《混凝土结构基本原理》g第04章

第4章受弯构件的正截面受弯承载力2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力结构中各种类型的梁、板是典型的受弯构件，其特征是仅承受弯矩与剪力，它们是土木工程中广为使用的构件。与构件的计算轴线相垂直的截面称为正截面。受弯构件正截面受弯承载力按承载能力极限状态满足M≤Mu的要求，其目的是使受弯构件各截面的正截面抗弯承载能力应不小于相应位置的外部作用弯矩。式中：M（moment）是受弯构件正截面的弯矩设计值，它是根据结构上的作用按弹性假定用结构力学方法计算求得；Mu（Ultimatevalue）是受弯构件正截面受弯承载力的设计值，是由正截面上材料所产生的抗力。Mu的计算、应用是本章的中心问题。第4章受弯构件的正截面受弯承载力2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力正截面受弯承载力计算（按已知弯矩设计值M确定截面尺寸和纵向受力钢筋）；斜截面受剪承载力计算（按剪力设计值V计算确定箍筋和弯起钢筋的数量）；钢筋布置（为保证钢筋与混凝土的粘结，并使钢筋充分发挥作用，根据荷载产生的弯矩图和剪力图确定钢筋沿构件轴线的布置）；正常使用阶段的裂缝宽度和挠度变形验算；完善各种构造措施并绘制施工图。本章主要学习第一方面的内容受弯构件设计涉及的内容2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力§4.1梁、板的一般构造4.1.1截面形状与尺寸1.截面形状（1）梁

矩形、T形、倒T形、工字形、十字形、花篮形、箱形等（2）板实心或空心（预制、现浇）、槽形、倒槽形等2.截面尺寸梁的截面尺寸主要应根据所承受的外部作用决定，同时也需考虑模板尺寸、构件的截面尺寸符合模数、方便施工。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力常用的钢筋混凝土梁截面形状2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力常用的钢筋混凝土梁截面形状（续）返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力常用的钢筋混凝土板截面形状2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力空心板2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力槽形小板返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力现浇梁、板的截面尺寸可参考下述原则选取：（1）梁高度h较为常见的取值为：300、350、400、450、500、550、600、650、700、750、800、900、1000mm等。梁的高宽比（h/b）一般取2.0～4.0梁宽度多为150、200、250、300、350mm等。（2）板设计时通常取单位宽度（b＝1000mm）进行计算板厚除应满足各项功能要求外，尚应满足最小厚度要求2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力单向板屋面板60民用建筑楼板60工业建筑楼板70行车道下的楼板80双向板80密肋板肋间距小于或等于700mm40肋间距大于700mm50悬臂板板的悬臂长度小于或等于500mm60板的悬臂长度大于500mm80无梁楼板150现浇钢筋混凝土板的最小厚度（mm）GB50010-2002表10.1.1注：悬臂板的厚度是指悬臂根部的厚度返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.1.2材料选择与一般构造1.混凝土强度等级工程中常用的梁、板混凝土强度等级是：C25、C30、C35、C40。2.钢筋强度等级和常用直径（1）梁钢筋的强度等级和常用直径梁内纵向受力钢筋强度等级：纵向受力钢筋宜采用335级（Ⅱ级，2）和400级（Ⅲ级，3）,和500级。直径：可取12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm和25mm；同一截面钢筋直径不宜超过两种，直径相差不小于2mm根数：不少于2根，同时应满足图4－2所示对纵筋净距的要求（便于浇注混凝土，保证钢筋周围混凝土的密实性）2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力净距、混凝土保护层厚度c及有效高度h0当梁的纵向受力钢筋为两层（甚至还有多于两层）时，上、下钢筋应对齐，不能错列，以方便混凝土的浇捣。当梁的下部钢筋多于两层时，从第三层起，钢筋的中距应比下面两层的中距增大一倍。返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力强度等级：常采用HPB300级、HRB335级、HRB400级。直径：常采用6mm、8mm、10mm和12mm。梁内纵向构造钢筋架立钢筋：梁上部无受压计算钢筋时，仍需配置2根架立筋，以便与箍筋和梁底部纵筋形成钢筋骨架，直径一般不小于10mm。抗缩钢筋（腰筋）：梁的腹板高度hw≥450mm时，在梁的两个侧面应沿高度配置纵向构造钢筋以减小梁腹部的裂缝宽度。每侧纵向构造钢筋（不包括梁上、下部受力钢筋及架立钢筋）的截面面积不应小于腹板截面面积bhw的0.1％，且其间距不宜大于200mm。梁的腹板高度hw：对矩形截面，取有效高度h0；对T形截面，取有效高度h0减去翼缘高度；对I形截面，取腹板净高。梁内箍筋2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力板钢筋的强度等级和常用直径板的受力钢筋板内纵向受力钢筋应与分布钢筋相垂直，并放在外侧强度等级：可采用HPB235级、HRB335级和HRB400级钢筋直径：常采用6mm、8mm、10mm和12mm，其中现浇板的板面钢筋直径不宜小于8mm间距：一般为100～200mm（其原因是：为了便于浇注混凝土，保证钢筋周围混凝土的密实性，板内钢筋间距不宜太密；为了正常地分担内力，也不宜过稀）2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力板的分布钢筋对于单向板，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋（其目的是将荷载均匀地传递给受力钢筋、便于在施工中固定受力钢筋的位置、抵抗温度和收缩等产生的应力）。强度等级：可采用HPB235级和HRB335级钢筋直径：常采用6mm和8mm配筋原则：单位长度上分布钢筋的截面面积不应小于单位宽度上受力钢筋截面面积的15%，分布钢筋的间距不宜大于250mm，直径不宜小于6mm。温度变化较大或集中荷载较大时，分布钢筋的截面面积应适当增加，其间距不宜大于200mm2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力梁、板的混凝土保护层厚度c定义纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离称为混凝土保护层厚度c作用保护纵筋不锈蚀在火灾等情况下延缓钢筋升温使纵筋与混凝土有较好的粘结，以保证两者共同工作取值

