第6讲有理数的混合运算

第6讲有理数的混合运算一、学习目标1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律；2．使学生能够熟练地按有理数运算顺序进行加，减，乘，除，乘方混合运算；3.在运算过程中，能灵活运用运算律和运算中的符号问题.考情分析有理数的混合运算是实数混合运算的基础,学好有理数的混合运算法则,对于后面学习实数的混合运算至关重要.中考中常常结合算术平方根、绝对值、零指数、三角函数值等形式，要求对各种表现形式理解准确，依据相应的概念、法则进行计算，主要考查三步以内的混合运算.二、基础知识·轻松学1.先后有别——有理数混合运算的运算顺序规定如下：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.【精讲1】先算乘方再算乘除最后算加减，在数学中把数学基本运算分成三个级别，除了现在学习的5种运算外，还有以后要学习的开方运算，初中阶段我们就学习这6种运算，他们的关系如下：乘方开方→第三级运算乘法除法→第二级运算加法减法→第一级运算【精讲2】如果一个算式中，只有同一级别的运算应该按照从左到右的顺序进行；如果一个算式中，存在不同级别的运算则较高级的运算优先于较低级别的运算.即乘方运算优先于乘法和除法，乘法和除法优先于加法和减法.如果有括号，必须先计算括号里面的运算，然后在计算括号外面的计算.2.快捷方式——有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac【精讲】为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜券.三、重难疑点·轻松破1.先后有别——有理数混合运算的运算顺序熟悉运算顺序应由高级到低级的顺序,计算时要认真审题，确定正确的运算律和运算顺序，选择简便途径，要按步骤谨慎进行，不要急于求成，算出结果后，最后还要认真演算，更不能在违反运算顺序的情况下强行“简便”计算.发现错误要认真分析，找出原因，切实改正.例1计算-32eq\f(16,25)÷(-8×4)+2.52+(eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)－eq\f(3,4)－eq\f(11,12))×24解析：-32eq\f(16,25)÷(-8×4)+2.52+(eq\f(1,2)+eq\f(2,3)-eq\f(3,4)-eq\f(11,12))×24=(-32-eq\f(16,25))×(-)+6.25+12+16-18-22=1+eq\f(1,50)+6.25-12=1.02+6.25-12=-4.73.点评：有理数的混合运算要注意三点：①小括号先算；②进行分数的乘除运算，根据具体的算式特征，可以把带分数化为假分数，也可以把带分数拆成整数与真分数，但是除法要转化为乘法；③同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要.变式1.计算：［53－4×(－5)2－(－1)10］÷(－24－24+24).2.快捷方式——有理数的运算律的灵活运用在小学里已学过乘法的交换律、乘法的结合律和分配律，这些知识为有理数乘法运算律的学习作了很好的铺垫，应用有理数乘法的运算律进行运算，可以简便运算，但它仍旧属于有理数的乘法运算，因此应遵循有理数的乘法运算的步骤：确定积的符号；把绝对值相乘.例2计算：解析：原式===8―3=5点评：本例按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式中的数字特征，可发现首尾两数互为倒数，根据这一迹像，抓住算式的结构特点及数与数之间的关系，利用运算定律，适当改变运算顺序，可得如上新颖解法.由上运算可知，把原算式根据运算法则统一为乘法，再次运用乘法交换律，利用倒数关系，使问题进一步简化，最后又根据数学特征，运用乘法分配律，顺利达到目的.本例在求解过程中，不断创新，寻求新的解法，这样既把所学知识用活，用巧，又培养自己的创新能力，提高数学素养，必须有这种学习精神，才能在素质教育的大道上不断进取!变式2：计算:－42－3×22×(－1)÷(―1).例3计算：解析：原式==.也可这样来算：原式===.对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算.如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法.有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算.在运算中，低级运算把高级运算分成若干段.一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和.(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的.在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算.(3)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算.(4)绝对值符号分段法.绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算.变式3：计算：.3.注意分清运算符号与性质符号在进行有理数的混合运算时，时常出现“－”或“+”号的问题.在一个运算式中“－”号有两重意义：一是表示性质，如负数、相反数；二是运算符号，表示减去，所以要根据具体情况去正确理解.“+”号也是一样.因此在具体运算要特别注意区别运算符号与性质符号，尤其是“－”问题，千万不能大意.例4计算：［(－3)3－(－5)3］÷［(－3)－(－5)］.解析:［(－3)3－(－5)3］÷［(－3)－(－5)］＝［－27－(－125)］÷［(－3)－(－5)］＝［－27+125］÷［－3+5］＝98÷2＝49.点评:本题一眼看上去都是“－”号，所以一定要依据运算顺序逐一解决每一个“－”号，这里的(－3)3与(－5)3都是“－”的奇次方，结果都是“－”的.