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第1页(共1页)2025年高考数学复习热搜题速递之立体几何初步(2024年7月)一.选择题(共10小题)1.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.86π B.46π C.26π D.6π2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36π B.64π C.144π D.256π3.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 4.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为93,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.123 B.183 C.243 D.5435.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A. B. C. D.6.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64π B.48π C.36π D.32π7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.12π B.323π C.8π D.48.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12 9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.π B.3π4 C.π2 10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5 B.4+5 C.2+25 D二.填空题(共5小题)11.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为.12.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.14.如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.15.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.三.解答题(共5小题)16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为8317.如图,在三棱锥A﹣BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°,求三棱锥A﹣BCD的体积.18.如图,已知三棱锥A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC;(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D﹣BCM的体积.19.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为6320.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD面积为27,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
2025年高考数学复习热搜题速递之立体几何初步(2024年7月)参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.86π B.46π C.26π D.6π【考点】球的体积和表面积.【专题】数形结合;分割补形法;空间位置关系与距离.【答案】D【分析】由题意画出图形,证明三棱锥P﹣ABC为正三棱锥,且三条侧棱两两互相垂直,再由补形法求外接球球O的体积.【解答】解:如图,由PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥,则顶点P在底面的射影O1为底面三角形的中心,连接BO1并延长,交AC于G,则AC⊥BG,又PO1⊥AC,PO1∩BG=O1,可得AC⊥平面PBG,则PB⊥AC,∵E,F分别是PA,AB的中点,∴EF∥PB,又∠CEF=90°,即EF⊥CE,∴PB⊥CE,得PB⊥平面PAC,则PB⊥PA,PB⊥PC,又三棱锥P﹣ABC是正三棱锥,∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直,把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为D==1半径为62,则球O的体积为4故选:D.【点评】本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,是中档题.2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36π B.64π C.144π D.256π【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【答案】C【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积.【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=13×12×R2×R=16R3=故选:C.【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键.3.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 【考点】异面直线及其所成的角.【专题】数形结合;定义法;空间角.【答案】C【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角;根据中位线定理,结合余弦定理求出AC、MQ,MP和∠MNP的余弦值即可.【解法二】通过补形的办法,把原来的直三棱柱变成直四棱柱,解法更简洁.【解答】解:【解法一】如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,π2]可知MN=12AB1NP=12BC1作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;∵PQ=1,MQ=12△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×(-1=7,∴AC=7∴MQ=7在△MQP中,MP=MQ在△PMN中,由余弦定理得cos∠MNP=MN又异面直线所成角的范围是(0,π2]∴AB1与BC1所成角的余弦值为105【解法二】如图所示,补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,求∠BC1D即可;BC1=2,BD=C1D=5∴BC12+BD∴∠DBC1=90°,∴cos∠BC1D=2故选:C.【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题,也考查了空间中的平行关系应用问题,是中档题.4.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为93,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.123 B.183 C.243 D.543【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题;数形结合;方程思想;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.【答案】B【分析】求出等边△ABC的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.【解答】解:△ABC为等边三角形且面积为93,可得34×AB2球心为O,三角形ABC的外心为O′,显然D是O′O的延长线与球的交点,如图:O′C=23×32×6=则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:13×3故选:B.