2024年天津中考数学二轮复习模拟题分类汇编：几何动态与函数综合（共36道）（解析版）

二轮复习2024年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题10

——几何动态与函数综合（共36道）（天津专用）

1.（2023上•天津河西•九年级天津实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系中，四边形OABC

是正方形，点A,C在坐标系上，点8（6,6）,尸是射线。8上一点，将她。尸绕点A顺时

针旋转90。，得。是点尸旋转后的对应点.

⑴如图1,当OP=2鱼时，求点。的坐标；

⑵如图2,设点尸（x,y）（0<x<6）,0AP。的面积为S,求S与x的函数关系式，并写出

当S取最小值时，点尸的坐标；

⑶当3尸+2。=8&时，直接写出点Q的坐标.

【答案】⑴。（8,4）

（2）S=/_6*+18,P（3,3）

⑶（13,-1）

【分析】（1）如图（1）,过尸点作PGEx轴，垂足为G,过。点作轴，垂足为证

明RtEL4QH0Rt0APG.即可求点。的坐标；

（2）如图（2）,过尸点作PG以轴，垂足为G.根据勾股定理和面积公式，得到S=/-6x+

18.进而可求S与尤的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；

（3）根据BP+BQ=8VL可得BP+OP=8迎.因为08=6a,说明点P在OB的延长线上.可

得结合（1）进而可求点。的坐标.

【详解】（1）解：如图（1）,过尸点作PG0x轴，垂足为G,

过。点作。丽:轴，垂足为“，则EIPGA=0AHQ=9O。，

图⑴

回四边形0A2C是正方形,

00AOB=45".

0B(6,6),

0OA=6.

在RtEIOPG中，4POG=45°,

幽OPG是等腰直角三角形，即。G=PG,

回OP=VOG2+PG2=720G2=2V2,

国OG=PG=2.

EL4G=OA-OG=4.

03AOP绕点A顺时针旋转90°,得0AB。，

SAQ=AP,BQ=OP,0GAP+0/M2=9O",

又团团EMQ+回AQH=90°,

EBGAP=EIAQH

在EAQH■和MPG中，

/.GAP=Z.AQH

Z.PGA=乙AHQ=90°,

,AP=AQ

EBAQHffilAPG(AAS).

EA"=PG=2,。乐AG=4.

EIQ(8,4)；

(2)解：如图(2),过尸点作PGEx轴，垂足为G.

图⑵

EHAO尸绕点A顺时针旋转90°,得MB。,

0Ap=4。，团阴。=90°.

EHPOG=45°,

E10G=PG=x,

设P(x,x),

EAG=6-x.

在RtHAPG中，根据勾股定理，

AP2=AG2+PG2=(6-x)2+%2,

整理得4P2=2x2-12x+36.

SSAAPQ=^AP»AQ,

ES=x2—6x+18=(x—3)2+9.

团当x=3时，S取最小值，

0P(3,3)；

(3)解：Q(13,-1).

理由如下：

H3AOP绕点A旋转得到财8。，

^OP=BQ.

^BP+BQ=8V2,

回8P+OP=8企.

EOB=6V2,

回点P在OB的延长线上.

如图(3)：

由图知：BP+OP=BP+OB+BP=8V2

0BP=V2

00P=OB+BP=6岳岳

^OG=PG=—OP=1,

2

^\AG=OG-OA=7-6=1,

由(1)的解，知R®4QH0Rt[ZL4PG,

EA乐PG=7,QH^AG=l,

SOH=OA+AH=6+7=13,

BiQ(13,-1).

【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质-旋转,

解题的关键是数形结合综合运用以上知识.

2.(2023上•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知矩形

OBCD,点C(4,2&),现将矩形。BCD绕点。逆时针旋转(0。<乙EOB<180。)得至I］矩形。EFG,

点B、C、。的对应点分别为点E、F、G.

图1

图3备用图

(1)如图1,当点E落在边CD上时,求直线FG的函数表达式;

⑵如图2,当C、E、F三点在一直线上时，CD所在直线与。E、GF分别交于点H、M,求线

段MG的长度.

(3)如图3,设点P为边FG的中点，连接PE,在矩形OBCD旋转过程中，点8到直线PE的距离

是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=x+4

(2)2

⑶存在，+4

【分析】(1)由矩形。BC。，点C(4,2②,得OB=CD=4,BC=。。=2VL乙ODC=90°,

可得DE=70E2-002=、16-8=22,即知NDOE=45。，E(2y/2,2y/2),设FG的函数

表达式为了=%+6,求出G(—2,2),代入可得b=4,故FG的函数表达式为y=%+4；

(2)过点M作MN_LOE于N,连接OC、OF,证明△MNH三△CEH(AAS),可得MH=HC,

XRt△BOC=Rt△EOC(UV),有乙BOC=4EOC,可得OH=HC,设OH=HC=m,由勾

股定理有(2/)2+(4-m)2=m2；解得爪=3,即。H=CH=3,从而可得MG=4-MF=

2；

(3)当PE在。的左侧且PE1。8时，B到直线PE的距离最大，设PE于。8的交点为M,求出

PE=7EF2+PF2=J(2鱼产+22=2后由面积法得。M=竽，故点B到直线PE的距离

最大值是殍+4.

