2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【A级基础巩固】1.“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.关于双曲线C1:x2-y2=2与C2:y2-x2=2,下列说法中错误的是()A.它们的焦距相等 B.它们的顶点相同C.它们的离心率相等 D.它们的渐近线相同3.双曲线y2a2A.y23-x2=1 B.y2-C.y29-x23=1 D.4.已知F为双曲线C:x24-y2A.25B.16C.32D.405.如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶距离水面6m,水面宽AB=123m,若水面下降6m,则水面宽()A.243m B.242mC.183m D.182m6.已知双曲线x2a2-y7.记双曲线C:x2a2写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值.9.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F(1)若点M在双曲线上,且MF1→(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,FF2A→·FA.2 B.2 C.5 D.711.(多选题)已知双曲线C经过点(62,1),且与椭圆Γ:x22+y2=1有公共的焦点F1A.双曲线C的离心率为2B.sin∠MOP>6C.当P为C与Γ的交点时,cos∠F1PF2=1D.|PM|的最小值为112.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,FQ(x2,y2)是双曲线右支上的两点,x1+y1=x2+y2=3.记△PQF1,△PQF2的周长分别为C1,C2.若C1-C2=8,则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为.13.已知双曲线x2a2(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-3,求双曲线的离心率.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】过点M(-m,0)(m≠0)的直线l与直线3x+y-3=0垂直,直线l与双曲线C:x2a2-参考答案【A级基础巩固】1.解析:因为方程mx2+ny2=1表示双曲线,所以mn<0,又当mn<0时,方程mx2+ny2=1表示双曲线,因此“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.故选C.2.解析:双曲线x2-y2=2的顶点坐标为(±2,0),而双曲线y2-x2=2的顶点坐标为(0,±2),B错误.分析可知其他选项正确.故选B.3.解析:依题意可知,双曲线的下焦点坐标为(0,-c),渐近线方程为y=±abx,即ax±故双曲线下焦点到渐近线的距离为bca2+b2=bcc=b=3.又该双曲线的离心率e=ca=1+4.解析:由题意可知,a2=4,b2=9,所以c2=4+9=13,解得c=13,所以双曲线C:x24-y29=1的左焦点F(-由双曲线的定义,知|PF|-|PA|=2a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②由①②,得|PF|+|QF|=|PQ|+8,又|PQ|=|PA|+|QA|=12,所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.故选C.5.解析:如图所示,以双曲线的对称中心为原点,焦点所在对称轴为y轴建立平面直角坐标系,设双曲线标准方程为y2-x2=a2(a>0),则顶点M(0,-a),A(-63,-a-6),将A点代入双曲线方程得,(a+6)2-36×3=a2⇒a=6,当水面下降6m后,y=-a-12=-18,代入双曲线方程得,182-x2=62⇒x=±122,所以水面宽122×2=242(m).故选B.6.解析:因为双曲线x2a2所以e=c2a2=a所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3答案:y=±3x7.解析:双曲线C的渐近线方程为y=±bax,若直线y=2x与双曲线C无公共点,则2≥ba,所以b2a2≤4,所以e2=c2a答案:2((1,5]内的任意值均可)解析:双曲线的渐近线方程为x±my=0,圆x2+y2-4y+3=0的方程可化为x2+(y-2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.因为双曲线的渐近线与圆相切,所以圆心到渐近线的距离d=|0±2m|答案:39.解:(1)不妨设M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h,因MF1→·MF2设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知m-n=2a=8.①在Rt△F1MF2中,由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,②由①②得m·n=8.因为S△MF1F2=1即点M到x轴的距离为25(2)设双曲线C的方程为x216-因为双曲线C过点(32,2),所以1816-λ解得λ=4或λ=-14(舍去),所以双曲线C的方程为x212-INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:如图所示,因为O为AB中点也是F1F2中点,所以四边形AF2BF1为平行四边形,|F1B|=|F2A|=2|F1A|,又|F2A|-|F1A|=2a,所以|F1A|=2a,|F2A|=4a.又F2A→·F2B→=F2A→·AF1-8a2cos∠F1AF2=4a2,所以cos∠F1AF2=-12,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF24a2+16a2-2×2a·4a(-12)=28a2,即4c2=28a2,所以e=711.解析:由题意,F1(-1,0),F2(1,0),设双曲线的标准方程为x2a2a2<1,将点(62,1)代入得a2=12,所以双曲线方程为x212-y212=1,得其离心率为e=ca=122=2P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时,由椭圆和双曲线的定义知,所以|PM|=x02+(y当y0=12时,|PM|min12.解析:因为C1-C2=(|PQ|+|PF1|+|QF1|)-(|PQ|+|PF2|+|QF2|)=4a=8.所以a=2,所以双曲线右顶点为(2,0).由P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+y1=x2+y2=3,可知点P,点Q在直线x+y=3上,所以直线PQ的方程为x+y-3=0,则双曲线的右顶点到直线PQ的距离d=12=2答案:213.解:(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±ba所以c2=a2+b2=2a2=4,所以a2=b2=2,所以双曲线方程为x22-(2)设点A的坐标为(x0,y0),所以直线AO的斜率满足y0x0·(-3)=-1,所以x0=3依题意,圆的方程为x2+y2=c2,将①代入圆的方程得3y02+y0即y0=12c,所以x0=32c,所以点A的坐标为(32c,12c),代入双曲线方程得即34b2c2-14a2c2=a2b又因为a2+b2=c2,所以将b2=c2-a2代入②式,整理得34c4-2a2c2+a4=0,所以3(ca)4-8(ca)2+4=0,所以(3e2-2)(e2-2)=0,因为e>1,所以e=2INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.解:因为过点M(-m,0)(m≠0)的直线l