【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A. B. C. D.【考点】直线与平面平行.【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.【答案】A【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意,从而可得答案.【解答】解:对于选项B,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意;对于选项C,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;对于选项D,由于AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;所以选项A满足题意,故选:A.【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理,利用三角形中位线定理是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.6.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64π B.48π C.36π D.32π【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题;转化思想;数形结合法;空间位置关系与距离;直观想象.【答案】A【分析】画出图形,利用已知条件求出OO1,然后求解球的半径,即可求解球的表面积.【解答】解:由题意可知图形如图:⊙O1的面积为4π,可得O1A=2,则32AO1=ABsin60°,3∴AB=BC=AC=OO1=23,外接球的半径为:R=AO球O的表面积:4×π×42=64π.故选:A.【点评】本题考查球的内接体问题,球的表面积的求法,求解球的半径是解题的关键.7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.12π B.323π C.8π D.4【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题;方程思想;综合法;球.【答案】A【分析】先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求出球的表面积.【解答】解:正方体体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为4+4+4=23即为球的直径,所以半径为3,所以球的表面积为4π⋅(故选:A.【点评】本题考查学生的空间想象能力,体积与面积的计算能力,是基础题.8.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12 【考点】棱锥的体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.【答案】A【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,进而可得答案.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,棱锥的底面面积S=12×1×高为1,故棱锥的体积V=1故选:A.【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.π B.3π4 C.π2 【考点】圆柱的体积.【专题】计算题;方程思想;定义法;立体几何.【答案】B【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=1【解答】解:∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,∴该圆柱底面圆周半径r=1∴该圆柱的体积:V=Sh=π故选:B.【点评】本题考查面圆柱的体积的求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题.10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5 B.4+5 C.2+25 D【考点】由三视图求面积、体积.【专题】空间位置关系与距离.【答案】C【分析】根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EC=EB=1,OA=1,BC⊥面AEO,AC=5,OE=5【解答】解:根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EC=EB=1,OA=1,∴可得AE⊥BC,BC⊥OA,由直线与平面垂直的判定定理得:BC⊥面AEO,AC=5,OE∴S△ABC=12×2×2=2,S△OAC=S△OAB=S△BCO=12×故该三棱锥的表面积是2+25故选:C.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观图,得出几何体的性质.二.填空题(共5小题)11.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为36π.【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.【专题】计算题;转化思想;空间位置关系与距离.【答案】见试题解答内容【分析】判断三棱锥的形状,利用几何体的体积,求解球的半径,然后求解球的表面积.【解答】解:三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径为r,可得13×12×2球O的表面积为:4πr2=36π.故答案为:36π.【点评】本题考查球的内接体,三棱锥的体积以及球的表面积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.12.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为23π【考点】球的体积和表面积.【专题】数形结合;分析法;球;数学运算.【答案】见试题解答内容【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,作图,求得出该内切球的半径即可求出球的体积.【解答】解:因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球,如图,圆锥母线BS=3,底面半径BC=1,则其高SC=BS2不妨设该内切球与母线BS切于点D,令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,则ODOS即r22-rV=43πr3=故答案为:23π【点评】本题考查圆锥内切球,考查球的体积公式,数形结合思想,属于中档题.13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为9π2【考点】球的体积和表面积.【专题】方程思想;定义法;空间位置关系与距离.【答案】见试题解答内容【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.【解答】解:设正方体的棱长为a,∵这个正方体的表面积为18,∴6a2=18,则a2=3,即a=3∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,∴正方体的体对角线等于球的直径,即3a=2R,即R=3则球的体积V=43π•(32)故答案为:9π【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.14.如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是78【考点】异面直线及其所成的角.【专题】空间角.【答案】见试题解答内容【分析】连结ND,取ND的中点为:E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC通过解三角形,求解即可.【解答】解:连结ND,取ND的中点为:E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,∵AN=22,∴ME=2=EN,MC=2又∵EN⊥NC,∴EC=EN∴cos∠EMC=EM故答案为:78【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.15.