【详解】(1)解：•.・矩形OBCD,点C(4,2/)，

•••OB=CD=4,BC=OD=2VLzODC=90°,

•.•矩形OEFG是由矩形。BCD旋转得到，

•••OE=OB=4,FGWOE,

在Rt△ODE中，DE=y/OE2-OD2=V16-8=2VL

DE=DO,

•••乙DOE=45°,E(2V2,2V2),

直线。E表达式为y=x,

设FG的函数表达式为y=x+b,

由GO=DO=2近，NOOG=45。得G(—2,2),

2=-2+b,

解得b=4,

•••FG的函数表达式为y=%+4；

(2)解：如图，过点M作MN1OE于N,连接。C、OF,

・・•矩形OEFG是由矩形。BCD旋转得至IJ,

・•・OF=OC,Z-OEF=90°,

・•・FE=EC,

•・•(MNE=乙NEF=Z.EFM=90°,

・•・四边形MNEF是矩形，

・•.MN=FE,

MN=EC,

•・•乙MNH=Z.CEH=90°,乙MHN=乙CHE,

・•.△MNHCEH(AAS),

:.MH=HC,

vBC=FE=EC,OC=OC,

・•・Rt△BOC三RtAEOC(HL),

•••Z-BOC=Z-EOC,

•••CD\\OB,

•••Z-DCO=乙BOC=Z-EOC,

・•・OH=HC,

设OH=HC=m,

在内△OOH中，OD2+DU=Ok,

・•・(2V2)2+(4—m)2=m2；

解得m=3,

/.OH=CH=3,

EH=4—3=1,

.•・MF=NE=2EH=2,

.・.MG=4-MF=2；

(3)解：在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离存在最大值，这个最大值是竽,

理由如下：

当PE在。的左侧且PE1OB时，8到直线PE的距离最大，设PE于。B的交点为M,如图：

•••P为FG的中点,

FP=PG=2,

22

PE=y/EF+PF=J(2鱼/+22=2百，

SAPEQ=|$矩形OEFG=

=4VL

•­•|OMx2V3=4V2,

OM=3

BM=—3+4,

•••点B到直线PE的距离最大值是竽+4.

【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，旋转问

题等，解题的关键是掌握旋转的性质.

3.(2023上,天津滨海新•九年级天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中)在平面直角坐标系

中，已知。为坐标原点，点4(1,0),B(0,2).以点4为旋转中心，把△AB。顺时针旋转，得AaCD.

图①图②

(1)如图①，当旋转后满足DCIIx轴时，求点C的坐标；

⑵如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点。的坐标；

⑶在(2)的条件下，边。8上的一点P旋转后的对应点为P'当DP+4P'取得最小值时，求

点P的坐标(直接写出结果即可).

【答案】(1)(3,1)

⑵(1+g,管)

⑶(0,零)

【分析】(1)如图1中，作CHlx轴于H.只要证明四边形4DCH是矩形，利用矩形的性质

即可解决问题；

(2)如图2中，作DM1x轴于在RtAADC中，求出DM、4M即可解决问题；

(3)连接P4P71,作点4关于y轴的对称点4,连接D4交y轴于P”,连接力P",由题意4P'=

AP"=A'P",推出DP+4P，=P"D+4P”=4D,根据两点之间线段最短，可知当点尸与

点P"重合时，P2+PD的值最小.只要求出直线AD的解析式即可解决问题.

【详解】（1）解：过点。作C”！无轴于H,

图①

胤4(1,0),5(0,2),

团。4=1,OB=2,

由旋转的性质，可得AAB。三△4CD,

固4。=AO=1,DC=BO=2,Z.CDA=/.BOA=90°,

又EIDCIIx轴，

0Z£>=4DAH=/.AHC=90°,

团四边形ZMHC为矩形，

固4H=DC,CH=DA=1,

回点C的坐标为(3,1)；

(2)过点。作DMJ.x轴于M,

图②

由Rt△4CD面积-1知-DM=^1DA-DC,

在Rt△AB。中，由勾股定理得AB=14。2+BQ2=Vs,

SiAC—V5,

-DM=-xlx2,

22

WM=—,

5

在Rt△ZMM中，AM=y/DA2-DM2=y,

HOM=OA+AM=1+^-,

回点。的坐标为(1+g,等)；

(3)连接P4P'A,作点A关于y轴的对称点4,连接交y轴于P",连接4P”,

由题意可得4P=AP',

根据轴对称的性质可得AP'=AP"=A'P",

回DP+AP'=P"D+A'P"=A'D,

134（-1,0）,。的坐标为（1+日,手）,

回设直线AD的解析式为y=kx+b,

（0=-k+b

则［等=（i+?）k+/,，

f,475-2

k=-------

团直线40的解析式为y=詈、+笔N,

当％=0时，y=4回2,

回点P的坐标为（0,第工）.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等

知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构

造直角三角形解决问题.

