专题5-1 向量模、夹角与坐标运算-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练

专题5-1向量模、夹角投影与坐标运算目录一、热点题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型一】向量夹角1：坐标运算 1【题型二】向量夹角2：夹角锐钝 2【题型三】向量夹角3：模 3【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角 4【题型五】投影 5【题型六】模与数量积 6【题型七】范围最值 7二、真题再现 7三、模拟检测 9综述：1.模公式：。2.平面向量数量积公式：（1）a⋅（2）a⋅主要应用以下几个方面:（1）求向量的夹角，cosθ=a·（2）求投影，a在b上的投影是a⋅（3）a,b向量垂直，则a⋅b=0【题型一】向量夹角1：坐标运算【典例分析】（2022·福建南平·高三期末）设向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则()叫做与的夹角.说明：①当时，与同向；②当时，与反向；③当时，与垂直，记；【变式演练】1.（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量与向量的夹角为，则（

）A． B． C． D．2.（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．3.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角大小为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【题型二】向量夹角2：夹角锐钝【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律用坐标或者数量积求解夹角锐钝时，要注意向量共线（同向或者反向）【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型三】向量夹角3：模【典例分析】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律.。【变式演练】1.（2022·浙江·高三开学考试）已知向量满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B．C． D．3.（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角【典例分析】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律实际教学中，许多学生对于复合型向量求夹角，容易混淆不清，可以直接把复合向量设为新向量来代入公式求解。【变式演练】1.（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（

）.A． B． C． D．2.（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（

）A． B．C． D．3.（2022·辽宁锦州·一模）若，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【题型五】投影【典例分析】已知向量a在向量b方向上的投影为−1，向量b在向量a方向上的投影为−12，且|bA．23河南省林州市第一中学2019-2020学年高三5月月考数学试题【提分秘籍】基本规律1.a在b方向上的投影为：|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.【变式演练】1.已知向量,的夹角为120°，且则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．2.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是（）A．B．C．D．3.已知向量a，b满足a=5，a−b=6，a+【题型六】模与数量积【典例分析】若向量，，，则______________.河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题【提分秘籍】基本规律平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有().规定与任何向量的数量积为.说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)，.(4)在实数中，若，且，则，但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中.(5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出，如图：，，但.(6)在实数中有，但是在向量中，【变式演练】1.若等边ΔABC的边长为3，平面内一点M满足CM=13A．2B．−152C．152.在△中，，，是边上的一点，且，则的值为A．0B．4C．8D．3.已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．0【题型七】范围最值【典例分析】已知向量、的夹角为，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练】1.（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（

）A． B． C． D．2.已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知向量e1与e2的夹角为π4，|e1|=1，|eA．(−5−13C．(−∞,−5−131．（·陕西·高考真题（文））已知向量，，若，则实数m等于（

）A．－ B．C．－或 D．02．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．04．（·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（

）A． B． C． D．5．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或6．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．27．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．68．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．10．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．11．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．12．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．13．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.14．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；________.1.（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知向量，，，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））设向量，满足，，与的夹角为，则等于（

）A．2 B．1 C．3 D．4.（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．5.已知向量，满足，