2024年中考数学试题分类汇编：二次函数解答题压轴题（35题）解析版

专题16二次函数解答题压轴题（35题）

一、解答题

1.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学

问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1,人从点/处沿水滑道下滑至点3处腾

空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点3与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，

建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量

和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.

7

⑴如图1,点3与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为（米，点C到点5的水平距离为3

米，则水滑道/CB所在抛物线的解析式为；

（2）如图1,腾空点3与对面水池边缘的水平距离=12米，人腾空后的落点。与水池边缘的安全距离。E

不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线8。恰好与抛物线关于点3成中心对称.

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；

②此人腾空飞出后的落点。是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距

地面4米的点M处竖直支撑的钢架血W,另一条是点M与点2之间连接支撑的钢架9.现在需要在水

滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与攻平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定

在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.

177

【答案】（l）〉=d（x+3）-+d

OO

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(2)①此人腾空后的最大高度是当米，解析式为＞=-：(》-3)2+;；②此人腾空飞出后的落点。在安全范

OOO

围内，理由见解析

(3)这条钢架的长度为2屈米

【分析】(1)根据题意得到水滑道NC8所在抛物线的顶点坐标为且过点8(0,2),设水滑道/C8

所在抛物线的解析式为＞=a(x+3)2+(,将3(0,2)代入，计算求出。的值即可；

O

1°

(2)①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=-：(x+6)一+c,由抛物线的顶点为

O

175

,即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线AD的解析式为：y=-^(x-3)92+^,令

OO

y=o,求出尤的值，即点。的坐标，即可得出结论；

(3)根据题意可得M点的纵坐标为4,令y=!(x+3『+(中＞=4,求出符合实际的x值，得到点M的

88

坐标，求出9所在直线的解析式为y=-Jx+2,设这条钢架为GH,与MN交于■点、G,与地面交于

4

根据这条钢架与可平行，设该钢架所在直线的解析式为了=-1》+”,由该钢架与水滑道有唯一公共点，

1

y=——x+n

联立/4,，根据方程组有唯一解，求出〃=0,即该钢架所在直线的解析式为歹=-1：%,点H

7…+24

与点。重合，根据GN=-1X(-8)=2,NO=8,ZGNO=90°,利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：根据题意得到水滑道/CB所在抛物线的顶点坐标为且过点8(0,2),

设水滑道NCB所在抛物线的解析式为＞=4》+3)2+(,

O

将8(0,2)代入，得：2=a(O+3y+Z,即9a=2,

88

1

ci——,

8

17

；・水滑道4cB所在抛物线的解析式为y=：(x+3)27+(；

(2)解：①•••人腾空后的路径形成的抛物线5。恰好与抛物线4C3关于点2成中心对称，

则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=-：(x+6y+c,

O

，人腾空后的路径形成的抛物线瓦？的顶点坐标与抛物线"8的顶点坐标C，3,£|关于点3(0,2)成中心

对称，

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人腾空后的路径形成的抛物线3。的顶点坐标为卜,,即6=3,c=胃，

2

•••此人腾空后的最大高度是二米，人腾空后的路径形成的抛物线8。的解析式为：y=-1(x-3)+^;

o88

175

由①知人腾空后的路径形成的抛物线2。的解析式为：尸-J(X-3)92+9,

OO

令y=0,贝|-』(X-3)2+笠=0,即卜一3)2=25

88

，%=8或%=-2(舍去，不符合题意),

「•点。(8,0),

OD=8,

•••OE=n,

:.DE=OE-OD=4>3,

此人腾空飞出后的落点。在安全范围内；

(3)解：根据题意可得M点的纵坐标为4,

17

令>=W(x+3)7+可=4,即(x+3)9=25,

:.x=2(舍去，不符合题意)或了=-8,

.•・"8,4),

设倒/所在直线的解析式为>

2=6'

将川(-8,4),5(0,2)代入得:

4=—8左+;/'

br=2

解得：<1，

k=——

L4

3M所在直线的解析式为y=-1x+2,

4

如图，设这条钢架为GH,与交于点G,与地面交于〃,

这条钢架与画/平行,

设该钢架GH所在直线的解析式为y=-；x+〃,

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1

y=—x+n

联立,4,7,即-;x+“=((x+3)-+：,

八

心肃1+/3)2+/彳4oO

整理得：x2+8x+16-8«=01

•••该钢架而与水滑道有唯一公共点，

...A=82-4X1X(16-8«)=0,

«=0即该钢架所在直线的解析式为y=--x,

4

••・点〃与点O重合，

...GN=-：x(-8)=2,NO=8,NGNO=90°,

GH=y/GN2+NO2=2V17，

这条钢架的长度为2M米.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函

数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想.

2.（2024・广东深圳・中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直

放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选

择不同位置测量数据如下表所示，设3。的读数为x,CO读数为了，抛物线的顶点为C.

(1)(I)列表:

①②③④⑤@

X023456

y012.2546.259

（II）描点：请将表格中的（XJ）描在图2中；

（III）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出丁与1的关系式;

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（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-〃y+左的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和竖直

直尺测量其水平跨度为竖直跨度为C。，且N3=〃?，CD=n,为了求出该抛物线的开口大小，该数

学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数>左平移，使得顶点C与原点。重合，此时抛物线解析式为y

①此时点B'的坐标为；

②将点8'坐标代入y中，解得a=；（用含加，〃的式子表示）

方案二：设C点坐标为（〃,左）

①此时点B的坐标为；

②将点8坐标代入>=+左中解得。=________；（用含加，〃的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系xQy中有/,B两点,48=4,且/3〃尤轴，二次函数

G:必=2（x+〃y+左和C?:%=+6都经过4,3两点，且G和C2的顶点尸，0距线段48的距离

之和为10,求a的值.

【答案】（1）图见解析，y=*；

（2）方案一：①信在小;②彗;方案二：①，+：九左+"］；②"

Jm\2）m

（3）a的值为;或-g.

【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点Q或点3的坐标，再代入求解即可；

（3）先求得/（-4-2,8+后），3（-/+2,8+左），£的顶点坐标为尸（-〃，k）,再求得£顶点距线段N8的距

离为|（8+左）-斤|=8,得到C2的顶点距线段的距离为10-8=2,得到的顶点坐标为。（-〃，10+人）或

Q（-h,6+k）,再分类求解即可.

【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，

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设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

c=0

由题意得4Q+26+C=1,

16〃+46+。=4

解得6=0,

c=0

••y与x的关系式为y=^-x2；

4

(2)解：方案一：①♦；AB=m,CD=n,

2

此时点B'的坐标为］;机,"］;

故答案为：

②由题意得(＜加)a=n,

解得。=整，

m

4〃

故答案为：一2;

m

方案二：①点坐标为仅肉，AB=m,CD=n,

DB=—m,

2

此时点B的坐标为；见左+j；

故答案为：［h+^m,k+n\；

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②由题意得左+〃=加一%）+k,

解得。=整，

m

4〃

故答案为：一2;

m

（3）解：根据题意G和G的对称轴为x=-〃，

贝!j/（—%—2,8+左），3（—%+2,8+左），£的顶点坐标为尸（一九左）,

...G顶点距线段AB的距离为|（8+左）-川=8,

•••C2的顶点距线段的距离为10-8=2,

.­.Q的顶点坐标为。（-九10+左）或。（-瓦6+左），

当C2的顶点坐标为0（-%,10+左）时，%=a（x+〃）2+10+无，

将/（—〃一2,8+斤）代入得4a+10+A-=8+左,解得a=——；

当C的顶点坐标为。（-九6+无）时,y2=a（x+力丫+6+人,

将/（—“一2,8+斤）代入得4。+6+k=S+k,解得。=；；

综上，a的值为■或-万.

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关

键.

3.（2024・四川广元・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线Ky=-―+/+c经过点-3,-1）,

与了轴交于点8（0,2）.