4.（2023上•天津和平・九年级天津市第五十五中学校考期中）等腰Rt△ABC中，/.BAC=90。,

4B=4C,点2、点B分别是y轴、久轴上两个动点，直角边4c交x轴于点。，斜边BC交y轴于

点E.

（1）如图（1）,已知C点的横坐标为-1,直接写出点4的坐标；

⑵如图（2）,当等腰RtAABC运动到使点。恰为4c中点时，连接DE,求证：^ADB=乙CDE；

⑶如图(3),若点4在x轴上，且4(-6,0),点B在y轴的正半轴上运动时，分别以08、4B为

直角边在第一、二象限作等腰直角ABOD和等腰直角△ABC,连结CD交y轴于点P,问当点B

在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的

长度.

【答案】⑴4(0,1)

(2)见详解

⑶BP的长度不变，BP=3

【分析】(1)如图1,过点C作CF轴于点尸，构建全等三角形：AACF三△ABO(AAS),

结合该全等三角形的对应边相等易得04的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；

(2)过点C作CG14C交y轴于点G,则A4CG三△ABD(ASA),即得CG=AD=CD,乙ADB=

乙G,由NDCE=NGCE=45。，可证△DCE三△GCE(SAS)得NCDE=NG,从而得到结论；

(3)如图3,过点C作CE_Ly轴于点E,构建全等三角形：△CBE三△BAO(AAS),结合全

等三角形的对应边相等推知：CE=BO,BE=A0=6.再结合已知条件和全等三角形的判

定定理AAS得到：△CPE=△DPB,故BP=EP=3.

【详解】(1)解：如图1,过点C作CFly轴于点R

图I

0CF1y轴于点F,

回NCF4=90°,^ACF+ACAF=90°,

团NC4B=90°,

EZC71F+乙BAO=90°,

El^ACF=4BAO,

在△4CF和AABO中，

(Z.ACF=Z.BAO

{Z.CFA=Z.AOB=90°

IAC=AB

回△ACF三AAB。(AAS)

回C点的横坐标为一1,

0CF=。4=1,

0/1(0,1)；

(2)证明：如图2,过点C作CGL4C交y轴于点G,

图2

团CG_LAC,

^ACG=90°,^CAG+Z.AGC=90°,

团乙4。。=90°,

^ADO+^DAO=90°,

^AGC=/.ADO,

在△AUG和△ABO中

(乙4CG=乙BAD=90°

{AC=AB，

IZ.AGC=^ADO

回△/CG=Ai4^D(ASA),

团CG=AD=CD,Z..ADB=zG,

团乙4cB=45°,乙4CG=90°,

^DCE=乙GCE=45°,

在△OCE和△GCE中，

(CD=CG

\^DCE=(GCE,

(CE=CE

^DCE=△GCE(SAS),

^CDE=4G,

^ADB=4CDE；

(3)解：8P的长度不变，理由如下:

如图3,过点C作CEly轴于点E,

图3

团乙4BC=90°,

0ZCBE+Z.ABO=90°.

^BAO+(ABO=90°,

^CBE=Z.BAO.

^CEB=乙AOB=90°,AB=AC,

[HACBE=△R4O(AAS),

团CE=BO,BE=AO=6.

^BD=BO,

0CE=BD.

团4CEP=2DBP=90°,乙CPE=乙DPB,

0ACPE三△OPB(AAS),

团BP=EP=3.

【点睛】本题考查了三角形综合题.主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本

题的关键是作出辅助线，构建全等三角形.

5.(2023•天津河西•天津市新华中学校考二模)如图，将一个直角三角形纸片AOB放置在平

面直角坐标系中，已知点。(0,0),0A=2,AA0B=30°.D,E两点同时从原点。出发，

点D以每秒百个单位长度的速度沿x轴正方向运动，点E以每秒1个单位长度的速度沿y

轴正方向运动，连接DE,交。力于点F，将AOEF沿直线DE折叠得到AOEF,设。，E两点

的运动时间为f秒.

⑴求N0ED的度数及点A的坐标;

（2）若折叠后4O'EF与AAOB重叠部分的面积为S,

①当折叠后△O'EF与420B重叠部分的图形为三角形时，请写出S与f的函数解析式并直

接写出f的取值范围；

②求S的最大值（直接写出结果即可）.

