2023学年宜春市丰城九中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

学年宜春市丰城九中高二数学上学期期末考试卷一、单选题：（共8个小题，每小题5分，共40分.）1.已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数（）A. B. C.6 D.2.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.记为等比数列的前项和，若，，则（）A.48 B.81 C.93 D.2434.已知抛物线焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），，垂足为N，直线NF交x轴于点D，则（）A.2 B. C.4 D.5.过直线上一点P作⊙M：两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（）A. B.C.或 D.或6.在形状、大小完全相同4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数，若实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.8.如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点，，平面平面，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.二、多选题：（共3个小题，每小题6分，共18分.）9.函数的大致图象可能是（）A.B.C.D.10.已知函数，则下列四个命题正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数的图象关于中心对称C.不存在斜率小于且与数的图象相切的直线D.函数的导函数不存在极小值11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（）A.B.的图象关于轴对称C.的图象关于轴对称D.存在一个正三角形，其顶点均在的图象上三、填空题：（共3个小题，每小题5分，共15分.）12.等差数列中是函数的极值点，则______.13.若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．14.已知正项数列的前n项和满足（n为正整数），则_________；记，若函数的值域为，则实数k的取值范围是__________．四、解答题：（5题，共计77分．）15.公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比数列，（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前项n项和Tn．16.如图，在三棱柱中，，，D，E分别是CB，CA的中点，.（1）若平面平面，求点到平面ABC的距离；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.17.如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．（1）若蚂蚁爬行次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望．18.如图，一张圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕与直线PE相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹，记为曲线C．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在C上．（1）求C的方程；（2）若点坐标为，过F且不与x轴重合直线交C于A，B两点，设直线，与C的另一个交点分别为M，N，记直线的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线AB的方程．19.已知函数有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：；（3）求证：．丰城九中2023-2024学年上学期高二21、22班数学期末考试试卷一、单选题：（共8个小题，每小题5分，共40分.）1.已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数（）A. B. C.6 D.【答案】D【分析】利用复数的除法运算整理一般式，可得答案.【详解】由，结合题意，则，解得故选：D.2.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项.详解】若方程表示椭圆，则，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B3.记为等比数列的前项和，若，，则（）A.48 B.81 C.93 D.243【答案】C【分析】根据等比数列的前项和先确定公比，再计算得，从而计算得的值，即可得的值.【详解】设等比数列的公比为，因为，，若，则，得，则，故，则，所以，所以，所以.故选：C.4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），，垂足为N，直线NF交x轴于点D，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【分析】由已知条件证得是等边三角形，在中，利用三角函数求．【详解】由已知可得，，．如图所示，过点F作，垂足为A．由题得，所以．根据抛物线的定义可知，所以是等边三角形．因为，所以．在中，．故选：A．5.过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（）A. B.C.或 D.或【答案】B【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案.【详解】⊙M：的圆心，半径，由，得，由题意可得圆心到直线的距离，即，解得.故选：B.6.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用计数方法结合古典概型求解.【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为种，恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共种，所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为.故选：B7.已知函数，若实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】首先对进行变形，构造函数，，推得其对称中心为，且上在单调递增，再结合对称性和单调性将转化为,再利用基本不等式求解的最大值.【详解】由，记，，则，，且单调递增，单调递增，则与都关于中心对称且为上的增函数,所以，故关于中心对称且为上增函数，则由，得，可得，记，则，可得，当且仅当，即取等号，故的最大值为.故选：C．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得的对称中心，从而得到，的关系，进而利用基本不等式求解最值.8.如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点，，平面平面，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】取的中点，连接，由等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理证平面，由线面垂直的性质及判定定理证平面，进而推出，利用勾股定理及勾股定理的逆定理等证，从而确定四面体的外接球的球心与半径，利用球的体积公式求解即可．【详解】如图，取的中点，连接，因为，所以．又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以．依题意平面平面，所以，又平面，所以平面．又平面，所以，所以，所以．连接，则，所以．又，所以，所以．因为与共斜边，所以四面体的外接球的球心为的中点，且外接球半径，所以该球的体积．故选：A【点睛】确定简单几何体外接球的球心有如下结论：（1）正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高线上；（5）若三棱锥的其中两个面是共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心．二、多选题：（共3个小题，每小题6分，共18分.）9.函数的大致图象可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【分析】对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.