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为415cm3.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线中的最值与范围问题.【答案】415cm3.【分析】法一:由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=36BC,设OG=x,则BC=23x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=25-10x,求出S△ABC=33x2,V=13S△ABC×h=3⋅25x4-10x5,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,52),法二:设正三角形的边长为x,则OG=13×32x=36x,FG=法三:连接OD,交BC于H,设BC=2x,则0<2x<53,OH=x3,DH=5-x3【解答】解法一:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=36即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,则BC=23x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=DS△ABC=则V=1令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,52),f′(x)=100x3﹣50x4令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)=80,∴V≤3×80=415cm3,∴体积最大值为4故答案为:415cm3.解法二:如图,设正三角形的边长为x,则OG=1∴FG=SG=5-3SO=h=S∴三棱锥的体积V==1令b(x)=5x4-33x令b′(x)=0,则4x3-x43=0,解得x∴Vmax=1512故答案为:415cm3.解法三:连接OD,交BC于H,如图,设BC=2x,则0<2x<53,OH=x3,DH=5∴V==3=3=3≤3=415,当x=23时,取“=”.∴体积最大值为415cm3.故答案为:415cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三.解答题(共5小题)16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为83【考点】平面与平面垂直;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.【答案】见试题解答内容【分析】(1)推导出AB⊥PA,CD⊥PD,从而AB⊥PD,进而AB⊥平面PAD,由此能证明平面PAB⊥平面PAD.(2)设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO,则PO⊥底面ABCD,且AD=2a,PO=22a,由四棱锥P﹣ABCD的体积为8【解答】证明:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,∠BAP=∠CDP=90°,∴AB⊥PA,CD⊥PD,又AB∥CD,∴AB⊥PD,∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,∵AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.解:(2)设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO,∵PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,平面PAB⊥平面PAD,∴PO⊥底面ABCD,且AD=a2+a∵四棱锥P﹣ABCD的体积为83由AB⊥平面PAD,得AB⊥AD,∴VP﹣ABCD==1解得a=2,∴PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=22,PO=2∴PB=PC=4+4=2∴该四棱锥的侧面积:S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=1=1=6+23.【点评】本题考查面面垂直的证明,考查四棱锥的侧面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.17.如图,在三棱锥A﹣BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°,求三棱锥A﹣BCD的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直.【专题】转化思想;综合法;空间角;逻辑推理;数学运算.【答案】见试题解答内容【分析】(1)利用等腰三角形中线就是高,得到AO⊥BD,然后利用面面垂直的性质,得到AO⊥平面BCD,再利用线面垂直的性质,即可证明AO⊥CD;(2)方法一:建立合适的空间直角坐标系,设A(0,0,t),利用待定系数法求出平面的法向量,由向量的夹角公式求出t的值,然后利用锥体的体积公式求解即可.方法二:利用几何法求出二面角E﹣BC﹣D的平面角,然后利用锥体的体积公式求解即可.【解答】解:(1)证明:因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,所以AO⊥CD;(2)方法一:取OD的中点F,因为△OCD为正三角形,所以CF⊥OD,过O作OM∥CF与BC交于点M,则OM⊥OD,所以OM,OD,OA两两垂直,以点O为坐标原点,分别以OM,OD,OA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,﹣1,0),C(32,12,0),设A(0,0,t),则E(0因为OA⊥平面BCD,故平面BCD的一个法向量为OA→设平面BCE的法向量为n→又BC→所以由n→⋅BC令x=3,则y=﹣1,z=2因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°,所以|cos解得t=1,所以OA=1,又S△OCD=故VA方法二:过E作EF⊥BD,交BD于点F,过F作FG⊥BC于点G,连结EG,由题意可知,EF∥AO,又AO⊥平面BCD1所以EF⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以EF⊥BC,又BC⊥FG,FG∩EF=F所以BC⊥平面EFG,又EG⊂平面EFG,所以BC⊥EG,则∠EGF为二面角E﹣BC﹣D的平面角,即∠EGF=45°,又CD=DO=OB=OC=1,所以∠BOC=120°,则∠OCB=∠OBC=30°,故∠BCD=90°,所以FG∥CD,因为DEAD则AO=所以BFBD=GF所以EF=GF=23,则所以VA【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质,在求解有关空间角问题的时候,一般要建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转化为空间向量问题,属于中档题.18.如图,已知三棱锥A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC;(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D﹣BCM的体积.【考点】直线与平面平行;平面与平面垂直;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】空间位置关系与距离.【答案】见试题解答内容【分析】(1)要证DM∥平面APC,只需证明MD∥AP(因为AP⊂面APC)即可.(2)在平面ABC内直线AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明BC⊥面APC,从而证得平面ABC⊥平面APC;(3)因为BC=4,AB=20,求出三棱锥的高,即可求三棱锥D﹣BCM的体积.