混凝土保护层最小厚度应根据结构的“使用环境类别”、混凝土强度等级、构件类型（例如梁、板、柱）确定，且不应小于钢筋的公称直径。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土结构的环境类别GB50010-2010表3.5.2返回环境类别条件一

室内干燥环境，无侵蚀性静水浸没环境二a

室内潮湿环境；非严寒和非寒冷地区的露天环境；非严寒和非寒冷地区与无侵蚀性的水或土壤直接接触的环境；严寒和寒冷地区的冰冻线以下与无侵蚀性的水或土壤直接接触的环境。b

干湿交替环境；水位频繁变动环境；

严寒和寒冷地区的露天环境；严寒和寒冷地区冰冻线以上与无侵蚀性的水或土壤直接接触的环境。三a严寒和寒冷地区冬季水位变动的环境；受除冰盐影响环境；海风环境b盐渍土环境；受除冰盐作用环境；海岸环境四海水环境五受人为或自然的侵蚀性物质影响的环境2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土保护层的最小厚度(mm)GB50010-2010表8.2.1返回环境类别板、墙、壳梁、柱、杆一1520二a2025b2535三a3040b40502025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力纵向受拉钢筋的配筋百分率截面有效高度h0定义正截面上所有受拉钢筋的合力作用点至截面受压边缘的竖直距离为截面的有效高度为h0计算若正截面上所有受拉钢筋的合力作用点至截面受压边缘的竖直距离为as，则h0＝h－as。当环境类别为一类（即在室内环境下）时：板的保护层厚度一般取15mm，若板钢筋直径为10mm，则板的截面有效高度：h0＝h－20mm（h为截面高度）梁保护层厚度常取25mm，若梁纵筋直径为20mm，则其截面有效高度：h0＝h－35mm（一排钢筋）

h0＝h－50～60mm（两排钢筋）2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力纵向受拉钢筋的总截面面积As（单位为mm2）配筋率r定义纵向受拉钢筋总截面面积As与正截面的有效面积A0＝bh0的比值（即r＝As/bh0，用百分数来计量），称为纵向受拉钢筋的配筋百分率（或简称配筋率）。意义纵向受拉钢筋的配筋率r在一定程度上标志了正截面上纵向受拉钢筋与混凝土之间的面积比率，它是决定受弯构件的受力性能的主要指标。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力§4.2受弯构件正截面受弯的受力全过程4.2.1适筋梁正截面受弯的三个受力阶段适筋梁正截面受弯承载力的试验影响钢筋混凝土正截面承载力的因素较多，如混凝土强度等级、截面尺寸及纵向钢筋配筋率等，但配筋率r对破坏特征的影响最明显。纵向受拉钢筋配筋率比较适当的梁叫“适筋梁”。若钢筋混凝土受弯构件具有足够的抗剪承载力，且各部位构造合理，它在外荷载作用下就将在弯矩较大处沿着某个与构件轴线垂直的有裂缝截面发生弯曲破坏，该截面即称为“正截面”。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验方案为排除剪力对正截面受弯的影响，常采用图4-4的试验方案→研究“纯弯区段”中的正截面受力特点。纯弯区段的概念如图4-4所示，试验用的钢筋混凝土简支梁采用两点对称加载方式，在忽略自重的情况下，两个对称集中力F之间的所有截面均只受纯弯矩而无剪力，称为“纯弯区段”。同时，该区段内的上部架立钢筋不拉通，两个集中力F之间的梁正截面为理想的单筋截面。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验梁示意图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力量测仪表主要在长度为l0/3的纯弯区段布置仪表，以观察加载后梁的受力全过程：首先，在浇注混凝土前，在钢筋表面贴电阻应变片，用以量测该处钢筋的拉应变。其次，在梁跨中附近的梁侧面，按适当间距从上到下设置标距较长（例如10～20cm）的电阻应变片，以测量该标距范围内混凝土沿纵向的平均应变值。此外，在跨中和支座上分别安装百/千分表或挠度计以量测跨中的挠度，还可以安装倾角仪来测量梁的转角。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验梁示意图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验方法荷载由零开始逐级加载直至梁正截面受弯破坏。每次加载后均记录下钢筋和不同高度处混凝土纤维的应变，梁的挠度及裂缝出现、开展情况（如裂缝的走向、宽度、延伸高度等）。试验结果记录试验需记录以下结果：各级荷载下受拉钢筋的平均应变、混凝土平均应变沿截面高度的分布情况图跨中截面的弯矩试验值M