（2）在直线上方抛物线上有一动点C,连接OC交48于点。，求/的最大值及此时点C的坐标;

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⑶作抛物线F关于直线y=-l上一点的对称图象尸，，抛物线产与F'只有一个公共点£(点£在7轴右侧)，

G为直线上一点，X为抛物线尸对称轴上一点，若以2,E,G,〃为顶点的四边形是平行四边形，求

G点坐标.

【答案】(l)y=-x2-2x+2；

93H

(2)最大值为三，C的坐标为

O257

(3)点G的坐标为(-2,0),(2,4),(4,6).

【分析】(1)本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点48坐标分别代入抛物线解析式，解

方程即可；

(2)根据题意证明再设NB的解析式为＞=/尤+〃，求出48的解析式，再设

C(t,-t2-2t+2),则M«J+2),再表示出器利用最值即可得到本题答案；

(3)根据题意求出再分情况讨论当8E为对角线时，当BE为边时继而得到本题答案.

【详解】(1)解:/(T-l),3(0,2)代入『-J+bx+c,

一9-36+c=-1b=-2

得:，解得:

c=2c=2

・・・抛物线的函数表达式为歹=-%2—2、+2.

・・・C"〃y轴，

工ACDMsAODB,

.CDCM_CM

••万一~51一万，

设45的解析式为歹=加1+〃，

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把8(0,2)代入解析式得[力=2，

fm=1

解得：。,

\n=2

y=x+2.

设—2，+2),则Af«/+2),

/.CM=-t2-3t=-(t+^]+-,

I2；4

-3<f<0,-l<0,

3o

.•.当仁一；时，CM最大，最大值为CN=：.

24

、

•••笠CD的最大值为三9，此时点C的坐标(3为11-.

OD8V24J

(3)解：由中心对称可知，抛物线尸与尸，的公共点£为直线了=-1与抛物线厂的右交点,

••一-2尤+2=-1,

X,=-3(舍)，X2=l,

••.£(1,-1).

：抛物线F：y=-/一+2的顶点坐标为(-1,3),

•••抛物线尸的顶点坐标为(3,-5),

抛物线F'的对称轴为直线尤=3.

如图2,当BE为对角线时，由题知=%-项；=3,

件

1:1/

/耶

用3

•・%G二一2,

第9页共117页

，G(-2,0).

如图3,当BE为边时，由题知-%=4-%=1,

，G（2,4）.

如图4,由题知%-=%-4=1,

，G（4,6）,

综上：点G的坐标为（一2,0）,（2,4）,（4,6）.

4.（2024・天津・中考真题）已知抛物线y="+6x+c（a,b,c为常数，。＞0）的顶点为P,且2a+6=0,

对称轴与无轴相交于点。，点加（见1）在抛物线上，相＞1,。为坐标原点.

（1）当。=1,。=-1时，求该抛物线顶点P的坐标；

（2）当（W=OP=卓时，求。的值；

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(3)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，NMDN=90。,点E在线段九W上，点尸在线

段。N上，NE+NF=0DM，当。£+板取得最小值为时，求。的值.

【答案】(1)该抛物线顶点P的坐标为(1,-2)

⑵10

(3)1

【分析】(1)先求得服b的值，再配成顶点式，即可求解；

3

(2)过点M(加,1)作轴，在RMM9〃中，利用勾股定理求得%=,，在RtA(9P。中，勾股定理求

得PD=|,得该抛物线顶点P的坐标为再利用待定系数法求解即可；

(3)过点M(叽1)作，龙轴，过点N作，x轴，证明/XNDUADMH,求得点N的坐标为(2,1-加)，

在Rt△。儿W中，利用勾股定理结合题意求得ME=NF,在人。儿火的外部，作/0雨=45。，且NG=DM,

证明△GNF也得到GF=DE,当满足条件的点尸落在线段GAf上时，OE+M/取得最小值，求

得点M的坐标为(3,1),再利用待定系数法求解即可.

【详解】(1)解：,「ZQ+buO,。=1,得b=-2a=-2.又。=—1,

•••该抛物线的解析式为y=x2-2x-l.

*.*y--x~-2,x-]=(x-])-2,

该抛物线顶点P的坐标为(1,-2)；

(2)解：过点M(%1)作血以轴，垂足为〃，m>\,

贝!]/WHO=90。，HM=1,OH=m.

在RQM9〃中，由HM?+OH?=0M\0M=、—

2

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/.1+m

33

角毕得加i=5，m2=--(舍).

点w的坐标为Imj.

2a+b=0,即一一—=1.

抛物线V="2-2QX+C的对称轴为x=l.

丁对称轴与X轴相交于点。，则。。=1,NODP=90。.

於

在RSOPZ)中，由。。2+2。2=。02,4=2(_,

……［句.

3

解得尸负值舍去.

2

由。>0,得该抛物线顶点P的坐标为

3

该抛物线的解析式为y=«(x-l)72-j.

•.•点在该抛物线上，有1=

/.(2=10;

(3)解：过点作轴，垂足为Mm>\,

贝！J/Aff/O=90。，HM=l,OH=m.

:.DH^OH-OD=m-\.

二在RtAOAff/中，DM2=DH2+HM2=(m-l)2+1.

过点N作八轴，垂足为K,则NDKM=90。.

忖方7•1•NMDN=90°,DM=DN,又NDNK=90°-ZNDK=ZMDH,

:.ANDK沿△DMH.

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：.DK=MH=1,NK=DH=m-1,

点N的坐标为（2,1-m）.

在中，NDMN=NDNM=450,

MN2=DM2+DN2=2DM2,-

根据题意，NE+NF=42DM，得ME=NF.

在ADW的外部，作NDNG=NDME=45。,且NG=DM,连接G尸，

得ZMNG=NDNM+NDNG=90°.

:.4GNF丝ADME.

：.GF=DE.

:.DE+MF=GF+MF>GM.

当满足条件的点尸落在线段GW上时，DE+板取得最小值，即GW=JI?.

在RtAGACV中，GM2=NG2+MN2=3DM2,

.•.（V15）2=3DM2.得DM?=5.

.-.（m-l）2+l=5.解得叫=3,吗=_］（舍）.

.・•点M的坐标为（3,1）,点N的坐标为（2,-2）.

•.•点”（3,1）,N（2,-2）都在抛物线>-2ax+c上，

1—9a—6Q+c,-2—4。4Q+c.

a=\.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂

线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键.

5.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+bx+c与x轴相交于,

3两点（点A在点B左侧），顶点为M（2,d）,连接

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（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1,若C是y轴正半轴上一点，连接NC,C/.当点C的坐标为（0,；］时，求证：ZACM=ZBAM；

⑶如图2,连接将沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点AT处，过点8的直线与线段/AT

相交于点。，与了轴负半轴相交于点E.当空=•!时，3s与2s△v初是否相等？请说明理由.

DE7

【答案】（1）>=-2x?+8x-6

⑵见解析

（3）相等，理由见解析

,、bt>,

【分析】（1）根据顶点为M（2,d）,利用一五=一讦»=2求出b=8,再将/（1,0）代入解析式即可求出

。=-6,即可得出函数表达式；

（2）延长MC交x轴于点。，由（1）知抛物线的解析式表达式为了=-2/+8工-6,求出M（2,2）,再利

用待定系数法求出直线MC的解析式为y=；x+）,进而求出则=利用两点间距离公

式求出DM=3,CD=3,易证44cos得到a4co=/MZ。，由

36

ZACD+ZACM=ZMAD+ZBAM=180°,即可证明44cM=ZBAM；

（3）过点。作DGLx轴，交x轴于点G,利用抛物线解析式求出8（3,0）,求出03=3,ZB=2,根据OE〃DG,

易证ABDGsBEO,得至U==，由=—>即=—，求出8G=—,得至l|OG=。，即点。

OBBEOEDE7BE1555

的横坐标为（，由折叠的性质得到“（2,-2）,求出直线/”的解析式为了=-2苫+2,进而求出。

414146

得到DG=-,利用三角形面积公式求出口皿=a•OG=『则S.MB，D=S^ABM.-S^ABD=-AB-\yM\--=-,

即可证明结论.

【详解】（1）解：•.•该抛物线的顶点为M（2,d）,即该抛物线的对称轴为x=2,

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bb

•x=----=-----；——-=2.

2a2x(-2)

将/(1,0)代入解析式y=-2x2+8x+c,则0=-2+8+c,

c——6,

■.抛物线的解析式表达式为y=-2/+8x-6；

(2)证明：如图1,延长MC交x轴于点〃，

由（1）知抛物线的解析式表达式为y=-2尤？+8x-6,则加=-2'2?+8'2-6=2,

•••点C的坐标为（0,；1,

设直线的解析式为了=履+。（左/0）,

-=b

则2,

2=2k+b

b=-

解得：2

k=-

[4

,,3131

「•直线的解析式为y=^%+耳，则0=1%+3，

2

-XD=~~，

・••4(1,0),

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55

AD_3_1CD_6_1

T3

ADCD

•.•/ADM=ZADM，

/^ACD^AMAD,

ZACD=/MAD,

•••ZACD+ZACM=ZMAD+ZBAM=1SO°,

/.ZACM=NBAM；

(3)解：过点。作。G，x轴，交x轴于点G,

解得:七=1户2=3,

根据题意得：5(3,0),

/.OB=3,AB=2,

•••Z)G_Lx轴，。石_Lx轴,

/.OE//DG,

「•ABDGS@EO,

,_B_G___B__D__D__G

'OB~BEOE'

BD8口AD8

——=一,BPn——=—,

DE7BE15

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，0G=-

7

•••点。的横坐标为二，

由折叠的性质得到“（2,-2）,

设直线4AT的解析式为歹=+。0）,

.,・直线AMr的解析式为y=—2x+2,

c7c4

y=_2x—F2=—,

D55

7

5，-5

14

=—AB-DG=—

【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠

的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似

是解题的关键.

6.（2024•吉林・中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）

所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出了的值为3；输入x的值为3时，

输出y的值为6.

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开始

（图I）（图2）

（1）直接写出后,a,6的值.

（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）.

I.当了随x的增大而增大时，求x的取值范围.

II.若关于x的方程ax2+6x+37=0。为实数），在0<x<4时无解，求/的取值范围.

III.若在函数图像上有点P,。（尸与。不重合）.P的横坐标为加，。的横坐标为-加+l.小明对尸，Q

之间（含尸，。两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随机的变化而变化，直接

写出小的取值范围.

【答案】⑴斤=1,。=1,6=-2

⑵I：尤W0或x21；II：/<2或此11；III：-l<m<Q^l<m<2

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，

正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键.

（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x,y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程

组即可；

（2）I：可知一次函数解析式为：7=x+3,二次函数解析式为：y一2》+3,当x>0时，y=x2-2x+3,

对称为直线x=l,开口向上，故尤21时，y随着x的增大而增大；当尤W0时，y=x+3,左=1>0,故尤VO

时，y随着x的增大而增大；

II：问题转化为抛物线>-2x+3与直线>=?在0<x<4时无交点，考虑两个临界状态，当1=2时，抛

物线>=/一2x+3与直线>=/在0<&<4时正好一个交点，因此当，<2时，抛物线一2x+3与直线

夕=/在0<x<4时没有交点；当戈=4,y=ll,故当，=11时，抛物线>=/一2x+3与直线N=/在0<xV4

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时正好一个交点，因止匕当年11时，抛物线>=，一2x+3与直线>=，在0<x<4时没有交点，当f<2或的11

时，抛物线y一2x+3与直线>=/在0<x<4时没有交点，即方程ax?+6x+3-f=0无解；

III：可求点尸、。关于直线X=；对称，当x=l,y最小值=2,当x=0时，y最大值=3,当图像对应函数的

最大值与最小值均不随机的变化而变化，而当x=2时，v=3,x=-l时，V=2,故①当加>；,由题意得：

f—1—in+1^011―1W冽W0、

，贝IJ1V加V2；②当冽<7，由题思得：1,C，则—IV加K0,综上：TW加K0或

[1<m<22[l<-m+l<2

1<m<2.

