级上册第十二章

全等三角形知识回顾角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.∴PD=PE.OABCPDE┐┐教学目标1.探究并证明角的平分线的判定.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.新知导入

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，它的逆命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否成立呢？新知探究知识点1

角平分线的判定角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．猜想:如果

，那么

。1、改写为：在角的内部有一个点到角的两边距离相等这个点在角的平分线上2、画图，并用几何语言将“如果”“那么”改写为“已知”“求证”BADOPE┐已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.新知探究证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP，∴点P在∠AOB的平分线上.即OP为∠AOB的平分线

在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP新知探究角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.新知典例例1如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.新知典例例2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.┐CEAFDB┐BE=CF，DB=DC.

Rt△BDE≌Rt△CDF.

DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF.AD是∠BAC的平分线.

分析：

（直角三角形全等（HL））（三角形全等的性质）（角的平分线的判定）思考从问题出发

作答从已知开始新知典例例2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.┐CEAFDB┐证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BE=CF，

DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.课堂练习证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.1、如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D.

求证：AD平分∠BAC.新知探究

问题1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线发现：三角形的三条角平分线相交于一点.知识点2

问题2：那这一点到三角形三边的距离是否一样？到三条边的距离一样你能证明这个结论吗？新知探究已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPNM证明结论新知探究

问题3

点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？∵PD⊥AB,PF⊥AC，且PD=PF∴点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.DEFABCPNM新知典例MENABCPOD

例3

如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.∵AP平分∠BAC，OM=4∴OE=OM=4同理OE=ON∴OE=OM=ON=4∴点O到△ABC三边的距离和为12BCA解：过O做OE⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为E、N两点P由（1）可知OM=ON=OE=4∵△ABC的周长为32∴AB+BC+AC=32∴新知典例解：连接OC.MENABCPOD(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.

例3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.新知探究点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等性质定理判定定理性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.角的平分线的性质定理与判定定理的关系知识点3新知典例例3、已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．解：（1）过点P作PD⊥BC于D，∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PF；（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠EAP＝＝30°课堂练习

1.如图，

直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，

现要建一个货物中转站，

要求它到三条公路的距离相等，

可选择的地址有几处?画出它的位置.P1P2P3P4l1l2l3课堂总结角平分线的判定学会用添加辅助线的方法解题判定定理应用角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题课堂练习1．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PCB课堂练习2．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（）A．58° B．64° C．122° D．124°C课堂练习3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4C课堂练习4．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D为射线OB上一动点，连接PD，若PC＝9，则PD的长度的取值范围是

．PD≥9解：过点P作PH⊥OB于点H，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA∴PH＝PC＝9∵点D为射线OB上一动点∴PD≥PH∴PD的取值范围是：PD≥9，