2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【A级基础巩固】1.若平面α⊥平面β,直线n⊂α,直线m⊂β,且m⊥n,则()A.n⊥β B.n⊥β且m⊥αC.m⊥α D.n⊥β和m⊥α中至少有一个成立2.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在()A.直线AC上 B.直线AB上C.直线BC上 D.△ABC内部3.如图,在四面体DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()5.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则下列条件中能推出α⊥β的是()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,B1C的中点,则EF与平面ABCD所成角的正切值为.7.在四面体PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB中点,请从以下平面中选出两个相互垂直的平面.(只填序号)①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC;⑤平面POC.8.已知l是平面β外的一条直线.给出下列三个论断:①α⊥β;②l⊥α;③l∥β.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.9.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,E为PB的中点.(1)求证:EO∥平面PDC;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.已知三棱锥PABC中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作PO⊥平面ABC,垂足为O,则点O是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心11.(多选题)如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列结论正确的是()A.三棱锥AD1PC的体积不变B.A1P⊥平面ACD1C.DP⊥BC1D.平面PDB1⊥平面ACD112.(多选题)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿BD折起.设折起后点A的位置为A′,并且平面A′BD⊥平面BCD.下面四个命题正确的是()A.A′D⊥BC B.三棱锥A′BCD的体积为22C.CD⊥平面A′BD D.平面A′BC⊥平面A′DC13.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥平面ABCD;(2)平面BEF∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.14.如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=22,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且PM与平面ABC所成角的正切值为6,求二面角MPAC的平面角的余弦值.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】15.如图,已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,点P是AD1上的动点,则PB1与平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值为.参考答案【A级基础巩固】1.解析:(1)若m垂直两个平面的交线,那么n,β的关系不确定;(2)若n垂直两个平面的交线,那么m,α的关系不确定;(3)若m,n都不垂直于两个平面的交线,过m上不在交线上一点O,做交线的垂线l,则l⊥α,所以l⊥n,因为l∩m=O,l⊂β,m⊂β,所以n⊥β,所以n垂直两平面的交线,这与m,n都不垂直于两个平面的交线相矛盾,故假设不成立,因此m,n至少有一个垂直两平面的交线,所以n⊥β和m⊥α至少有一个成立.故选D.2.解析:连接AC1,如图.因为∠BAC=90°,所以AC⊥AB,因为BC1⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1,由面面垂直的性质知,过平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线,垂足必落在交线AB上.故选B.3.解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,且BE∩DE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.4.解析:对于A,显然AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;对于C,显然AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;对于D,因为ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理CE⊥AB,因为ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.故选BD.5.解析:对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,α,β可以平行、相交不垂直、垂直,A不正确;对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,当m,n不相交时,l不一定与β垂直,则α不一定与β垂直,B不正确;对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,显然直线l与α,β无关系,α,β可以平行、相交不垂直、垂直,C不正确;对于D,由l∥m,m⊥β,得l⊥β,又l⊂α,根据面面垂直的判定知α⊥β,D正确.故选D.6.解析:如图,取BC的中点O,连接OE,OF,因为F是B1C的中点,所以OF∥B1B,所以FO⊥平面ABCD,所以∠FEO是EF与平面ABCD所成的角.设正方体的棱长为2,则FO=1,EO=2,所以EF与平面ABCD所成角的正切值为22答案:27.解析:因为在四面体PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB中点,所以CO⊥AB,PO⊥AB,CO∩PO=O,所以AB⊥平面POC.因为AB⊂平面ABC,所以平面POC⊥平面ABC,所以两个相互垂直的平面为②⑤.答案:②⑤(答案不唯一)8.解析:(1)①②⇒③.说明:因为α⊥β,l⊥α,所以l∥β或l⊂β,又因为l是平面β外的一条直线,所以l∥β,命题正确.(2)①③⇒②.