【答案】（1）4OED=60。；X（1,V3）;

/(O

(2)①S=②s有最大值?；

—t2-3t+2V3(V3<t<—)

-83

【分析】（I）利用勾股定理求得。8的长，可求得点4的坐标，利用特殊角的三角函数值即

可求得N0ED=60°；

（II）①分点。'落在线段。力上和点。'落在线段。4延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三

角函数值以及三角形面积公式即可求解；

②画出图形，根据S=|0BxXB-|0FxEF心BEx8G结合二次函数的性质即可求得重

叠部分面积最大值.

【详解】（1）•••^ABO=90°,^AOB=30°,OA=2,

：.AB=-OA=1,

2

•••OB=y/OA2-AB2=V3；

Z.EOD=90°,OE=3OD=V3t,

•••tan/OED=—=V3,

OE

・•・乙OED=60°；

（2）①•；NOEO=60。，/.AOB=30°,

•­•Z.OFE=90°,即。4IDE,

.,.将△OEF沿直线DE折叠得到4（TEF,折叠后的点。'落在直线04上，

如图，当点。'落在线段。4上，△。上?与44。8重叠部分是4。缶尸，

此时△OEF=AO'EF,

•••OE=O'E=t,乙EO'F=乙EOF=30°,

EF=-O'E=-t,

22

O'F^—t,

2

■■-S=--EF-O'F=—tz(0<t<—)；

2813J

如图，当点。'落在线段。4的延长线上时，△。'所与44。8重叠部分是44用尸,

设4B与EF交于点M,

OE=O'E=t,NET。=90°,/.EOF=30°,

•••cosZ.EOF——

OE2

OF=—OE=—t,

22

•••AF=OA-OF=2-—t,

2

乙ABO=Z.EFO=90°,

Z.AOB+Z.BAO=/-AMF+Z.BAO=90°,

・•・^AMF=30°,

•••Z-MFA=90°,/-AMF=30°,

.,AFV3

tanZ-AMF=—=一,

MF3

MF=y[3AF=2V3-|t,

S=--AF-MF=-(_2-—tY=-t2-3t+2V3(V3<t<—).

22283

，sj*2(0<tw竽).

匕产一3^+273(73wt<手)

解：②当点。'落在线段04的延长线上时，△O'EF与AAOB重叠部分是口4GEF,

OE=O'E=t,乙EFO=90°,乙EOF=30°,

•••EF^-O'E=-t,OF^—OE^—t,N8EG=6(T,N8GE=30°,

2222

团BE=V3—t,BG—V3(V3—t),

iii

^\S=-OBxAB--OFxEF--BExBG

222

1r-1V511

=-xV3xl--x—tx-t--(V3-t)xV3(V3-t)

乙乙乙乙乙

5V3,2百r-

=一一—t2+3t-V3(--<t<V3)

O3

团对称轴为t=竽，

E--<0,

8

回当t=竽时，s有最大值F；

【点睛】本题主要考查了直线与X轴的交点、用待定系数法求抛物线的解析式、运用三角函

数解三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，对运算

能力要求比较高，运用分类讨论和割补法是解决第(2)小题的关键.

6.(2022•天津・天津市双菱中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中，四边形208C是矩形，

点。(0,0),点4(5,0),点8(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形A0BC,得到矩形4QEF,

点。，B,C的对应点分别为。，E,F.

图1图2

⑴如图1当点Z)落在BC边上时，求点。的坐标；

(2汝口图2当点。落在线段BE上时，4。与BC交于点H.

①求证ANDB=AAOB；

②求点"的坐标.

⑶记K为矩形20BC对角线的交点，S为AKDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即

可)

【答案】(1)(1,3)

(2)①见解析

②仔，3)

30-3734>0，30+3V34

(3)--------<D<-------

44

【分析】对于(1),根据点的坐标及旋转的性质得力。=4。=5,在直角三角形中运用勾股

定理可求出CD的长，从而可确定答案；

对于(2)①，根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，再根据①知NB4D=ZCFX,

故BH=AH,在RtAACH中，运用勾股定理可求得4"的长，得出坐标；

对于(3),在矩形旋转的过程中，根据点K与直线DE的距离范围即可确定S的取值范围.

【详解】(1)田点4(5,0),点8(0,3),

回。4=5,OB—3.

回四边形4。8c是矩形，

固4c=OB=3,BC=OA=5,乙OBC=M=90°.

回矩形2DEF是由矩形AOBC旋转得到的,

SAD=AO=5.

在RtA/WC中，AD2=AC2+DC2,

&DC=WW2-"2=，52-32=4,

WD=BC-DC=1,

国点。的坐标是(1,3)；

(2)①证明：由四边形4DEF是矩形，知乙4DE=90。.