【解答】证明:(I)由已知得,MD是△ABP的中位线∴MD∥AP∵MD⊄面APC,AP⊂面APC∴MD∥面APC;(II)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P∴AP⊥面PBC(6分)∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC,∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC;(III)由题意可知,三棱锥A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.MD⊥面PBC,BC=4,AB=20,MB=10,DM=53,PB=10,PC=100-16=2∴MD是三棱锥D﹣BCM的高,S△BCD=12×4×2∴VM【点评】本题考查直线与平面的平行,三棱锥的体积,平面与平面垂直的判定,是中档题.19.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为63【考点】平面与平面垂直;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【专题】空间位置关系与距离.【答案】见试题解答内容【分析】(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)根据三棱锥的条件公式,进行计算即可.【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵BE⊥平面ABCD,∴AC⊥BE,则AC⊥平面BED,∵AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面BED;解:(Ⅱ)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,得AG=GC=32x,GB=GD∵BE⊥平面ABCD,∴BE⊥BG,则△EBG为直角三角形,∴EG=12AC=AG=则BE=EG∵三棱锥E﹣ACD的体积V=1解得x=2,即AB=2,∵∠ABC=120°,∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×2×即AC=12在三个直角三角形EBA,EBD,EBC中,斜边AE=EC=ED,∵AE⊥EC,∴△EAC为等腰三角形,则AE2+EC2=AC2=12,即2AE2=12,∴AE2=6,则AE=6∴从而得AE=EC=ED=6∴△EAC的面积S=12在等腰三角形EAD中,过E作EF⊥AD于F,则AE=6,AF=则EF=(∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=1故该三棱锥的侧面积为3+25.【点评】本题主要考查面面垂直的判定,以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式.20.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD面积为27,求四棱锥P﹣ABCD的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行.【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离;数学运算.【答案】见试题解答内容【分析】(1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可.(2)利用已知条件转化求解几何体的线段长,然后求解几何体的体积即可.【解答】(1)证明:四棱锥P﹣ABCD中,∵∠BAD=∠ABC=90°.∴BC∥AD,∵AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,∴直线BC∥平面PAD;(2)解:四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,设O是AD的中点,则PO⊥BC,而PO⊂面PAD,面PAD∩面ABCD=BC,所以PO⊥面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°.设AD=2则AB=BC=x,CD=2x,连接OC,设CD的中点为E,连接则OE=22x,PO=3△PCD面积为27,可得:12PE⋅即:12×72x⋅2x=27则VP﹣ABCD=13×12(BC+AD)×AB×【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
考点卡片1.球内接多面体【知识点的认识】1、球内接多面体的定义:多面体的顶点都在球面上,且球心到各顶点的距离都是半径.球内接多面体也叫做多面体外接球.球外切多面体的定义:球面和多面体的各个面都相切,球心到各面的距离都是球的半径.球外切多面体也叫做多面体内切球2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题:(1)球心与多面体中心的位置关系;(2)球的半径与多面体的棱长的关系;(3)球自身的对称性与多面体的对称性;(4)能否做出轴截面.3、球与多面体的接、切中有关量的分析:(1)球内接正方体:球和正方体都是中心对称和轴对称图形,设球的半径为r,正方体的棱长为a,则:①球心就是正方体的中心,球心在正方体的体对角线的中点处;②正方体的四个顶点都在球面上;③轴截面就是正方体的对角面;④在轴截面上,含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线,且构造一个直角三角形;⑤球半径和正方体棱长的关系:r=322.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【知识点的认识】侧面积和全面积的定义:(1)侧面积的定义:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开,所得到的展开图的面积,就是空间几何体的侧面积.(2)全面积的定义:空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积.柱体、锥体、台体的表面积公式(c为底面周长,h为高,h′为斜高,l为母线)S圆柱表=2πr(r+l),S圆锥表=πr(r+l),S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2)3.棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式:V柱=sh,V锥=134.棱锥的体积棱锥的体积5.圆柱的体积圆柱的体积6.球的体积和表面积【知识点的认识】1.球体:在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体,简称球.其中到定点距离等于定长的点的集合为球面.2.球体的体积公式设球体的半径为R,V球体=3.球体的表面积公式设球体的半径为R,S球体=4πR2.【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用,常见结合其他空间几何体进行考查,以增加试题难度,根据题目所给条件得出球体半径是解题关键.7.由三视图求面积、体积【知识点的认识】1.三视图:观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形,包括:(1)主视图:物体前后方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和长度;(2)左视图:物体左右方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和宽度;(3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图,反映物体的长度和宽度.2.三视图的画图规则:(1)高平齐:主视图和左视图的高保持平齐;(2)长对正:主视图和俯视图的长相对应;(3)宽相等:俯视图和左视图的宽度相等.3.常见空间几何体表面积、体积公式(1)表面积公式:圆柱:(2)体积公式:柱体:【解题思路点拨】1.解题步骤:(1)由三视图定对应几何体形状(柱、锥、球)(2)选对应公式(3)定公式中的基本量(一般看俯视图定底面积,看主、左视图定高)(4)代公式计算2.求面积、体积常用思想方法:(1)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题,常用轴截面进行分析求解;(2
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