0与钢筋应力sos的关系跨中截面的弯矩试验值M

0与曲率实验值f0（或挠度f

0）的关系2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验梁不同受力阶段的裂缝发展情况返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不同受力阶段试验梁混凝土平均应变沿梁高的分布返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验梁不同受力阶段的纵筋应力返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不同受力阶段试验梁的弯矩－曲率（M－f）关系返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力试验结果描述梁正截面平均应变分布规律大量的试验结果均表明，只要量测混凝土、钢筋应变的标距足够大（例如10～20cm，且不小于裂缝间距），则在从开始加载到弯曲破坏的整个过程中，梁在各级荷载下所测得的混凝土、受拉钢筋的平均应变沿截面高度的分布将一直符合线性规律。这表明，匀质弹性材料梁中采用的“平截面假定”在钢筋混凝土梁中仍然适用。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不同受力阶段试验梁混凝土平均应变沿梁高的分布返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力从加载到破坏的全过程可分为三个阶段第Ⅰ阶段——未开裂阶段截面弯矩较小，构件尚未开裂截面上的应力和应变也很小，混凝土和钢筋弹性工作压区压力由混凝土承担，拉区拉力由钢筋和混凝土承担压区混凝土应力图按直线变化、拉区的混凝土应力图形前期按直线变化，后期按曲线变化弯矩与钢筋应力（M0－s0s）、弯矩与曲率（M0－f0）或f0的关系接近直线第Ⅰ阶段末，即Ⅰa阶段：ect即将达到e0tu，M0即将达到M0cr（crack），截面处于即将开裂状态，此时的钢筋应力s0scr约20～30N/mm2Ⅰa作为抗裂度计算的依据2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋梁受弯第Ⅰ阶段的截面应变、应力分布返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋梁受弯应力分析中所采用的材料应力－应变曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不同受力阶段试验梁的弯矩－曲率（M－f）关系返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力第Ⅱ阶段——带裂缝工作阶段当弯矩达到开裂弯矩实验值M0cr，梁受拉边缘的应变ect达到混凝土的极限拉应变时，在梁抗拉能力最薄弱的某个部位，混凝土将首先开裂（裂缝与拉应力作用的方向垂直），梁即进入第Ⅱ阶段工作裂缝截面处，受拉区大部分混凝土退出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢筋尚未屈服随弯矩增加，新裂缝继续增加，裂缝逐步向上发展中和轴上升，压区减小，压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线截面刚度不断下降，变形增长速度加快，弯矩与曲率（M0－f0）呈曲线，截面曲率与挠度的增长加快（转折点1）第Ⅱ阶段作为使用阶段验算变形和裂缝宽度的依据受拉钢筋应力即将达到屈服强度f0y时，称为第Ⅱ阶段末，记为Ⅱa2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋梁受弯第Ⅱ阶段的截面应变、应力分布返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不同受力阶段试验梁的弯矩－曲率（M－f）关系返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力第Ⅲ阶段——钢筋开始屈服至截面破坏的破坏阶段受拉钢筋屈服后，正截面受弯进入第Ⅲ阶段钢筋应力s0s＝f0y基本不变，e

s持续增加；受拉区大部分混凝土退出工作→总拉力基本不变压区混凝土应力图形更为丰满，既有上升段，也有下降段中和轴继续上升，压区高度进一步减小，内力臂Z有所增加→弯矩略有增加受压边缘混凝土压应变ec迅速增至极限压应变ecu（0.003～0.004）→受压区混凝土压碎，正截面破坏由于钢筋屈服，截面曲率和梁的挠度急剧增加，弯矩－曲率（M0－f0）为接近水平的曲线（转折点2）弯矩增大至极限弯矩试验值时，称为第Ⅲ阶段末，记为Ⅲ

aⅢ

a为正截面受弯承载力计算的依据2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋梁受弯第Ⅲ阶段的截面应变、应力分布返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋梁受弯应力分析中所采用的材料应力－应变曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不同受力阶段试验梁的弯矩－曲率（M－f）关系返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力梁内正截面上的应力分布应力分布的推测方法根据测得的梁内混凝土纤维、钢筋的应变，借用混凝土棱柱体轴心受压的应力-应变曲线和钢筋受拉的应力-应变曲线，用“一一映射”的方法推断梁截面内的应力分布规律在试验梁各受力阶段的截面应力分析过程中，应满足三个基本条件拉区拉力与压区的压力平衡截面抵抗弯矩与外部作用弯矩平衡截面应变满足应变协调条件（平截面假定）2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力“一一映射”法确定梁内应力返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋梁正截面受弯三个受力阶段的主要特点受力阶段主要特点第Ⅰ阶段第Ⅱ阶段第Ⅲ阶段习称未开裂阶段带裂缝工作阶段破坏阶段外观特征没有裂缝，挠度很小有裂缝但不宽，挠度不大钢筋屈服，裂缝宽，挠度大M0－f0曲线特征大致成直线曲线接近水平的曲线混凝土应力图形受压区直线受压区直线，压区高度减小，混凝土压应力图形为上升段的曲线，应力峰值在受压区边缘受压区高度进一步减小，混凝土压应力图形为较丰满的曲线；后期为有上升段与下降段的曲线，应力峰值不在受压区边缘而在其内侧受拉区前期为直线,后期为有上升段的曲线,应力峰值不在受拉区边缘大部分退出工作绝大部分退出工作纵向受拉钢筋应力ss≤20～30N/mm2

