第三章圆33垂径定理课件北师大版九年级数学下册

北师版·九年级下册3

垂径定理问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.37.4m7.2m

探究一

如图，AB

是⊙O

的一条弦，作直径

CD，使CD⊥AB，垂足为

M.1垂径定理及其推论ABOCDM(1)右图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条.连接

OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点

A和点

B关于

CD对称.ABOCDM合作证明圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.ABOCDM证明：连接

OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴∠AOD=180°－∠AOC，

∠BOD=180°－∠BOC.∴∠AOD=∠BOD.CDABMO∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，

点A与点B重合，CD为⊙O的直径CD⊥AB

条件CDABMO结论AM=BMABOCDM垂径定理垂直于弦的直径（半径）平分这条弦，并且平分弦所对的(两条）弧.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)推导格式(几何语言）：你能用几何语言表示吗？定义总结∴AM=BM，

，.(结论)判断下列图形，能否使用垂径定理？CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=

cm.·OABE解析：连接

OA.∴AB=2AE=16(cm).16

∵OE⊥AB，典例精析想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直.是不是，因为

AB，CD都不是直径.OABCABOEABDCOEABOCDE一条直线：⑤平分弦所对的劣弧①过圆心

②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧思考探索

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？垂径定理ABOCDM探究二

如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB

的直径CD，交AB

于点M

．ABOCDM(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMOCD为⊙O的直径条件CD⊥ABAM=BM结论CD⊥ABABOCDM解：(1)连接

AO、BO，则

AO=BO.又∵AM=BM，OM=OM∴∠AMO=∠BMO=90°.∴

CD⊥AB.∴△AOM≌△BOM(SSS).证明举例由垂径定理可得∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 归纳总结垂径定理的逆定理

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.·OABCD“不是直径”这个条件能去掉吗？

如果不能，请举出反例.圆的两条直径是互相平分的.特别说明：CDABMO几何语言∵CD为⊙O的直径，AM=BM，∴CD⊥AB，CDABMO还有如下正确结论：CD为直径CD⊥AB于MAM=BM垂径定理的本质是：满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所

对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所

对的劣弧知二推三根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.随堂练习1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A.CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MDD2.如图，AB

是⊙O

的弦，OC⊥AB

于C.若AB=，OC=1，则半径OB

的长为______.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.勾股定理121.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圆心到

AB

的距离为

3cm，则此圆的半径为

cm.52.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，则弦

MN和

EF之间的距离为

cm.14或23.圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为

1m

的圆，如图所示，若水面宽

AB

=

0.8

m，求水的最大深度.AB0.8解：如图，作

OC⊥AB于点

C，连接

OA，∴∠ACO

=

90°，AC

=

AB.AB0.8∴水深的最大深度为0.8m.∴0.3+0.5=0.8(m).在Rt△AOC中，根据勾股定理，得∵直径为1m，∴OA=0.5m.∵AB

=

0.8

m，∴AC

=

0.4

m.1.

如图

a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为

7cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.C图b

DCBOADOAB图a2或

12

指弦中点到弦所对的弧中点的距离CD练一练

例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧

CD，点

O

是弧

CD

的圆心)，其中

CD=600m，E

为弧

CD

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接

OC.●

OCDEF┗设这段弯路的半径为

Rm,则

OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得

R=545.∴这段弯路的半径约为

545m.ABCDOhrd赵州桥中，弦长

a，弦心距

d，弓形高

h，半径

r

之间有以下关系：指圆心

O

到弦的距离

d+h=r数量关系总结垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形回顾导入解得R≈27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为27.3m.∴R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如图，过桥拱所在圆的圆心

O作

AB的垂线，交

于点

C，交弦

AB于点

D，则

CD=7.23.由垂径定理，得

AD=AB=18.5，设⊙O的半径为

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得4.如图所示，OC

交AB

于点D，AD=DB，AB=6cm，CD=1cm，求⊙O

的半径长.解：设圆的半径为R，则OB=OC=R，∵AD=DB，∴OC⊥AB，根据勾股定理，得32+（R–1）2=R2，解得R=5cm.即⊙O

的半径长为5cm.5.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

圆心在平行弦外圆心在其中一条弦上圆心在平行弦内若⊙O中弦AB∥CD.那么吗？为什么？MN解：

理由是：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则

，

（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）.垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造

Rt△

利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形圆心到弦的距离课堂小结CDABMO课后作业习题3.31、2、3、41.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.【教材P76第1题】知识技能解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.∵CD为直径，且CD⊥AB,∴寸.在Rt△AOE中，∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，解得r=13.∴CD=26寸.2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.【教材P76第2题】解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C，则.在Rt△ACO中，故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6.3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？【教材P77第3题】