人教版 八年级数学上册全等三角形《角平分线的性质》教学课件

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角平分线的性质赣州市文清实验学校刘娟娟

人教版数学八年级上册第十二章

全等三角形AOBC1、角平分线的概念：

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的角平分线.2、通过折纸的方法得到一个角的平分线.知识回顾

如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D思考证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴

△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）∴AE平分∠DAB（角平分线的定义）ABC(E)D问题：如果没有此仪器，我们又如何画出一个角的角平分线呢？ABO尺规作角平分线做一做：请根据上面此仪器平分角的原理，我们来看看用尺规如何来作图？提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ABMNCO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.1.操作观察：取角平分线OC上任意一点P，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，随着点P在OC上移动，观察PD、PE有什么数量关系？2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的数量关系，写出结：__________PD=PE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的

任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E，求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴PD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等∴△PDO

≌△PEO(AAS)PAOBCDE定理应用格式：∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.∴PD=PE

性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.方法归纳例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：

∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析1、△ABC中，

∠C=90°，AD平分∠CAB,且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是

.ABCD3E随堂练习2、用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA典例精析例2：如图，AD平分∠BAC，BD=CD，求证：∠B=∠C方法总结：有角平分线时，我们通常作出到角两边的距离（垂线段）来解决问题.EF1、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3D解析：过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，

F解得AC＝3.拓展训练如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角形的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA