模考中的欧拉函数题（解析版）

一、单选题112024·山东·二模）欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个*，Tn是数列{bn}的前n项和，若Tn<M恒成立，则M的最小值【答案】A【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题【分析】由欧拉函数的定义可求出由错位相减法求出Tn，可得Tn<，即M≥,即可求出M的最小值.【详解】因为3为质数，在不超过3n的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为3n-1，n-3n-1=2n-1*)，23T,试卷第2页，共8页因为>0，所以在n∈N*在单调递增，所以Tn<M恒成立，所以M≥,所以M的最小值为.故选：A.二、多选题222024·湖北·模拟预测）对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ(9)=6（1,2,4,5,7,8与9互质则()A．若n为质数，则φ(n)=n-1B．数列{φ(n)}单调递增C．数列的最大值为1D．数列{φ(3n)}为等比数列【答案】ACD【知识点】判断数列的增减性、由定义判定等比数列、函数新定义【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可.【详解】因为n为质数，故小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目为n-1，此时φ(n)=n-1，故A正确.因为φ(6)=2,φ(5)=4，所以φ(6)<φ(5)，故数列{φ(n)}不是单调递增，故B错误.小于等于2n的正整数中与2n互质的数为1,3,5,…,2n-1，数目为2n-2n-1=2n-1，所以在n∈N*时递减，故当n=1时，数列的最大值为1，故C正确.小于等于3n的正整数中与3n互质的数的数为1,2,4,5,…,3n-2,3n-1，数目为3n-3n-1=2.3n-1，故=2.3n-1，而故数列{φ(3n)}为等比数列，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答.332024·全国·模拟预测）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，φ(n)是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：φ(5)=4，A.φ(n)的定义域为N*，其值域也是N*B.φ(n)在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在n0∈N*，使得方程φ(n)=n0有D.φ(n)≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立【答案】ACD【知识点】函数新定义、素数和合数【分析】根据欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系进行判断选项.【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为N*，其值域也是N*，所以A正确；对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如φ(5)=4,φ(6)=2，所以B错误;对于C，由于φ(n)的值域为N*，所以不存在n0，使方程φ(n)=n0有无数解,故C正确;对于D，因为n的素因数都是大于1所以φ(n)≤n-1，当且仅当n时素数时等号成立，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.三、填空题42024高三下·全国·专题练习）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：④φ(2n+2)>φ(2n)，n是【答案】①③【知识点】求函数值、函数新定义试卷第4页，共8页【分析】利用欧拉函数定义求解判断；【详解】∵小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4，小于或等于10的正整数中与10互质的正整数为1，3，7，9，∵小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，故答案为：①③552024·贵州黔南·二模）欧拉函数φ(n)表示不大于正整数n且与n互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知φ,其中p1，p2，ⅆ,pr是n的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如φ(100)=10=40.若数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，3【答案】2100【知识点】函数新定义、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数φ(n)计算即可得解.【详解】由题意可得an=3×2n-1，则φ故答案为：2100.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分n=1及n≥2进行讨论，结合题中公式求{φ(an)}的通项公式.62024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数φ(n)就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果m,n互素，则φ(mn)=φ(m)φ(n).请计算数列{φ(n)的前n项和Sn=.,n【知识点】函数新定义、错位相减法求和【分析】根据题意得到φ(6n)=2×6n-1，从而有φ(n)=×(|(,)n-1，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】由欧拉函数的定义知：若m为素数，则φ(m)=m-1，n-1①,Sn2n②,n，整理得到Sn=-,n.772024·湖北武汉·二模）欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数例如：φ(3)=2，φ(=φn)，则bn的最大值为.试卷第6页，共8页【答案】4【知识点】判断数列的增减性、函数新定义、确定数列中的最大（小）项【分析】由欧拉函数定义，确定1~8中与8互质的数的个数求φ(8)，且φ(2n)=2n-1，应用作差法判断bn的单调性，即可求最大值.在1~2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n-1个，即φ(2n)=2n-1，所以，则bn+1-bn=所以bn的最大值为故答案为：4，四、解答题82024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).n(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求φ(3)，φ(pq)与φ（p）和φ（q）的关系；n(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q；②计算n=pq，欧拉函数φ(n)；③求正整数k，使得kq除以φ(n)的余数是1；④其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥.已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列{bn}，数列{cn}满足80cn=bn+47，求数列{tancn.tancn+1}的前n项和Tn.【答案】(1)φ(3)=2,φ(9)=6,φ(7)(2)φ(3n)=2.3n-1，φ(pq)=φ(p).φ(q)；【知识点】裂项相消法求和、数列新定义、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求值.（2）利用欧拉函数的定义求出φ(3n),φ(p),φ(q)，进而分析计算φ(pq).（3）根据给定信息求出bn,cn，再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得.【详解】（1）由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则φ（2）在不大于3n的正整数中，只有3的倍数不与3n互素，而3的倍数有3n-1个，因此φ(3n)=3n-3n-1=2.3n-1.由p，q是两个不同的素数，得φ(p)=p-1,φ(q)=q-1，在不超过pq-1的正整数中，p的倍数有q-1个，q的倍数有p-1个，于是φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)，所以φ(pq)=φ(p).φ(q).（3）计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)，则n=187,q=17，从而p