【详解】(1)解：・・・x=—2<0,

.••将X=—2,y=1代入y=履+3,

得：—2k+3=1,

解得：k=\,

*.*x=2〉0,x=3〉0,

・,•将x=2,y=3,%=3,歹=6代入y=ax2+fcv+3

f4a+26+3=3

得：]2入々久，

[Q9。+36+3=6

解得,][『a=l2；

(2)解：I,Vk=l,a=l,b=-1,

一次函数解析式为：y=x+3,二次函数解析式为：y=--2x+3

当x>0时，y=x2-2x+3,对称为直线x=l,开口向上，

时，y随着x的增大而增大；

当xWO时，y=x+3,/c=l>0,

xVO时，y随着x的增大而增大，

综上，x的取值范围：xWO或xZl；

II，•ctx^+bx+3-1—01

ax2+bx+3-t^在0<x<4时无解，

...问题转化为抛物线y=x2-2x+3与直线>=才在0<x<4时无交点，

,对于y=X?-2x+3,当x=1时，y=2

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顶点为(1,2),如图:

...当f=2时，抛物线y=x2-2x+3与直线y在0。<4时正好一个交点，

当/<2时，抛物线y=--2x+3与直线>=，在0<x<4时没有交点；

当x=4,y=16—8+3=11,

工当，=11时，抛物线歹二%2一2%+3与直线>=，在0<%«4时正好一个交点，

.,.当Z211时，抛物线y=f-2x+3与直线>=/在0<x<4时没有交点，

...当f<2或/Nil时，抛物线y=f-2x+3与直线y在0<x<4时没有交点，

即：当/<2或的11时，关于x的方程ax2+bx+3-/=0G为实数)，在0<x<4时无解；

III：Vxp=m,xQ=-m+l,

.m+(-771+1)1

••—,

22

•••点P、。关于直线X=；对称，

当x=l,y最小值=1-2+3=2,当x=0时，V最大值=3，

・・,当图像对应函数的最大值与最小值均不随加的变化而变化，而当工=2时，y=3,尸―1时，丁=2,

①当加>:,如图:

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-1<—m+1<0

由题意得:

1<m<2

1<m<2；

-1<m<0

由题意得:

1<-m+1<2

-1<m<0,

综上：-l<m<0^1<m<2.

7.（2024•四川达州•中考真题）如图1,抛物线y=辰-3与x轴交于点题-3,0）和点3（1,0）,与丁轴交

于点C.点。是抛物线的顶点.

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图I图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,连接/C,DC,直线/C交抛物线的对称轴于点若点尸是直线ZC上方抛物线上一点，

且以PMC=2S3C，求点P的坐标；

(3)若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三

角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴尸/+2x-3

(2)尸(1,0)或尸(-4,5)；

(3)4一1,足)或卜1,一后)或(-1,-1)或(-1,炳—3)

【分析】(1)待定系数法求解析式，即可求解；

(2)先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰三角形，进而根据4加c=2%3配得

出/咏=2，连接"3，设交x轴于点E，则旌=匹=2得出是等腰直角三角形，进而得出

屋BMC=2,则点P与点3重合时符合题意，P(l,0),过点3作研〃/C交抛物线于点P,得出直线3P的

解析式为了=-》+1，联立抛物线解析式，即可求解；

(3)勾股定理求得/C2,NN2,CN2,根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解.

【详解】(1)解：：抛物线y=#+履-3与无轴交于点/(-3,0)和点8(1,0),

.19。-3左-3=0

••+左-3=0

[a=\

解得：,C

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抛物线的解析式为y=/+2x_3；

(2)由y=X2+2%-3,当x=0时，歹=一3,则。(0,—3)

丁y=12+2x—3=(X+1)2一4,则Z)(_l,_4),对称轴为直线x=—l

设直线/C的解析式为＞=3+4,代入/(—3,0),C(0,-3)