回点。在线段BE上，得乙=90°.

由(1)知，AD=AO,

又AB=AB,4AOB=90°,

回RtAADBEIRt△力。B；

②由RtAADBEIRt△力。B,得=

在矩形ZOBC中，OA||BC,

SZ.CBA=/.OAB,

S/.BAD=/.CBA,

0BH=AH.

设=t(0<t<5),则4H=t,HC=BC-BH=5-t.

在RtAACH中，AH2=AC2+HC2,

或2=32+(5―土产，

解得t=y,

回BH=—,

5

回点X的坐标是(£,3)；

(3)30-3⑸VsV3。+3用

4~~4

如图，当矩形顶点。在线段4B上时，点K到直线DE的距离最小，最小值为线段DK的长,

则DK=AD--AB=5-=5--,

222

如图，当矩形顶点。在B4的延长线上时，点K到直线DE距离最大，最大值为线段DE的长,

则。K=AD+^AB=5+亨，

EIS=-DK-DE=3°+3”

24

rrhI30-3V34/0,30+3回

44

【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线

段的运动路径是解题的关键.

7.（2023•天津河东・天津市第七中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点4（2,0）,点

B（2,2）.将△。/IB绕点B顺时针旋转，得△（T4B,点4,。旋转后的对应点为4,。二记

旋转角为a.

（1）如图①，当a=45。时，求点4的坐标；

（2）如图②，当a=60。时，求点4的坐标；

（3）连接。4,设线段04,的中点为M,连接。'M,求线段。'”的长的最小值（直接写出结

【答案】⑴（2—近，2-V2）；（2）（2-V3,1）；（3）V5-V2

【分析】（1）过点4作力'C1OA,垂足为C,根据题意可得。4=AB=2,AOAB=90°,从

而求出N40B=乙4BO=45°,OB=2V2,根据旋转的性质力'B=AB=2,点4在线段。B上,

然后利用锐角三角函数即可求出结论；

（2）连接44,过点4作4D1OA,垂足为。，根据旋转的性质乙4'AB=^AA/B=60°,AA'=

AB=A'B=2,然后利用锐角三角函数可得AD=^AA'=1,AD=^-AA'=V3,求出OD,

即可得出结论；

（3）连接。4,设线段。4的中点为M,连接OM,取4B的中点N,连接。N、MN,根据

中位线的性质可得MN=]OB=VL利用勾股定理求出O'N,然后根据三角形的三边关系即可

得出结论.

【详解】解：(1)如图，过点A作AC1O4垂足为C.

E点4（2,0）,点B（2,2）,

EOA=AB=2,40AB=90°.

fflN力。B=^ABO=45°,OB=25/2.

E△0'4'B是△（MB绕点B顺时针旋转得到的，a=45°,

团4B=AB=2,点A在线段OB上.

fflOA'=OB-A'B=2V2-2.

在RtAO4C中，A'C=OA'-sinzXOF=2-V2,OC=4C=2-

E点4的坐标为（2—a,2-V2）.

团A'B=AB=2,AABA'=a=60°,

E/LA'AB=AAA'B=60°,AA'=AB=A'B=2.

团^A'AO=^OAB-^A'AB=30°.

在RtAA'AD中，A'D=-AA'=1,AD=^AA'=V3.

22

EOD=OA-AD=2->/3.

E点A的坐标为（2—旧，1）.

（3）连接。4,设线段。4'的中点为M,连接。M,取4B的中点N,连接O'N、MN

0MN为回AQB的中位线，A'N=^A'B=1

0MN=|OB=V2

由勾股定理可得O'N=JO'A'2+A'N2=V5

WM>0'N-MN=V5-A/2（当且仅当M在线段ON上时，取等号）

回O'M的最小值为花-应.

【点睛】此题考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理和三

角形中位线的性质，掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理和

三角形中位线的性质是解决此题的关键.

8.（2023下•天津河北•九年级天津二中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，。为原点，点

4（一3,0）,点8（0,遥）.以4B为一边作等边三角形ABC,点C在第二象限.

（助如图①，求点C的坐标；

（助将△408绕点B顺时针旋转得AAOB,点4。旋转后的对应点为4,0'.

①如图②，当旋转角为30。时，A'B,40与AC分别交于点E,F,40,与4B交于点G,求4

4。位与4ABC公共部分面积S的值；

②若P为线段CO的中点，求4P长的取值范围（直接写出结果即可）.

【答案】（助点C的坐标为（一3,2百）；（助①S=6-|旧；03-y<XP<3+y.

