2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【A级基础巩固】1.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb2.下列命题中,正确的是()A.若a和b都是单位向量,则a=bB.若|a|=|b|,则a=b或a=-bC.对于任意向量a,b,有|a+b|≥|a-b|D.对于任意向量a,b,有|a|+|b|≥|a+b|3.设D为线段BC的中点,且AB→+AC→=-6A.AD→=2AE→ B.ADC.AD→=2EA→ D.AD4.四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是()A.|AB→|=|EFB.AB→与FHC.BD→与EHD.DC→与EC5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量AB→,AC→表示A.29AB→+89ACC.29AB→+79AC6.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB→+AD→=λAO→,则λ=,BO→=(用7.已知不共线向量a,b,AB→=ta-b(t∈R),AC→=2a+3b,若A,B,C三点共线,则实数t=8.一条河的两岸平行,河的宽度d=4km,一艘船从岸边A处出发到河的正对岸,已知船的速度大小|v1|=10km/h,水流速度大小|v2|=2km/h,那么行驶航程最短时,所用时间是h.(附:6≈2.449,精确到0.01)

9.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB→=2e1-8e2,CB→=e1+3eCD→=2e1-e2(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若BF→=3e1-ke2INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.(多选题)已知A,B,C是同一平面内三个不同的点,OA→=a-b,OB→=2a-3b,A.AC→=2AB→ B.ABC.AC→=3BC→11.设D为△ABC的边AB的中点,P为△ABC内一点,且满足AP→=AD13BC→A.13 B.34 C.1212.在△ABC中,D在线段BC上,且BD→=2DC→,AM→=λAC→,AN→=μAB→,λ,μ均为非零常数,若N,D,M三点共线,则13.如图所示,在△ABO中,OC→=14OA→,OD→=1(1)试用向量a,b表示OM→(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记OE→=λa,OF→=μb,求证:1λINCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE→=AD→+μAB→15.如图,已知正六边形ABCDEF,M,N分别是对角线AC,CE上的点,使得AMAC=CNCE=r(r>0),当r=参考答案【A级基础巩固】1.解析:因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,所以a与b共线同向.故选D.2.解析:单位向量的模长相等,但方向未必相同,所以a与b不一定相等,故A错误.当向量模长相等、方向不相同且不相反时,满足|a|=|b|,但a=b,a=-b不成立,故B错误.若非零向量a,b方向相反,则|a+b|<|a-b|,故C错误.当a,b中有零向量时,|a|+|b|=|a+b|;当a,b为非零向量时,若a,b共线且方向相同,则|a|+|b|=|a+b|,若a,b共线且方向相反,则|a|+|b|>|a+b|;当a,b为非零向量,且a,b不共线时,如图所示,|a|+|b|>|a+b|.综上,|a|+|b|≥|a+b|,故D正确.故选D.3.解析:由D为线段BC的中点,且AB→+AC→=-6AE→,得2ADAD→=-3AE→,即AD→4.解析:因为三个四边形都是全等的菱形,所以|AB→|=|EF→|,AB∥CD∥FH,故AB→与FH→共线.又三点D,C,E共线,所以5.解析:由题意可得CE→=AE→-AC→=13AD→-AC→=13(AB→13(AC→-AB→)]-AC→=6.解析:由向量加法的平行四边形法则知AB→+AD→=AC→,又因为O是AC的中点,所以AC=2AO,所以AC→=2AO→,故AB所以BO→=12BD→=12答案:212(AD→-7.解析:因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使得AB→=kAC所以ta-b=k(2a+3b)=2ka+3kb,即(t-2k)a=(3k+1)b.因为a,b不共线,所以t-2答案:-28.解析:要使航程最短,需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸,如图所示,|v|=|v1|2-|v266答案:0.419.(1)证明:由已知得BD→=CD→-CB→=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1因为AB→=2e1-8e2,所以AB→=2又AB→与BD(2)解:由(1)可知BD→=e1-4e2,因为BF→=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以BF→=λBD→(λ∈R),即3e1-ke2=λe1解得k=12.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:由题可得AB→=OB→-OA→=a-2b,AC→=OC→-OA→=2a-4b,a-2b,所以AC→=2AB→,故A正确;AB→=BC→,故B正确;AC→=2BC→,故C错误;由AC→11.解析:因为D为△ABC的边AB的中点,所以S△ABC=2S△ADC,又因为P为△ABC内一点,且满足AP→=AD→+13BC→,所以AP→-AD→=13BC→,即DP→=1sinB=12×12|AB|×13|BC|·sinB=16×12所以S△APDS△ADC12.解析:因为BD→=2DC→,所以BD→=23BC→,所以AD→=AB→+23(AC→-AB→)=13AB→+23AC→,因为AM→=λAB→=1μAN→,所以AD→=13μ所以2λ+1答案:313.(1)解:由A,M,D三点共线,可设DM→=mDA→,则OM→=mOAma+1-m2b,由B,M,C三点共线,可设BM→=nBC→,则OMn4所以m解得m所以OM→=17a+(2)证明:因为E,M,F三点共线,设FM→=kFE→,则OM→=kOEkλa+(1-k)μb,由(1)知kλ=17,(1-k)μ=37,所以1λ=7k,3μ=7-7k,所以INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.解析:由已知得AD=1,CD=3,所以AB→=2DC所以DE→=λDC→(0≤λ≤1).因为AE→=AD→+DE→=AD→+λ又AE→=AD→+μAB→因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤12答案