再看每个中括号中的后面一项的前面又都是减号，所以可以利用加法的法则，使之转化为加法运算.变式4计算：－2｛－1－［－18(1－2)－10］｝.4.有理数的运算技巧有些有理数的计算题可以用不同的方法算出，若要选取较为简便的算法，那就要注意观察和掌握一点技巧了.(1)注意看有没有含零的因子例5计算：.解析：∵，∴.点评：此题要注意看有没有含零的因子，若先计算，就耗时费力了.(2)注意看能不能凑整例6计算：.解析：原式==100＋80－44=136.点评：此题要注意看有没有能凑成整十、整百、整千、整万等的一部分和，若有，这样加起来就容易些.(3)注意看能否拆项相消例7计算：.解析：原式===.点评：本题含有省略号，若不注意观察，拆项相消，按一般步骤去计算，将十分繁琐.(4)注意看有没有相约的例8计算：.解析：.点评：此题把其中的小数化成分数后，要注意看分子分母相互间能否有约分的.变式5.计算:2+4+6+…+2000四、课时作业·轻松练A.基础题组1.有三个有理数，其和为正，积为负数，则这三个数中A.没有一个正数B.有一个正数C.有两个正数D.有三个正数2.下列各数中，最大的是A.（-3-2）2B.（-3）×（-2）2C.（-3）2÷（-2）2D.-32×（）23.下列各式结果等于0的是（）A.12+12B.（-1）2+12C．＋（-1）2D．（-1）４－１２4．下列计算结果为正的是A．2-（-3）B．（-2）3＋5C．－（-3）4D．（-5）×（-1）×（-6）5．下列各式计算正确的是（）A．-7-2×5＝（-7-2）×5B．3÷×＝3÷１＝3C．3÷÷＝3÷（÷）D．－（－32）＝96.计算-3-32+32÷×3的结果是（）A.-3B.87C.15D.69 7.计算：（1）1--（）.（2）-22+（-2）3.（3）（-2）2+（-22）.（4）-52-52.B.提升题组8.若m与2互为相反数，n与互为倒数，则mn=____.9.计算：（1）-22-（-3）2×（-1）2-（-1）3.（2）.（3）.(4)1eq\f(1,2)÷eq\f(3,4)÷(-2)+eq\f(1,2)÷[(-eq\f(1,2))2-(1eq\f(1,2))2]×|-9eq\f(1,2)|-0.752.10.设a△b=a2﹣2b，则（﹣2）△（3△2）的值为．11.37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159=12.阅读下列材料，回答问题材料1：乘积是1的两个数互为倒数，即与互为倒数，也就是说，a÷b=x,则b÷a=.材料2：乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得积相加，即（a+b）c=ac+bc.利用上述材料，巧解下题：（）÷（-+-）.中考试题初体验1.（2012广东佛山）与2÷3÷4运算结果相同的是（） A． 2÷3÷4 B． 2÷（3×4） C． 2÷（4÷3） D． 3÷2÷42.（2013湖北宜昌）计算：（﹣20）×（﹣）+．3.（2013湖南常德）计算；（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（）﹣2．五我的错题本参考答案变式练习变式1.解析:［53－4×(－5)2－(－1)10］÷(－24－24+24)＝［125－4×25－1］÷(－24)＝24÷(－24)＝－1.变式2：解析:－42－3×22×(－1)÷(―1)＝－16－12×(－1)×(―)＝－16－(4―12)×(―)＝－16+(3―9)＝－22.变式3：解原式===.变式4解析:－2｛－1－［－18(1－2)－10］｝＝－2｛－1－［－18(－)－10］｝＝－2｛－1－［－24+39－10］｝＝－2｛－1－［+5］｝＝－2｛－6｝＝12.变式5.解析:令S=2十4+…+1998+2000，反序写出，有S=2000+1998+…+4+2，两式相加，有2S=(2+2000)+(4+1998)+…+(1998+4)+(2000+2)=2002+2002+…+2002(l000个2002)=2002×1000=2002000,S=1001000课时作业·轻松练A.基础题组1.C.解析：积为负数，说明有奇数个负数，和为正，说明有正数，所以选C.2.A.解析：A.（-3-2）2=（-5）2=25.B.（-3）×（-2）2=（-3）×4=-12C.（-3）2÷（-2）2=9÷4=D.-32×（）2=-9×=，故最大的是A.3.D.解析：（-1）４－１２=1-1=0，故选D.4.A.解析：A．2-（-3）=2+3=5；B．（-2）３＋5=-8+5=-3C．－（-3）４=-81D．（-5）×（-1）×（-6）=-30，故选A．5．D．解析：A．-7-2×5＝-7-10，错误；B．3÷×＝3××，错误；C．3÷÷＝3××，错误；D．－（－32）＝9，正确.6.D．解析：-3-32+32÷×3=-3-9+9×3×3=-12+81=697.解析：（1）1--（）=1-+=（2）-22+（-2）3=-4-8=-12（3）（-2）2+（-22）=4-4=0（4）-52-52=-25-25=-50B.提升题组8.-8解析：m与2互为相反数，所以m=-2,n与互为倒数,所以n=3，所以mn=（-2）3=-8.9.解析：（1）原式=-4-9×1-（-1）=-4-9+1=-12；（2））原式====（3））原式==(4原式=eq\f(3,2)×eq\f(4,3)×（-eq\f(1,2)）+eq\f(1,2)÷（eq\f(1,4)-eq\f(9,4)）×eq\f(19,2)-eq\f(9,16)=-1+eq\f(1,2)×（-eq\f(1,2)）×eq\f(19,2)-eq\f(9,16)=-1-eq\f(19,8)-eq\f(9,16)=-1-2-eq\f(6,16)-eq\f(9,16)=-3eq\f(15,16)10.﹣6．解析：∵a△b=a2﹣2b，∴3△2=32﹣2×2=5，∴（﹣2）△（3△4）=（﹣2）△5=（﹣2）2﹣2×5=﹣6．11解析：原式=37.9×0.0038+0.0121×37.9+6.21×0.159，=37.9×（0.0038+0.0121）+6.21×0.159，=37.9×0.0159+6