2024年陕西省西安交大附中少年班自主招生数学试卷

第1页（共1页）2024年陕西省西安交大附中少年班自主招生数学试卷1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，则＝．2．已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°．3．阳光与水平面成60°角，皮球在阳光下的影长为，则这个皮球的直径为cm．4．如图，△ABC，△DEF是等边三角形，求△CDF的内切圆的半径．5．如图所示，每个方格均为正方形，线段AB与CD交于点P6．如图，正三角形的边长为1，点C与原点重合，求点B在数轴上对应的数字．7．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？8．已知，一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P为y2上一动点，求P到y1的距离的最小值．9．已知整数x，y满足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．10．已知，求的值．11．如图，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形KLCM，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．12．已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+⋯，按照此规律，若m3分裂后，有一个奇数是2023，求m的值．13．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，3b+n，3c+n，3e+n的平均数和方差．14．平面直角坐标系中，已知直线AB：，过A作AC垂直于AB，求直线BC的解析式．15．球队两两比赛，主场客场各一场，共42场16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下两种变换：①f（a，b）＝（b，a）（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）（5，﹣6））＝．17．我们用min表示两个数中的较小数，如min{5，3}＝32﹣x，2x）的最大值．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，求++…+的值．19．假设队伍中共有2人现列队需要，每10人中走出一个人，当x除以10的余数大于5时，则共走出多少人（）A． B． C． D．20．如图，C为半圆上一点，AB为直径，，沿BD翻折交BC于E，若E为BC中点，求

2024年陕西省西安交大附中少年班自主招生数学试卷参考答案与试题解析题号19答案C1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，则＝0．【解答】解：∵a+b+c+d＝0，∴b+c+d＝﹣a，a+c+d＝﹣b，a+b+c＝﹣d，∴＝+++＝﹣（），∵abcd＞0，∴要么都是正数，要么两负两正，∵a+b+c+d＝6，∴a、b、c、d中两正两负，不妨设a＞0，b＞0，d＜7，﹣（）＝﹣（1+1﹣8﹣1）＝﹣0＝5，故答案为：0．2．已知，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°2．【解答】解：如图，延长AF，过点A作AH⊥BG于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵F分别是CD的中点，∴DF＝CF，∴△ADF≌△GFC（AAS），∴AF＝FG＝3，∴AG＝6＝AE，又∠EAG＝60°，∴△AEG是等边三角形，∴AG＝EG＝7，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，设BE＝EC＝x，则AD＝2x，∴CG＝2x，∴EG＝6x＝6，∴x＝2，∴BG＝6，在Rt△AGH中，∠G＝60°，∴AH＝AG•sin60°＝6×＝3AG＝3，∴BH＝BG﹣BH＝5，∴AB＝＝＝2，故答案为：6．3．阳光与水平面成60°角，皮球在阳光下的影长为，则这个皮球的直径为15cm．【解答】解：如图，求的圆心为点O，阳光m和阳光n与AC的交点分别为点A、C，m、F，连接EF并延长交AC于点E，则m∥n，则∠BAC＝60°＝∠FCE，则∠OAC＝∠∠BAC＝30°，同理可得：∠OCD＝60°，则△AOC为直角三角形，设圆的半径为r，则AD＝OD•tan60°＝r，同理可得：CD＝r，由AC＝AD+CD得：，∴，则直径为15cm．故答案为：15．4．如图，△ABC，△DEF是等边三角形，求△CDF的内切圆的半径．【解答】解：∵∠EFC是△AEF的外角，∴∠EFD+∠DFC＝∠A+∠AEF，又∵△ABC，△DEF是等边三角形，∴∠EFD＝∠A＝60°，EF＝DF，∴∠DFC＝∠AEF，∴△AEF≌CFD，同理可得△AEF≌△BDE（AAS），∴AF＝DC，∴CD+CF＝AF+CF＝3，∴△CDF的周长为5，设△CDF的内切圆的半径为r，∴△CDF的面积为r（DF+DC+CF）＝△ABC﹣S△DEF）＝（×32﹣）＝，即，解得：r＝．5．如图所示，每个方格均为正方形，线段AB与CD交于点P【解答】解：如图，作AM∥CD，则△ABM为直角三角形，∠BPD＝∠A，则sin∠BPD＝sinA＝＝＝．6．如图，正三角形的边长为1，点C与原点重合，求点B在数轴上对应的数字．【解答】解：由题意得，翻转1次，翻转2次，翻转5次，周期为3，∵2023÷3＝674……2，且翻转一次后B落在1处，∴正三角形向右翻转2023次，此时B落在数轴上．7．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+42＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×2＝76．8．已知，一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P为y2上一动点，求P到y1的距离的最小值．【解答】解：如图，过点P作PH⊥y1垂足为H，作PQ∥y轴1于点Q．