20～30N/mm2＜ss＜f0yss=f

0y2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.2.2正截面受弯的三种破坏形态

试验结果已经证明，当梁纵向受拉钢筋配筋百分率r（配筋率r=As／bh0）改变时，不但梁的抗弯承载能力Mu会发生变化，而且梁在破坏阶段的受力性质也会明显不同，特别是配筋率r过大或过小时，梁的正截面受弯破坏特征将发生本质性的改变。根据配筋率r不同，受弯构件正截面受弯破坏形态有三种，即适筋破坏、超筋破坏、少筋破坏（图4－8、4－9）。与这三种破坏形态对应的梁分别称为适筋梁（rmin≤r≤rb）、超筋梁（r＞rb）、少筋梁（r＜rmin）。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力梁的三种破坏形态以及相应的M－f关系曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力适筋破坏形态适筋梁是指配筋率r处于适中范围的梁，即配筋率rmin≤r≤rb，其中rmin（minimum）和rb（balanced）分别为纵向受拉钢筋的最小配筋率和界限配筋率。适筋破坏的特点是：破坏始于受拉钢筋屈服，结束于混凝土达到极限压应变而被压碎。适筋破坏的主要形态是，最终破坏之前有明显的裂缝开展与挠度增长过程，因而破坏有预兆，表明适筋梁有一定延性。从适筋梁的M－f关系曲线看，在超过屈服弯矩My而进入破坏阶段之后，抗弯承载能力虽无明显增长，但其非弹性变形能力却有较大幅度增长，这种性质称为“延性”。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力梁的三种破坏形态以及相应的M－f关系曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力超筋破坏形态超筋梁是指配筋率r超过界限配筋率rb的梁，即r≥rb。超筋破坏的特点是：在受拉钢筋尚未到达屈服强度时，受压区边缘混凝土已先行达到极限压应变，而使受压区混凝土在钢筋屈服之前被压碎。超筋破坏的主要特征是梁破坏时钢筋仍处于弹性阶段，裂缝无明显开展过程，不能形成一根宽度较大的主裂缝，挠度较小，压区混凝土破坏无明显的预兆，故属“脆性破坏”。此外，超筋梁当受压区混凝土压碎时，受拉钢筋强度尚未充分利用，故造成了钢材的浪费。因此，实际工程设计中不允许采用超筋梁。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力梁的三种破坏形态以及相应的M－f关系曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力少筋破坏形态少筋梁是指配筋率r小于最小配筋率rmin的梁，即r≤rmin。在少筋梁中，纵向受拉钢筋配置过少。当混凝土因开裂而退出工作，并将所承担的拉力转嫁给钢筋时，钢筋应力迅速增长至屈服而进入强化阶段，甚至被拉断。少筋梁破坏过程中，受拉区混凝土一旦开裂，构件中惟一的一根裂缝将很快开展，并贯穿截面高度的大部分，构件严重向下挠曲。其特点是“一裂即坏”。由于破坏在很短的时间内突然发生，自然没有预兆，故也属“脆性破坏”。受压区混凝土强度未能充分发挥，设计中不允许采用。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力梁的三种破坏形态以及相应的M－f关系曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力配筋率r等于界限配筋率rb的梁将发生“界限破坏”（或称“平衡破坏”），即受拉钢筋应力达到屈服强度的同时，受压区边缘的混凝土恰好达到混凝土受弯时的极限压应变值。界限配筋率rb可由此算出。由于实际施工误差、材料强度的离散性，很难实现“界限破坏”。从理论上讲，由素混凝土梁的开裂弯矩Mcr与钢筋混凝土梁的极限弯矩Mu相等的条件可以给出最小配筋率rmin的取值。考虑到混凝土抗拉强度的离散性，以及收缩等因素的影响，实用的最小配筋率rmin往往是根据传统经验得出的。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力§4.3正截面受弯承载力计算原理4.3.1正截面承载力计算的基本假定四个基本假定我国国家标准《混凝土结构设计规范GB50010-2002》规定，各种混凝土构件（包括受弯构件在内）的正截面承载力应按下述四个基本假定进行计算：

截面应保持平面（平截面假定）指在外荷载作用下构件正截面应变符合“平均应变平截面假定”（简称平截面假定）。国内外大量实验，包括矩形、T形、I字形及环形截面的钢筋混凝土构件受力以后，在一定标距内（即跨越若干条裂缝后），钢筋和混凝土的变形是协调的。平截面假定是简化构件正截面（包括受弯构件、压弯构件、拉弯构件等）计算的一种重要手段。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力不考虑混凝土的抗拉强度

忽略中和轴以下混凝土的抗拉作用。因为拉区混凝土易于开裂而退出工作；中和轴附近的拉区混凝土虽未退出工作，但其应力较低且其合力作用点离中和轴很近，抗弯力矩力臂很小。混凝土受压的应力－应变（s－e）关系曲线按下述规定取用将较复杂的混凝土受压的应力-应变关系曲线进行简化。其中，对极限压应变值ecu的限制实际是给出了混凝土单轴受压时的破坏准则。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土受压的应力－应变关系试验曲线及其简化曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力纵向钢筋的应力取等于钢筋应变与其弹性模量的乘积，但其绝对值不应大于其相应的强度设计值。纵向受拉钢筋的极限拉应变取为0.01。

