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文档简介
2025届云南省曲靖市宜良县第六中学高三第二次调研数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知命题:使成立.则为()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立2.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.3.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列4.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”,该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台,塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比,第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”,若两展望台间高度差为100米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米5.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.36.定义,已知函数,,则函数的最小值为()A. B. C. D.7.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.8.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A. B. C. D.9.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.10.函数的值域为()A. B. C. D.11.已知双曲线的右焦点为为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点,则双曲线的方程为()A. B. C. D.12.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是一个算法伪代码,则输出的的值为_______________.14.能说明“若对于任意的都成立,则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.15.若,则的最小值为________.16.若函数为偶函数,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.18.(12分)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)当x>0时,若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求实数a的取值范围.19.(12分)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.(Ⅰ)求证:平面平面.(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数有三个零点,求实数的取值范围.21.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.(1)求点,的极坐标;(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】试题分析:原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即.考点:全称命题.2、A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题3、C【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.4、B【解析】
根据题意,画出几何关系,结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离,进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为米,塔的实际高度为米,几何关系如下图所示:由题意可得,解得;且满足,故解得塔高米,即塔高约为480米.故选:B【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用,属于基础题.5、B【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.6、A【解析】
根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.7、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.8、A【解析】
求出满足条件的正的面积,再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积,然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】满足条件的正如下图所示:其中正的面积为,满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选:A.【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.9、C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.10、A【解析】
由计算出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】,,,因此,函数的值域为.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解,解答的关键就是求出对象角的取值范围,考查计算能力,属于基础题.11、C【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程:,再将点代入可得,连接,根据圆的性质可得,从而可求出,再由即可求解.【详解】由双曲线,则渐近线方程:,,连接,则,解得,所以,解得.故双曲线方程为.故选:C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,需掌握双曲线的渐近线求法,属于中档题.12、A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、5【解析】
执行循环结构流程图,即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环,输出.【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析与运算能力,属基础题.14、答案不唯一,如【解析】
根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.【详解】由题意,不妨设,则在都成立,但是在是单调递增的,在是单调递减的,说明原命题是假命题.所以本题答案为,答案不唯一,符合条件即可.【点睛】本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解,关键是假设出一个在上不是单调递减的函数,再检验是否满足命题中的条件,属基础题.15、【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。【详解】由题意,,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③等号取得的条件。16、1【解析】试题分析:由函数为偶函数函数为奇函数,.考点:函数的奇偶性.【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想,具有一定的综合性和灵活性,属于较难题型.首先利用转化思想,将函数为偶函数转化为函数为奇函数,然后再利用特殊与一般思想,取.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,,四种情况讨论即可;(2)问题转化为,利用导数找到与即可证明.【详解】(1).①当时,恒成立,当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数.②当时,,.当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.③当时,,则在上是减函数.④当时,,当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.(2)由题意,得.由(1)知,当,时,,.令,,故在上是减函数,有,所以,从而.,,则,令,显然在上是增函数,且,,所以存在使,且在上是减函数,在上是增函数,,所以,所以,命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题,考查学生逻辑推理能力,是一道较难的题.18、(Ⅰ);(Ⅱ)。【解析】
(Ⅰ)分类讨论,去掉绝对值,求得原绝对值不等式的解集;(Ⅱ)由条件利用基本不等式求得,,再由,求得的范围.【详解】(Ⅰ)当时,原不等式可化为,此时不成立;当时,原不等式可化为,解得,即;当时,原不等式可化为,解得.综上,原不等式的解集是.(Ⅱ)因为,当且仅当时等号成立,所以.当时,,所以.所以,解得,故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及转化与化归思想,难度一般;常见的绝对值不等式的解法,法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.19、(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【解析】
(I)证明平面得出平面,根据面面垂直的判定定理得到结论;(II)当平面时,棱锥体积最大,建立空间坐标系,计算两平面的法向量,计算法向量的夹角得出答案.【详解】(I)证明:分别为的中点,,又平面平面,又平面平面平面(II),为定值当平面时,三棱锥的体积取最大值以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系则,设平面的法向量为,则即,令可得平面是平面的一个法向量平面与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了面面垂直的判定,二面角的计算,关键是能够根据体积的最值确定垂直关系,从而可以建立起空间直角坐标系,利用空间向量法求得二面角,属于中档题.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)要证明,只需证明即可;(2)有3个根,可转化为有3个根,即与有3个不同交点,利用导数作出的图象即可.【详解】(1)令,则,当时,,故在上单调递增,所以,即,所以.(2)由已知,,依题意,有3个零点,即有3个根,显然0不是其根,所以有3个根,令,则,当时,,当时,,当时,,故在单调递减,在,上单调递增,作出的图象,易得.故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.21、(1)见解析(2)【解析】分析:(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值;也可以应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.详解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因为BDDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如图,由已知可得,,则,则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则,DE⊥平面ABCD,则平面.过G做于点I,则BF平面,即角为二面角CBFD的平面角,则60°.则,,则.在直角梯形BDEF中,G为BD中点,,,,设,则,
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