【分析】（助利用48的坐标，求解利用等边三角形的性质可得答案；

(E)①过点G作GH1AB于点H,分别求解^A'BG,A4EF的面积，利用S=S^BG-S^EF,

可得答案；②如图，。'在以B为圆心，0B=百为半径的圆上运动，延长C4至。，使C4=DA,

则。(—3,—275),设。0,丫)，得到：4ap2=0+3)2+(y+28)，所以：4ap2表示点0,与。

之间的距离，连接DB交圆B于。，，当。，在B的下方，4P最短，反之最长，从而可得答案.

【详解】解：(助•••、(—3,0),B(0,V3),

0A=3,OB=V3.

在RtAAOB中，•••tan/BA。=竺=立，

0A3

•••Z.BA0=30°.

AB=20B=2V3.

••・△ABC是等边三角形，

•••4CAB=60°,AC=AB=2^3.

•••ACAO=90°,

团点C的坐标为(一3,28).

(回)①过点G作GH1AB于点H,

团将△4。8顺时针旋转30。，得^A'0'B,

A'B=AB=2V3,=^BAO=30",^A'BA=30°.

NA=^A'BA=30°.

GA'=GB.

■■GHLAB,

A'H=-A'B=V3.

2

在RtAA'HG中，•.•tanNB4'G=^,

A'H

：.GH=Btan30°=1.

•••S"BG=\A'B-G/7=V3.

v/.CAB=60°,WBG=30°,

Z.A'EF=^CAB+Z.A'BG=90°.

Dp

在Rt△BE4中，vsinzCXS=—,

AB

・•・BE—AB-sin60°=2V3x—=3.

2

在Rt^AEF'中，ArE=ArB-BE=243-3,

EF=A'E-tan30°=2—V3.

••*S&NEF=•EF=|(2V3-3)(2-V3)=|V3-6.

S-S^ArBG-S^ArEF=6--V3.

②如图，0,在以8为圆心，。8=次为半径的圆上运动，

延长CA至。，使贝⑺(一3,-28)，

设。则由勾股定理得：%2+(y-V3)=(V3)=3,

•・・。(一3,2百)，P为。'。的中点，

・•・4(—3,0),

2

."=(芋+3*(空),

2

44P2=*+3)2+(y+2V3),

所以：4Ap2表示点。与。之间的距离，连接D8交圆B于。。

当。'在B的下方，4P最短，反之最长,

设2。为y-kx+b,

B（0,V3）,£＞（-3,-2V3）,

.（b=W

"l-3/c+V3=-2V3

解得：产噂

lb=如

BD为:y=V3x+A/3,

（y=V3x+V3

（%2+（y-V3）2=3，

解得：\2或12

[y=V3--[y=V3+-

当。'在B的下方时，坐标为：0'（-日，旧一习，

4Ap2=。'£）2=（一/+3j+4-1+2旬之

2222

=（3-f）+（V3）（3-f）=4（3-f）,

7

."=(3-与),

•・•AP>Of

・・・AP=3-—

2f

同理：当。'在B的上方时，0'(?，|+百)，

22

44P2=O'D2=(y+3)+(V3+j+2V3)=4(3+

•••AP>0,

・•.AP=3+当

【点睛】本题考查的是方程组的解法，等边三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，

锐角三角函数，圆的基本性质，即圆外一点与圆的最短距离与最长距离，掌握以上知识是解

题的关键.

9.(2023下•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习)在平面直角坐标系中，点。(0,0),

点4(2,0),点B(2,2),点P在线段。8上(不与点。，8重合).过点P作PQ1。8交线段04于

点Q,以PQ为边作正方形PQEF(点F与点。在点P两侧).

(1)如图1,当点E在A8边上时，求点P的坐标.

⑵设OP=t,正方形04B重叠部分图形的面积为S.

①如图2,若正方形「<2石尸与4。28重叠部分为五边形，边4B分别与QE,EF相交于点M,N,

试用含有t的式子表示MN的长，并直接写出t的取值范围；

②当iwtwe时，求S的取值范围(直接写出结果即可).

【答案】⑴(|,|)

(2)①MN=3V2t-4(/<t<V2)；@1<S<

【分析】(1)过点P作PCI。4于点C,根据等腰三角形的性质得出芸=；,继而根据PC阴4

得出PC=OC=|,即可得出P点的坐标；

(2)①先求得t的范围，进而根据等腰三角形的性质求得MN的长度；

②根据S=S^pQEF-SAMNE得出关于t的二次函数，进而根据二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，过点P作PC，。4于点C,