【详解】当时，是偶函数，当时，为减函数，此时对应图象可能是C；当时，，令得，为非奇非偶函数，且，令其对应方程的，设其对应方程的两根分别为，，，所以，，，，，，即函数在和上单调递减，在上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B；当时，为非奇非偶函数，在处无定义，取时且单增，时且单增，时单增，此时对应图象可能是D；对于A，由于图象无间断点，故，但此时在上不可能恒正，故选：BCD.10.已知函数，则下列四个命题正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数的图象关于中心对称C.不存在斜率小于且与数的图象相切的直线D.函数的导函数不存在极小值【答案】ABC【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，有导函数的符号判断函数的单调性，判断A的真假；判断是否成立，从而判断B的真假；对函数的导函数进行分析，求导函数的值域，可判断CD的真假.【详解】因为，所以函数的定义域为.因为：，，所以时，恒成立，所以在为增函数，故A正确；因为：，，故，即得图象关于点对称，故B正确；因为：，，当时，为的最小值，所以的切线的斜率一定大于或等于，不存在斜率小于的切线，故C正确；有最小值，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：（1）证明函数图象关于点对称，需要证明或恒成立即可；（2）证明函数的图象关于直线对称，需要证明或恒成立即可.11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（）A.B.的图象关于轴对称C.的图象关于轴对称D.存在一个正三角形，其顶点均在的图象上【答案】BCD【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.【详解】对于A，当，时，，，，故A错误；对于B，因为的定义域为，关于原点对称，若是无理数，则是无理数，所以，；若是有理数，则是有理数，所以，；所以，故是偶函数，图象关于轴对称，B正确；对于C，由B可知，，所以，故偶函数，图象关于轴对称，C正确；对于D，设，，，则，所以是等边三角形，又因为，，，所以的顶点均在的图象上，D正确.故选：BCD三、填空题：（共3个小题，每小题5分，共15分.）12.等差数列中的是函数的极值点，则______.【答案】##【分析】先由题意求出，再利用等差中项求出，最后利用对数的运算法则即可求解.【详解】函数的定义域为，，因为是函数的极值点，所以是方程的两根，所以，因为是等差数列，所以，所以.故答案为：.13.若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．【答案】【分析】根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答.【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图，由双曲线：得：，，于是，显然四边形的外接圆半径为，因此，所以.故答案为：14.已知正项数列的前n项和满足（n为正整数），则_________；记，若函数的值域为，则实数k的取值范围是__________．【答案】①.②.【分析】因式分解即可求出，再利用求出数列的通项公式，由裂项相消求和法计算可得.设函数，将函数写出分段函数，根据函数的值域为R和极限的思想可得当时、当时，解不等式即可求解.【详解】因为，所以，又因为是正项数列，所以，即，当得，当得，经检验符合上式，所以.所以.设函数，当时，；同理可得，当时，，当时，，当时，，当时，，即，其中，由函数的值域为R知，当时，，所以，即，解得；当时，，所以，即，解得，综上，实数k的取值范围为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将函数转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用.四、解答题：（5题，共计77分．）15.公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比数列，（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前项n项和Tn．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由条件可知，代入等差数列的前项和公式，整理为关于的方程求解通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由已知可得：，即：，解得（舍）或所以，（2）由（1）可得，所以；所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的点到综合，以及裂项相消法求和，属于基础题型，本题的难点是第二问，注意能使用裂项相消法的类型.16.如图，在三棱柱中，，，D，E分别是CB，CA的中点，.（1）若平面平面，求点到平面ABC的距离；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点点距离公式可得点，进而根据面面垂直得法向量垂直，即可根据向量的坐标运算求解，根据线面垂直即可求解距离，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，因为，，，所以，则，，，.设平面的一个法向量，则，即令，则，，所以，设平面的一个法向量，则，即令，则，，所以.因为平面平面，所以，所以，即，所以，所以，所以点在z轴上，即平面ABC，因为平面ABC，所以，又，，所以，故到平面ABC的距离为.【小问2详解】由（1）知，由，则，因为，所以，所以，，所以.由（1）知平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.17.如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．（1）若蚂蚁爬行次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【分析】（1）记蚂蚁爬行次在底面的概率为，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，找到关系构造等比数列可得答案.（2）结合题意易知，求出对应得概率,列出分布列，计算期望即可.【小问1详解】记蚂蚁爬行次在底面的概率为，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，结合题意易得，，是等比数列，首项为，公比为，【小问2详解】结合题意易得：，当时，蚂蚁第3次、第5次都在处，当时，蚂蚁第3次在处或第5次在处，设蚂蚁第3次在处概率为，设蚂蚁第5次在处的概率为，设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，由对称性知，，，又，得，，，的分布列为：012的数学期望.18.如图，一张圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕与直线PE相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹，记为曲线C．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在C上．（1）求C的方程；（2）若点坐标为，过F且不与x轴重合的直线交C于A，B两点，设直线，与C的另一个交点分别为M，N，记直线的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的定义可判断轨迹形状，继而确定的值，即得答案；（2）讨论是否为直角，不为直角时，设直线的方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程，结合根与系数的关系式，求出坐标的表达式，从而化简得到的关系，利用两角差的正切公式，求出的表达式，分类讨论，结合基本不等式，求出符合题意的k的值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知，以中点为原点O，以所在直线为x轴，以的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，F是圆内的一个定点，故圆的半径，则,故点Q的轨迹为以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则其焦距为，又点在C上，则，故C的方程为；【小问2详解】当时，由椭圆对称性得；当时，设直线的方程为，设，则，当时，设直线的方程为，则，联立，则，由于直线过椭圆焦点，则必有，故，则，同理当时，设直线的方程为，则,则，故，当时，，根据椭圆的对称性，不妨设，则，，满足，同理当时，也满足，故,当时，，当时，且，当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，综上取得最大值时，，直线的方程为.【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的最值问题，综合性强，难度大，解答时要设直线方程，联立