山东专用2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第六讲空间向量及其运算学案含解析

PAGE14-第六讲空间向量及其运算ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__．(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．(3)共线向量：假如表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．(4)共面对量：平行于同一__平面__的向量叫做共面对量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb．(2)共面对量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0≤a，b≤π，若a，b＝eq\f(π,2)，则称a与b__相互垂直__，记作a⊥b．向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．学问点二空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共线a＝λb(b≠0)__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内随意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中随意一点．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是(AC)A．空间中随意两个非零向量a，b共面B．对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝cC．若A，B，C，D是空间随意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0D．若a·b<0，则a，b是钝角题组二走进教材2．(必修2P97A组T2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．3．(必修2P98T3)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为eq\r(2)．[解析]|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴EF的长的eq\r(2)．题组三考题再现4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则kA．－1 B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,5)[解析]由题意，得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝eq\f(7,5)．5．(2024·晋江模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4))．[解析]如图所示，取BC的中点E，连接AE．则eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴x＝y＝z＝eq\f(1,4)．6．(2024·吉林省吉林市调研)在空间直角坐标系O－xyz中，A(eq\r(2)，0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,5)，D(eq\r(2)，3,5)，则四面体ABCD的外接球的体积为36π．[分析]由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD外接球的直径．[解析]取E(eq\r(2)，0,5)，F(eq\r(2)，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，则OAFB－CEDG是长方体，其对角线长为l＝eq\r(\r(2)2＋32＋52)＝6，∴四面体ABCD外接球半径为r＝eq\f(l,2)＝3.V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×33＝36π，故答案为：36π．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一空间向量的线性运算——自主练透例1(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))．②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))．(2)在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))．[解析](1)①eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))．②因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))．(2)eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))]＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))．eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))．名师点拨☞(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求视察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．(2)向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．提示：空间向量的坐标运算类似于平面对量中的坐标运算． 〔变式训练1〕如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))．[解析](1)因为P是C1D1的中点，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．(2)因为M是AA1的中点，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．考点二空间向量共线、共面定理的应用——师生共研例2如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满意eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1[解析](1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，∴由共面对量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0<kMN不在平面ABB1A1又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1名师点拨☞1．证明空间三点P、A、B共线的方法(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．〔变式训练2〕已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．[解析](1)由题知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．考点三空间向量的坐标运算——师生共研例3(2024·安庆模拟)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))．(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b相互垂直，求k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满意的关系．[解析](1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．所以|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3．即m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1．又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，所以cosa，b＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)．所以a和b夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10)．(3)解法一：因为ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，所以(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0．所以k＝2或k＝－eq\f(5,2)．即当ka＋b与ka－2b相互垂直时，k＝2或k＝－eq\f(5,2)．解法二：由(2)知|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝－1，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－eq\f(5,2)．(4)因为a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，所以λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．因为[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即当λ，μ满意关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．名师点拨☞空间向量的坐标运算与平面对量坐标运算类似，可对比应用．〔变式训练3〕(1)与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(A)A．(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))和(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))B．(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))C．(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))D．(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))或(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))(2)已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(D)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)[解析](1)与向量a＝(－3，－4,5)共线的向量为±eq\f(a,|a|)＝±eq\f(1,5\r(2))(－3，－4,5)＝(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))或(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))．(2)∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，∴cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，又∵a，b∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq\f(π,6)，故选D．例4(1)(多选题)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(ACD)A．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线B．当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1D．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP(2)(多选题)(2024·广东珠海期末改编)已知球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB＝2eq\r(3)，若点P是球面上随意一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值可能是(ABCD)A．－2 B．0C．2 D．4[解析](1)如图建立空间直角坐标系，A1(1,0,1)，C(0，eq\r(3)，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，eq\r(3)，1)，D(0,0,0)，当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，而eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，1)，∴eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB1,\s\up6(→))，∴B1、P、D三点共线，A正确；eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋λeq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－λ，eq\r(3)λ，1－λ)．当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5λ－1＝0，∴λ＝eq\f(1,5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，eq\f(4,5))·(eq\f(4,5)，eq\f(\r(3),5)，－eq\f(1,5))＝－eq\f(1,5)≠0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))错；当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(1,3))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(A1P,\s\up6(→))－eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝(eq\f(2,3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(1,3))，又eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，1)，∴eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DC1,\s\up6(→))，∴D1P∥平面BDC1，C正确；当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))时，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，－eq\f(1,5))，从而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，eq\f(4,5))，又eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0,1)·(－1，eq\r(3)，－1)＝0，∴A1C⊥AD1eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，eq\f(4,5))·(－1，eq\r(3)，－1)＝0，∴A1C⊥AP∴A1C⊥平面D1AP(2)由球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB＝2eq\r(3)，可得∠AOB＝eq\f(2π,3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2×2×(－eq\f(1,2))＝－2，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))2＝－2－|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|·|eq\o(OP,\s\up6(→))|cosθ＋4＝2－4cosθ∈[－2,6]，故选A、B、C、D．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升向量在立体几何中的简洁应用例5如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解析]解法一：由题意可知CA、CB、CC′两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设AC＝BC＝AA′＝2a则eq\o(CE,\s\up6(→))＝(0,2a，a)，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝(－a，a，－2a)，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝(－2a,0,2a)(1)∵eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝0＋2a2－2a2＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)记异面直线CE与AC′所成角为θ，则cosθ＝|coseq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(CE,\s\up6(→))·\o(AC′,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|·|\o(AC′,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋2a2,\r(5)a·2\r(2)a)＝eq\f(\r(10),10)．解法二：(1)证明：设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，依据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·(b＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴coseq\o(AC′,\s\up6(→))，Ceq\o(E,\s