团点4(2,0),点8(2,2),

WA=AB=2,△OZB是等腰直角三角形,

团4尸。。=45°,

0APC。是等腰直角三角形，

团四边形尸QEF是正方形，

团PQ=PF,(FPQ=(QPO=90°,

0A。尸Q是等腰直角三角形，

团。尸=PQ,

同理得出^是等腰直角三角形,

0EF=BF,

团OP=PF=BF,

CM

回PC1OA,BA1OA,

团PCIIB4

团—=—OP=一1

OA0B3

2

团。C=

3

回△PC。是等腰直角三角形,

2

团PC=oc=-,

3

（2）解:由(1)可得当E在上时，P

回。P蓍

当P是。B的中点时，M,N,分别与4B重合,

配=加=加

0PO=PQ=PF,

回。P=PF,

SOP=t,

HOF=23BF=FN=OB-OF=2&-2t,

由（1）可得AFBN是等腰直角三角形，

0AFNM是等腰直角三角形，

EINE=EF-FN=t-（2V2-2t）=3t-2V2

SiMN=V2NE=3V2t-4

I3MN=3V2t-4（^<t<V2）

（2）@MN=3V2t-4（手<t<旬

S=S正方形PQEF-SAMNE=PQ2_那皿=:—*32t_4）2=产一+16-

24V2t）=-1t2+6V2C-4

•••对称轴为t=-%=¥，a=-^<0,当1=竽时，取得最大值，最大值为

-2X?727

4X（-1）X（-4）-（6V2）2_56-72_8

7=——

字4-147

当t=l时，S=——x1+6A/2—3=6A/2——,

当力=迎时，S=-^7x（V2）2+6V2xV2-4=-7+12-4=l,

o

El<S<-.

7

【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线分线段成比例，二次函数的性质，正方形的性质，

等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨是解题的关键.

10.（2023下•天津和平•九年级天津一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，

△40B为直角三角形，0B在久轴上，/.0AB=90°,AB=6,0B=10,把AAOB绕点8顺时

针旋转，得△408,点力，。旋转后的对应点为4,。'记旋转角为a.

（1）如图①，若a=30。，求0'点的坐标；

（2）如图②，若a=90。，求4点的坐标；

（3）如图③，连接44',00',直线。。'交44于点C,点E为4。的中点，连接CE.在旋转过程

中，求CE的取值范围（直接写出结果即可）.

【答案】（1）0'（10-58,5）

（2W（碧）

（3）2<CE<8

【分析】（1）过。'作O'F_L0B于点/，OB=O'B=10,通过直角三角形的性质可求。'尸的

长，即可求得点。’的坐标；

（2）过作AG1x轴于点G,过A作4H1x轴于点H,首先可证得△4BGEIA84H,可得力G=

BH,HG^A'H,再通过三角形的面积及勾股定理即可求得；

(3)由题意知，/.A'BO'=Z.ABO,AB=A'B',OB=O'B',可得4。8。'=/.ABA',Z.OO'B=

4O'OB=Z.AA'B=/.A'AB,可证得，^A'BO'=^O'CA',O',C,B,A共圆，连接BC,O'A,

由NO,4B=90。，可得N8C0=9O。，再根据等腰三角形的性质可得C为。。'的中点，可证

得CE为Aa。。，的中位线，则CE=14。，，由旋转知，。，轨迹为以B为圆心，。8为半径的圆，

知。'力的最小值为O'B=4B,据此即可求解.

【详解】(1)解：过。'作O'F10B于点F,如图①所示：

图①

•••△40B绕点B顺时针旋转得到^A'O'B,

：.OB=O'B=5,

乙O'BO=30°,

O'F=-O'B=5,BF=5V3,

2

•••OF=OB-BF=10-5V3,

•••0110-5但5)；

(2)解:过作4G_L久轴于点G,过4作4"1%轴于点“，如图②所示:

图②

•••Z.AGB=/.BHA'=90°,

4GAB4-Z.ABG=90°,

•••Z.ABA'=90°,

•••^ABG+^HBA'=90°,

•••AGAB=

•••△20B绕点B顺时针旋转得到4A'O'B,

：.AB=A'B,△ABG^BA'H(AAS),

•••AG=BH,BG=A'H,

在Rt△。48中，0A=y/B02-AB2=8,

11

'-'S^AB=-AB-0A=-0B-AG,

・•・AG=Y，

・•・BH=y,

・•.OH=OB+BH=g,

在4GB中，BG=?,

A'H=y,

・•,”(g常)；

(3)解：由题意可知，^A'BO'=^ABO,AB=A'B,OB=O'B,

•••^A'BO'+Z.AB0'=乙4B。+乙48。，，即WB。，=^ABA',

■：AB=A'B,OB=O'B,

11

•••/.00'B=乙O'OB=j(180o-z0S0,),AAA'B=AA'AB=j(180°-^ABA'},

•••/.00'B=/.O'OB=AAA'B=Z.A'AB,

■：z.00'B+z.0'CA'=Z.AA'B+Z.A'B0',

：./-O'CA'=^A'BO',

..O',C,B,4四点共圆，

连接BC,O'A,如图③所示：

图③

/.O'A'B=90°,

•••乙BC(T=90°,

•••OB=O'B,

.••点C为。。，的中点，

•・•点E为40的中点，

CE为AA。。的中位线，

1

CE=-AO',

2

由旋转可知，。'轨迹为以B为圆心，OB长为半径的圆，如图所示:

O：-—、、

/‘、''

:/\、

：

~o\B~I~

■■。2的最小值为O'B-AB=4,。2的最大值为O'B+AB=16,

•••2<CE<8.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定

与性质，三角形中位线的判定与性质，四点共圆的判定与圆内接四边形的性质，画出辅助图

形，确定CF的最小值是解决本题的关键.