说明:设α∩β=m,取直线l∥m,此时,l∥β,但直线l可能平行于平面α,也可能在平面α内,所以命题不正确.(3)②③⇒①.说明:因为l∥β,所以平面β内必存在一条直线与直线l平行,设为n,即n∥l,又因为l⊥α,所以n⊥α,从而得α⊥β,所以命题正确.答案:①②⇒③或②③⇒①9.证明:(1)因为底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,所以O为BD中点,又E为PB的中点,所以EO∥PD,因为EO⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,所以EO∥平面PDC.(2)因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC,因为PD∩BD=D,PD,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,又AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:如图,连接AO并延长,交BC于D,连接BO并延长,交AC于E.因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,故PA⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,故PA⊥BC,因为PO⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,故PO⊥BC,又PA∩PO=P,故BC⊥平面PAO,故AO⊥BC,即AD⊥BC.同理BE⊥AC,故O是△ABC的垂心.故选D.11.解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB∥A1B1∥C1D1,AB=A1B1=C1D1,即四边形ABC1D1为平行四边形,如图(1),则BC1∥AD1,而AD1⊂平面ACD1,BC1⊄平面ACD1,则有BC1∥平面ACD1,因此,点P到平面ACD1的距离为定值,而△ACD1面积是定值,则三棱锥AD1PC的体积不变,A正确;如图(2),连接A1B,A1C1,由选项A知,BC1∥平面ACD1,同理BA1∥平面ACD1,而BC1∩BA1=B,BC1,BA1⊂平面A1BC1,则有平面A1BC1∥平面ACD1,又A1P⊂平面A1BC1,因此,A1P∥平面ACD1,B不正确;如图(3),连接BD,C1D,显然△BC1D是正三角形,当点P与点B重合时,∠DPC1=60°,点P在运动过程中,不是总有DP⊥BC1成立,C不正确;如图(4),在正方体ABCDA1B1C1D1中,BD⊥AC,而BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则BB1⊥AC,又BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BB1D,有AC⊥平面BB1D,又B1D⊂平面BB1D,于是得AC⊥B1D,同理AD1⊥B1D,因为AD1∩AC=A,AD1,AC⊂平面ACD1,则B1D⊥平面ACD1,又B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,D正确.故选AD.12.解析:如图所示,取BD的中点E,连接A′E,由AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB得到∠DBC=∠ADB=45°,又∠BCD=45°,故△BCD为等腰直角三角形.所以CD⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面A′BD,故C正确;因为E为BD的中点,A′D=A′B,所以A′E⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,则A′E⊥平面BCD,所以A′E⊥BC,如果A′D⊥BC,则可得到BC⊥平面A′BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故A错误;三棱锥A′BCD的体积为V=13×12×2×2×22=因为CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B,又A′B⊥A′D,A′D∩CD=D,所以A′B⊥平面A′DC,又A′B⊂平面A′BC,所以平面A′BC⊥平面A′DC,故D正确.故选CD.13.证明:(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥平面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE,所以四边形ABED是平行四边形,所以AD∥BE,因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD,因为E和F分别是CD和PC的中点,所以EF∥PD,因为EF⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD,因为BE∩EF=E,BE,EF⊂平面BEF,所以平面BEF∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,所以平行四边形ABED是矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF,又因为BE∩EF=E,所以CD⊥平面BEF,因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.14.(1)证明:法一如图,连接OB.因为AB=BC=2,AC=22,所以AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形,又O为AC的中点,所以OA=OB=OC,又因为PA=PB=PC,所以△POA≌△POB≌△POC,所以∠POA=∠POB=∠POC=90°.所以PO⊥AC,PO⊥OB,因为OB∩AC=O,OB,AC⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC.法二如图,连接OB,因为PA=PC,O为AC的中点,PA=PB=PC=AC=22,所以PO⊥AC,PO=6,又因为AB=BC=2,所以AB⊥BC,BO=2,所以PO2+OB2=PB2,所以PO⊥OB,因为OB∩AC=O,OB,AC⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC.(2)解:由(1)知,PO⊥平面ABC,所以OM为PM在平面ABC上的射影,所以∠PMO为PM与平面ABC所成的角,因为tan∠PMO=POOM=6OM=所以△ABC∽△OMC,得MC=1,所以M为BC的中点.如图,作ME⊥AC交AC于E,则E为OC的中点,作EF⊥PA交PA于F,连接MF,所以MF⊥PA,所以∠MFE即为所求二面角MPAC的平面角,ME=22,EF=32AE=32×34×22MF=ME2+所以cos∠MFE=EFMF=3故二面角MPAC的平面角的余弦值为39331.INCLUDEPIC