简化钢筋的应力-应变关系曲线。其中规定受拉钢筋es≤0.01也是给出了钢筋的破坏准则。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力钢筋受拉的应力－应变关系试验曲线及其简化曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.3.2受压区混凝土压应力的合力及其作用点计算原理在受弯构件极限弯矩Mu的计算中，仅需知道受压区混凝土的压应力合力C的大小和作用位置yc就足够了。其中，由于在受弯构件宽度方向上的截面应力分布图形相同，故求合力C大小的关键在于求解受压区混凝土应力分布图形的面积，作用位置yc即压应力面积的形心位置。以单筋矩形截面适筋梁的截面应力分布图形为例，其中受压区混凝土的压应力图形是由简化的混凝土受压应力－应变曲线（可称为理论应力图形），进行“一一映射”得到的。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力单筋矩形截面适筋梁的截面应力分布

及混凝土受压应力－应变简化曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力计算方法在受压区高度x上（y轴上）对压应力进行积分合力C到中和轴的距离为：式中，xc——中和轴高度（如图4－12所示），即受压区的理论高度2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土受压等效矩形应力图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力换元积分方法将对应力的积分转换为对混凝土压应变ec的积分利用平截面假定，按几何相似关系有：因此有：等式两边分别求导后得：式中为将变量y置换为变量ec的变量置换系数。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力代入前式，可得：式中，Ccu为混凝土受压的应力-应变理论曲线所包围的面积，表达如下：

ycu为混凝土受压的应力-应变曲线所包围的面积的形心到原点的距离，表达如下：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力单筋矩形截面适筋梁的截面应力分布

及混凝土受压应力－应变简化曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土受压应力－应变曲线系数对于各种确定的混凝土强度等级，根据《混凝土结构设计规范》给出的混凝土受压应力-应变曲线，可以分别积分计算只与混凝土强度等级相关的系数k1和k2，其值如表4-4所示。表4-4混凝土应力-应变曲线系数k1和k2强度等级≤C50C60C70C80k10.7970.7740.7460.713k20.5880.5980.6080.6192025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力系数k1和k2的物理意义系数k1用于计算面积，它满足关系式。其物理含义是，将混凝土受压应力-应变理论曲线等效为长ecu、宽k1fc的矩形。系数k2用于计算形心位置，即在混凝土受压应力-应变理论曲线中，曲线的形心至原点之间的距离为。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力单筋矩形截面适筋梁的截面应力分布

及混凝土受压应力－应变简化曲线返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.3.3等效矩形应力图形为了取得适合手算的简便方法，尚需对受压区混凝土的应力分布图形作进一步简化。其具体做法是，用图4－12所示的等效矩形应力图形来代替二次抛物线加矩形的受压区混凝土应力图。等效原则由于在计算正截面抗弯承载力（极限弯矩Mu）时，只需要知道合力C的大小和作用位置即可。因此，两个图形的等效条件是：混凝土受压区的压应力的合力C大小相等两图形中受压区合力C的作用点位置不变2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土受压等效矩形应力图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力等效结果由合力C大小相等可得：由合力C作用点不变可得：若令：则：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土受压等效矩形应力图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力系数a1、b1的含义与取值系数a1和b1仅与混凝土应力-应变曲线有关，称为等效矩形应力图形系数。其中系数b1是混凝土受压区高度x与中和轴高度xc的比值。将4.3.2节中系数k1、k2的数值带入上式可得系数a1、b1的取值如下表。表4-5混凝土受压区等效矩形应力图系数fcu≤C50C60C70C80α11.00.980.960.94β10.80.780.760.742025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力混凝土受压等效矩形应力图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.3.4适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率适筋破坏的特点是：破坏始于受拉钢筋屈服，结束于混凝土达到极限压应变而被压碎超筋破坏的特点是：在受拉钢筋尚未到达屈服强度时，受压区边缘混凝土已先行达到极限压应变，而使受压区混凝土在钢筋屈服之前被压碎界限破坏的特点是：受拉钢筋屈服的同时，混凝土达到极限压应变而被压碎界限配筋率的含义受拉钢筋屈服与受压混凝土边缘纤维的极限压应变同时达到的特定截面配筋率称为界限配筋率rb。界限配筋率即是适筋梁的最大配筋率2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力相对受压区高度x（亦称为配筋系数）等效矩形应力图的受压区高度x与截面有效高度h0的比值称为相对受压区高度x（=x／h0）。x也可按x=rfy／a1fc（由单筋矩形截面力平衡公式得到）进行计算。可见，x在r的基础上还考虑了两种材料力学性能的比值，故x较r更能全面反映受拉钢筋与混凝土有效截面面积的匹配关系。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力相对界限受压区高度xb（bound）界限破坏时的等效矩形应力图的受压区高度称为界限受压区高度xbxb与截面有效高度h0的比值称为相对界限受压区高度xb有明显屈服点钢筋xb的推导2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力相对界限受压区高度xb取值无明显屈服点钢筋的xbx＞xb为超筋梁，x＝xb界限配筋梁混凝土强度等级≤C50C60C70C80Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级钢筋级别HPB235HRB335HRB400HPB235HRB335HRB400HPB235HRB335HRB400HPB235HRB335HRB400xb0.6140.5500.5180.5940.5310.4990.5750.5120.4810.5550.4930.4632025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力界限配筋率rb界限破坏时的纵向受拉钢筋的配筋率称为界限配筋率rbrb的推导2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.3.5适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率rmin在少筋梁中，纵向受拉钢筋配置过少。当混凝土因开裂而退出工作，并将所承担的拉力转嫁给钢筋时，钢筋应力迅速增长至屈服而进入强化阶段，甚至被拉断。从理论上讲，由素混凝土梁的开裂弯矩Mcr与钢筋混凝土梁的极限弯矩Mu相等的条件可以给出最小配筋率rmin的取值。考虑到混凝土抗拉强度的离散性，以及收缩等因素的影响，实用的最小配筋率rmin往往是根据传统经验得出的。我国《混凝土结构设计规范》中最小配筋率rmin的取值2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力钢筋混凝土结构构件中纵向受力钢筋的最小配筋百分率（%）