解得

/.直线NC的解析式为V=-x-3,

当尤=-1时，V=-2,则M（-l,-2）

，MC="+（一2+3）2=后,=一2一（一4）=2,CD="+（-3+4/=41

MD~=MC1+CD1

•••△”CD是等腰三角形，

1,

,"S4PMe=2sA",©=2x5xC.D~=2

连接MB,设A/D交x轴于点£,则凡£=匹=2

，是等腰直角三角形，

NBME=45°,BM=272,

又NDMC=45°

二BM±AC

：

.S△DIV!L=2-XA/CXW=2-XV2X2A/2=2

•••点P与点B重合时符合题意，尸（1,0）

如图所示，过点B作〃/C交抛物线于点P,

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设直线8尸的解析式为>=-尤+小，将3(1,0)代入得,

0=-1+m

解得：m-\

：.直线BP的解析式为歹=-x+1

y=-x+l

联立

y=/+2x-3

.,.尸(-4,5)

综上所述，尸(1,0)或尸(-4,5)；

(3)解：•••4(-3,0),C(0,-3),

y4C2=32+32=18

•••点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N(T,〃)其中«>-4

/.AN2=(-3+1)2+n2=4+n2,C2V2=I2+(H+3)2=«2+6M+10

①当/N=/C时，4+/=18,解得：〃=旧或〃=一内

②当N4=NC时，4+n2=n2+6H+10,解得：n

③当G4=C7V时，18=〃2+6〃+10，解得：〃=VT^-3或”=-VF7-3(舍去)

综上所述，N(T，Z)或(-1,-旧)或或(-1,如-3).

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二

次函数的性质是解题的关键.

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8.(2024・四川泸州・中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线>="2+法+3经过点4(3,0),

与y轴交于点3,且关于直线无=1对称.

(1)求该抛物线的解析式；

⑵当-iVxVf时，y的取值范围是0Wy42"l,求，的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点。，在y轴上是否存在

点、E,使得以3,C,D,£为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.

【答案】(l)y-2+2x+3

5

⑵吃

⑶存在点以3,C,D,E为顶点的四边形是菱形，边长为3近-2或2

【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键.

(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(2)分和"1,两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可.

(3)分AD为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：：抛物线>=办2+乐+3经过点N(3,0),与y轴交于点瓦且关于直线x=l对称，

———=1[a=—1

A2a,解得：J,

9。+36+3=0〔二

・・y=—%2+2x+3；

(2),・•抛物线的开口向下，对称轴为直线x=l,

抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，

•.'—14x4/时,OMyd,

①当/VI时，贝!]：当尤=1时，函数有最大值，即：2t-l=-t2+2t+3,

解得：1=-2或y2,均不符合题意，舍去；

②当，>1时，贝!I：当x=l时，函数有最大值，即：2l-l=-F+2+3=4,

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解得：［=5；

故，=：；

2

(3)存在；

当y=-x?+2x+3=0时，解得：Xj=3,x2=-l,当x=0时，y=3,

4(3,0),5(0,3),

设直线的解析式为了=履+3,把4(3,0)代入，得：k=-l,

•*.y——x+3,

设C("一+2加+3)(0<加<3),贝Z)(m,-m+3),

CD=—m2+2m+3+m—3=-nr+3m>BD=个W+(-m+3-3)-=6m，BC2=m2+^-m2+2m^,

当B,C,D,£为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：

①当功□为边时，贝!1：BD=CD,即一疗+3加=正加，

解得：m=0(舍去)或m=3-近,

此时菱形的边长为血〃2=3后-2;

②当BD为对角线时,则;BC=CD,即:机2+(-/+2机)=(-m2+3m),

解得：%=2或m=0(舍去)

此时菱形的边长为：-2?+3x2=2;

综上：存在以2,C,D,E为顶点的四边形是菱形，边长为3&-2或2.

9.(2024・四川南充・中考真题)已知抛物线y=f2+6x+c与x轴交于点/(TO),3(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

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(2)如图1,抛物线与V轴交于点C,点尸为线段OC上一点(不与端点重合)，直线尸P3分别交抛物线

s

于点E,D,设面积为W，△尸3E面积为邑，求奇的值；

*

⑶如图2,点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M,N,

过抛物线顶点G作直线/〃x轴，点。是直线/上一动点.求。M+