11.(2023下•天津滨海新•九年级天津经济技术开发区第一中学校考开学考试)在平面直角

坐标系中，矩形。4BC,。为原点，4(3,0),B(3,4),C(0,4),将△OBC绕点B逆时针旋转，点。,C

旋转后的对应点为O',C'.

⑴如图(1),当NCBC—30。时，求L的坐标；

⑵如图(2),当点0'恰好落在无轴上时，。'厂与交于点0.

①此时D8与。0,是否相等，说明理由；

②求点。的坐标；

⑶求△20(，面积的最大值.(直接写出答案即可)

【答案】⑴。(3-竽,|)

(2)①。8=。。，；@D(3,0

⑶14

【分析】(1)如图①中，过点C'作C'HLBC于点H.解直角三角形求出可得结论;

(2)①此时与0。，相等，证明408。'=乙0。'8即可；

②设。8=DO'=x,再利用勾股定理构建方程求出x即可；

(3)如图③中，当点C'值48的延长线上时，△4。'。'的面积最大.

【详解】(1)如图①中，过点C‘作C'”于点H.

AB=0C=4,BC=3,

在RtABC'H中,Z.BHC=90°,/.HBC'=30°,

•••—泗，=|,BH=,,

.•.CH=3-手

(2)①结论：DB=DO'.

图②

理由：­•-BO=BO',BA100',

Z.OBA=Z.ABO',

■：ABWOC,

：.乙ABO=乙COB=乙BO'C',

•••乙DBO'=乙DO'B,

DB=DO'；

②•••BO=BO',BA100',

•••OA-AO'=3,

设BD=DO'=x,

在RtAA。。'中，AD2+AO'2=O'D2,

(4-%)2+32=x2,

•••。⑶)

(3)如图③中，当点C'值AB的延长线上时，此时点4到。工，的距离最大，即A4TL的面

积最大.

△40'C'的面积的最大值=|x7X4=14.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数

构建方程解决问题.

12.(2023下•天津和平•九年级天津市双菱中学校考开学考试)在平面直角坐标系中，。为原

点，点4(4,0),点B(0,3),把△力80绕点B逆时针旋转得到△4B0，，点A、。旋转后的对应

点为4、0',记旋转角为a.

(1)如图①，若a=90。，求力4的长；

(2)如图②，若a=60。，求点。，的坐标；

(3)如图③，尸为上一点，且PAPB=2:1,连接尸。\PA',在△4BO绕点8逆时针旋转

一周的过程中，求APO%'的面积的最大值和最小值(直接写出结果可).

【答案］⑴5方

⑵。(乎,|)

⑶5I

【分析】(1)连接A4',过点4作4。lx轴，由旋转的性质可求得4D和AD的值，再利用

勾股定理即可求解.

(2)过点0'作。'H，。8于点X,连接。。'，由旋转的性质得AB。。，是等边三角形，根据等

边三角形的性质即可求解.

(3)设尸到40'的距离为小则%「0如=24。'，八=2九，由题意得。是在以B为圆心的圆

上运动，当P011014时,AP。'劫的面积最小;PG，"42时，APO'4的面积最大利用勾

股定理即可求解.

【详解】(1)解：连接44,过点4作4D1X轴，如图所示：

把△48。绕点B逆时针旋转得到△480,且点4(4,0),点B(0,3),

得O'D=0B=3,OA'=。4=4,

SA'D=。4+O'D=4+3=7,AD=OA-OD=^-3=1,

•1.AA'=y/A'D2+AD2=V72+I2=5V2.

(2)过点。'作O'H1OB于点H,连接。O',如图所示：

把44B。绕点B逆时针旋转得到4A'BO',且旋转角ct=60°,

回AB。。，是等边三角形，

回O'B=OB=3,

MH=RB=|,O，H='OB-BH2=J32_（|）2=竽,

.・.。第,|）.

（3）设P到AO'的距离为九

回SAPO*,=~A'O'xh=2h,

EHAB。绕点B逆时针旋转，

回。是在以B为圆心的圆上运动，

如图所示：

当P。】±0遇1