GB50010-2002表9.5.1注：受压构件全部纵向钢筋最小配筋百分率，当采用HRB400级、RRB400级钢筋时，应按表中规定减小0.1；当混凝土强度等级为C60及以上时，应按表中规定增大0.1；偏心受拉构件中的受压钢筋，应按受压构件一侧纵向钢筋考虑；受压构件的全部纵向钢筋和一侧纵向钢筋的配筋率以及轴心受拉构件和小偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋率应按构件的全截面面积计算；受弯构件、大偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋率应按全截面面积扣除受压翼缘面积(b‘f－b)h'f后的截面面积计算；当钢筋沿构件截面周边布置时，“一侧纵向钢筋”系指沿受力方向两个对边中的一边布置的纵向钢筋。对卧置于地基上的混凝土板，板中受拉钢筋的最小配筋率可适当降低，但不应小于0.15%。受力类型最小配筋百分率受压构件全部纵向钢筋0.6一侧纵向钢筋0.2受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件一侧的受拉钢筋0.2和45ft/fy中的较大值2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力§4.4单筋矩形截面受弯构件

正截面受弯承载力计算4.4.1基本计算公式及适用条件计算简图图4－14单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力基本计算公式以适筋梁Ⅲ

a阶段受力为依据由力的平衡：由力矩的平衡：或注意：Mu为受弯承载力设计值，材料采用设计强度2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力计算公式的适用条件防止超筋破坏x≤xb

或

x≤xbh0或防止少筋破坏r≥rmin2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力经济配筋率截面设计问题的解答不是唯一的。对同样的外部条件，如果选择不同的截面尺寸，则构件需要的钢筋量也相应不同。为达到较好的经济效果（综合造价较低），设计时应尽可能使受弯构件的配筋率处于下述经济配筋率范围内（当r在经济配筋率附近波动时，总造价变化很小）板的经济配筋率约为0.3%～0.8%；单筋矩形梁的经济配筋率约为0.6%～1.5%；T形截面梁的经济配筋率约为0.9%～1.8%。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力控制截面结构设计时，一般只需对控制截面进行受弯承载力计算控制截面是对构件配筋量起控制作用的截面对等截面构件，其控制截面是指构件中设计弯矩最大的一个或几个截面对变截面构件，其控制截面尚应考虑截面尺寸变化对承载力的影响2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.4.2正截面承载力计算的两类问题截面设计截面复核2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力截面设计已知：M、混凝土及钢筋强度等级、构件截面尺寸（b及h）等问题：所需的纵向受拉钢筋截面面积As设计方法：两个独立方程，两个未知数，可解。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力求解步骤根据环境类别、混凝土强度等级，查表得混凝土保护层最小厚度c，并假定as，以计算截面有效高度h0（h0＝h－as）。按混凝土强度等级确定a1（详表4－5）

，根据基本公式解二次联立方程求得As和x。表4-5混凝土受压区等效矩形应力图系数验算防止超筋的适用条件。若不满足，则需加大截面尺寸或改用双筋截面，并重复步骤1～3。fcu≤C50C60C70C80α11.00.980.960.94β10.80.780.760.742025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力按求出的As值选择纵向受拉钢筋的直径、根数。实际选配的钢筋截面面积与计算所得As值不应相差过大，可按±5%控制。以实际选配的钢筋的截面面积来验算防止少筋的适用条件，如果不满足（即r＜rmin），则表明构件截面尺寸过大，此时应按rmin配筋、。

返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力截面复核已知：M、混凝土及钢筋强度等级、构件截面尺寸b及h、纵向钢筋截面面积As等问题：截面抵抗弯矩Mu，或

M≤Mu

？复核方法：当所需复核的构件截面c值已知，则按实际as计算；当c值不详，则可按截面设计的方法确定c及as。按混凝土强度等级确定a1，根据力的平衡公式求得受压区高度x。由x（或x）及r验算是否满足基本公式的两个适用条件。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力满足适用条件后，将x带入弯矩平衡公式，求得Mu。当M≤Mu时，截面受弯承载力满足要求；否则为不安全。应当注意：无论是单筋、双筋、T形截面受弯构件或者是第六章的偏心受压构件、第七章的偏心受拉压构件，凡是正截面承载力复核题，都必须首先求出混凝土受压区高度x值。这是关键的一步。