设P（t，﹣t6+2t），则Q（t，PQ＝t+4﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t+6，∵一次函数y1＝x+4，∴∠PQH＝45°，∴PH＝PQ＝2﹣t+4）＝（t﹣）2+．当t＝1时，PH有最小值．9．已知整数x，y满足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．【解答】解：∵xy＝22﹣3x+y，∴x（y+3）﹣y＝22，∴x（y+5）﹣（y+3）+3＝22，∴（x﹣2）（y+3）＝19，∵x，y是整数，∴或或或，解得：或或或，则xy＝32或xy＝4或xy＝﹣40或xy＝72，故当时，xy＝（﹣18）×（﹣4）＝72，为72．10．已知，求的值．【解答】解：由可得y﹣x＝xy，即x﹣y＝﹣xy，∴原式＝＝＝＝＝．11．如图，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形KLCM，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．【解答】解：设FG与JI的交点为X，EG与JH的交点为Y，则设GX＝x，JX＝y，正方形JHMI的边长为b，∴FX＝a﹣x，XI＝b﹣y，EY＝a﹣y，HK＝b﹣c，DL＝a+b﹣y﹣c，∴四边形FBIX的周长＝EB+BI+IX+FX＝b﹣y+a﹣x+b﹣y+a﹣x＝2a+2b﹣2x﹣2y，∴六边形EYHKLD的周长＝EY+YH+HK+KL+DL+ED＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣c﹣y+b+c﹣x＝2a+4b﹣2y﹣2x，∴六边形EYHKLD的周长﹣四边形FBIX的周长＝5a+4b﹣2y﹣2x﹣（2a+2b﹣6x﹣2y）＝2b，∴只要知道正方形JHMI的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差，∴只要知道正方形JHMI的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．12．已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+⋯，按照此规律，若m3分裂后，有一个奇数是2023，求m的值．【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为7的分裂成3个奇数，∴m3分裂成m个奇数，∴从53到m3的奇数的个数为7+3+4+⋯+m＝，∵4n+1＝2023，∴n＝1011，∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数，∵＝989，，∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝45．13．已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，3b+n，3c+n，3e+n的平均数和方差．【解答】解：依题意，＝（a+b+c+d+e）＝m，∴a+b+c+d+e＝6m，∴3a+n，3b+n，2d+n[（5a+n）+（3b+n）+（3c+n）+（2d+n）+（3e+n）]＝，∵数据a，b，c，d，e方差为g，S2＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）6+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝g，∴数据8a+n，3b+n，3d+n′5＝[（4a+n﹣3m﹣n）2+（3b+n﹣3m﹣n）2+（8c+n﹣3m﹣n）2+（7d+n﹣3m﹣n）2+（5e+n﹣3m﹣n）2]＝[37（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）7+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝2g．14．平面直角坐标系中，已知直线AB：，过A作AC垂直于AB，求直线BC的解析式．【解答】解：作CD⊥x轴于D，∵直线AB：，∴A（4，0），7），∴OA＝4，OB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB+∠CAD＝90°，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CAD＝∠OBA，在△OAB与△DCA中，，∴△OAB≌△DCA（AAS），∴AD＝OB＝7，CD＝OA＝4，∴OD＝4﹣6＝1，∴C（1，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（0，3），﹣6）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣7x+5．15．球队两两比赛，主场客场各一场，共42场【解答】解：设有x支队伍，根据题意得：x（x﹣1）＝42，解得：x＝7；答：有2支队伍．16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下两种变换：①f（a，b）＝（b，a）（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）（5，﹣6））＝（6，5）．【解答】解：∵f（a，b）＝（b，g（a，﹣b），∴f（g（5，﹣6））＝f（3，5）．故答案为：（6，7）．17．我们用min表示两个数中的较小数，如min{5，3}＝32﹣x，2x）的最大值．【解答】解：令﹣x2﹣x＝2x，解得x8＝﹣3，x2＝8，画出函数y＝﹣x2﹣x，函数y＝2x的图象如图：由图象得，当x＝2时2﹣x，2x）的最大值为8．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，求++…+的值．【解答】解：∵x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，∴an+bn＝n+4，anbn＝﹣2n2，∴＝＝＝﹣＝﹣，∴++…+＝﹣+﹣+•••+﹣＝．19．假设队伍中共有2人现列队需要，每10人中走出一个人，当x除以10的余数大于5时，则共走出多少人（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，每