返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.4.3正截面受弯承载力的计算系数与计算方法计算系数的意义

求As或x均需要解二次联立方程，未免过于繁复并降低工作效率。为此，通常采用下述计算系数来进行设计。计算系数的公式推导

将基本公式转换如下：

令：，则：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力令：，则：正截面受弯承载力计算公式为：三个系数之间的换算关系为：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力计算系数as、gs的物理意义系数as物称为“截面抵抗矩系数”匀质弹性材料矩形梁中的截面抵抗矩系数是一个定值1/6钢筋混凝土矩形梁中的截面抵抗矩系数as随x或r而变化。x或r越大，as也越大，截面抗弯承载力就越高。系数gs称为“内力臂系数”gsh0即为截面内力臂Z。gs随x而变化。x越大，gs越小。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力采用计算系数as、gs的截面设计方法由于系数as、gs与x之间互为函数关系，故也可将其制成适用于适筋梁受弯构件正截面的计算系数表（参见有关设计手册），以便直接查用，使计算工作更为简化。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力影响抗弯承载能力的各主要因素的分析从上述基本公式可以知影响正截面抗弯承载力的主要因素有b、h0、fc、fy和As等。结构设计时应注意区分这些因素对受弯承载力的不同影响程度。截面尺寸（截面宽度b和截面高度h）从截面抗弯承载力表达式可知，截面高度h对Mu的影响明显高于宽度b（后者影响不过10％以内），即增大截面高度h是提高抗弯承载力的最有效措施。混凝土轴心抗压强度fc与截面宽度b一样，提高fc对截面抗弯承载力的影响不大。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力纵向受拉钢筋的抗拉设计强度fy虽然提高fy对截面抗弯承载力效果十分明显，但因钢筋的强度等级的选择余地小（一般采用HRB335、HRB400级钢筋），故不能将其作为提高截面抗弯承载力的主要措施。纵向受拉钢筋的截面面积As与提高fy的作用类似，提高As对截面抗弯承载力的效果都很明显。因此，增大As是提高截面抗弯承载力的主要措施之一（适筋梁范围）。综上所述，实际工程中主要通过改变h和As来调整受弯构件的正截面抗弯承载能力。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力§4.5双筋矩形截面受弯构件

正截面受弯承载力计算4.5.1概述在单筋矩形截面梁中，纵向钢筋配置在受拉区，而在受压区只配置架立筋在计算中不予考虑，这是单筋矩形截面梁的基本特点。双筋矩形截面是指不仅在受拉区配筋，而且还在受压区配置纵筋来协同混凝土承受压力。此时，称双筋截面梁。当单筋矩矩形截面无法满足x≤xb，而提高梁截面高度又受到限制时；在不同荷载组合下，梁截面需按异号弯矩进行设计；需要利用纵向受压钢筋A‘s提高截面的延性、抗裂性、刚度等。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.5.2计算公式与适用条件纵向受压钢筋的屈服条件及抗压强度取值方法双筋矩形截面受弯构件与单筋截面的受力情况和破坏形态基本相似，只要保证x≤xb,双筋梁仍为适筋梁，即破坏始自受拉钢筋屈服，终于受压区混凝土压碎。该截面的承载力计算仍以第Ⅲa阶段的应力应变状态为依据，故同样采用单筋截面的基本假定。与单筋矩形截面受弯构件相比，在双筋截面中唯一的新问题是如何判定受压钢筋是否屈服，以及屈服后的抗压强度（f'y）如何取值。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力纵向受压钢筋受压屈服的条件

根据平截面假定，受压区混凝土压碎时，对于Ⅰ～Ⅲ级受压钢筋A‘s（

fy≤400N/mm2）达到受压屈服的条件是：

x≥2a’s

表明当混凝土压碎时，使用更高强钢筋不能发挥出其受压强度。与纵向受压钢筋有关的构造措施如果计算中考虑受压钢筋的作用，则应将箍筋做成封闭式，且其间距不应大于15d（d为受压钢筋最小直径）。防止纵向受压钢筋可能发生纵向弯曲（压屈）而向外凸出，以保证钢筋受压强度的发挥。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力计算公式及适用条件计算简图2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力基本计算公式力的平衡条件：对受拉钢筋合力点取矩的力矩平衡条件：适用条件双筋截面中的受拉钢筋通常面积较大，一般不需对最小配筋率进行验算。x≤xb

或

x≤xbh0

x≥2a’s（保证常用的Ⅰ~Ⅲ级钢筋受压达到屈服）当不满足条件⑵即解出的受压区高度x＜2a's时，表明此时A's不能达到其抗压强度设计值f

'y。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力

x＜2a's时的计算公式严格说来，基本公式中的f‘y应表示为s’s，于是需求出s‘s值。为简化计算，通常可近似取x＝2a’s，即混凝土压应力合力C作用在受压钢筋合力点处，这样处理求解As的误差很小。因此，正截面受弯承载力可近似按下式进行计算：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力4.5.3计算方法截面设计

根据A's是否已知而分为两种情况：情况一已知：M、混凝土及钢筋强度等级、构件截面尺寸（b及h）等问题：求所需的纵向钢筋截面面积As、A's设计方法：两个基本方程，三个未知数x、A's

、As，需补充一个条件才能求解补充条件：（A's＋As）之和最小→x＝xb2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力求解步骤查表确定混凝土保护层最小厚度c，假定as和a's，计算截面有效高度h0（h0＝h－as）取x＝xb后，则受压区高度为x＝xbh0

，将此x代入弯矩平衡公式，即可直接求得A's

再将x和A's代入力的平衡公式，即可求得As

此时，已经满足：x≥xb，一般情况下可以满足x≥2a’s

。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力情况二已知：M、A's

、混凝土及钢筋强度等级、构件截面尺寸（b及h）等问题：所需的纵向钢筋截面面积As设计方法：两个基本方程，两个未知数x、As思路：应充分发挥A's的强度若x＜2a's，则应选择相应计算公式：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力求解步骤：确定混凝土保护层最小厚度c，假定as和a‘s，计算截面有效高度h0（h0＝h－as），按混凝土强度等级确定a1，根据基本公式，解二次联立方程（也经常采用后面介绍的实用方法）求得As和x，验算适用条件1，若x＞xb，表明原有的A‘s过小，可按A’s未知的第一种情况重新设计，验算适用条件2，若x＜2a‘s，则近似地按下式计算As，按求出的As值选择纵向受拉钢筋的直径、根数。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力实用求解As和x的方法为方便计算，工程中常将双筋截面的极限弯矩Mu分解为Mu1和Mu2两部分。具体过程如下：如图4－19所示，Mu2是由受压钢筋A's的压力和相应的另一部分受拉钢筋As2的拉力所形成的抵抗弯矩。与之相应的公式为：如图4－19所示，Mu1是由受压区混凝土的压力和相应部分的受拉钢筋As1的拉力所形成的抵抗弯矩，它相当于单筋矩形截面梁的情况。据此可写出相应的公式：2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力图4－19双筋梁计算简图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力实际计算时，首先求得As2以及Mu2，同时求得Mu1＝Mu1－

Mu2用单筋矩形截面梁的方法求得与Mu1相应的As1（以及x）最后As＝As1+As2返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力截面复核已知：M、混凝土及钢筋强度等级、构件截面尺寸b及h、纵向钢筋截面面积As和A's等问题：求截面抵抗弯矩Mu，或

M≤Mu

？复核步骤：当所需复核的构件截面c值已知，则按实际as计算；当c值不详，则可按截面设计的方法确定c及as

按混凝土强度等级确定a1，根据力的平衡公式直接求得受压区高度x由x得到x，同时验算基本公式的两个适用条件若满足适用条件，则将x代入弯矩平衡公式，求得Mu2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力当M≤Mu时，截面受弯承载力满足要求；否则为不安全若验算不满足第1个适用条件（即x＞xb），可近似取x＝xbh0，并代入弯矩平衡公式，求得Mu若验算不满足第2个适用条件（即x＜2a's），可近似按x＝2a's计算Mu2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力§4.6T形截面受弯构件

正截面受弯承载力计算4.6.1概述T形截面的形成为了减轻构件自重，节约混凝土，可将受弯构件受拉区混凝土的一部分去掉，形成T形截面，如图4－20所示。T形截面由梁肋（b×h）及挑出翼缘（（b'f－b）×h'）两部分所组成。T形截面的形式T形截面梁在工程中应用广泛。最常见的是楼板与梁一起浇注形成的T形截面梁。此外还有T形截面吊车梁、T形檩条等。箱形、工字形、槽形、空心板等截面也都可按T形截面设计。若翼缘位于受拉区（如倒T形截面梁、现浇连续梁的支座截面等），则这时应按梁宽为b（肋宽）的矩形截面（按受压区尺寸决定梁宽）进行计算。同理，工字形截面按Ｔ形截面计算。2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力图4－20T形截面示意图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力图4－21连续梁跨中截面与支座截面返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力T形截面的有效翼缘宽度b'f在T形截面受弯构件的计算中，首先需解决的问题是确定翼缘计算宽度b'f如图4－22所示，Ｔ形截面梁的翼缘宽度范围内的受力是不均匀的，离肋部越远，受力越小。实际工程中为了简化计算，通常采用与实际分布情况等效的翼缘宽度，称为翼缘的计算宽度或有效宽度（用b'f表示）在这个宽度范围内，压应力取为均匀分布（如图4－22），超过此宽度范围的翼缘则不考虑。《混凝土结构设计规范》给出了各种情况下的翼缘计算宽度b'f的取值方法，具体如表4－7所列（计算T形梁翼缘宽度b'f时应取表中有关各项中的最小值）2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力图4－22T形截面梁的实际受压区应力分布以及计算应力分布图返回2025年1月4日第4章受弯构件的正截面受弯承载力T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度b'f

GB50010－2002表7.2.3注：表中b为腹板宽度；如肋形梁在梁跨内设有间距小于纵肋间距的横肋时，则可不遵守表列情况3的规定；对加腋的T形、I形和倒L形截面，当受压区加腋的高度hh≥h'