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文档简介

湖北省浠水县实验中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位2.已知集合(),若集合,且对任意的,存在使得,其中,,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是()A. B. C. D.3.已知f(x)=是定义在R上的奇函数,则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)4.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()A. B. C. D.25.设复数满足,则()A. B. C. D.6.已知是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于两点,若,则的内切圆半径为()A. B. C. D.7.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+18.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤9.二项式的展开式中,常数项为()A. B.80 C. D.16010.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().A. B.9 C.5 D.11.已知向量,满足||=1,||=2,且与的夹角为120°,则=()A. B. C. D.12.已知复数,其中为虚数单位,则()A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,项的系数是__________(用数字作答).14.的展开式中,的系数为_______(用数字作答).15.某校共有师生1600人,其中教师有1000人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为80的样本,则抽取学生的人数为_____.16.一个村子里一共有个人,其中一个人是谣言制造者,他编造了一条谣言并告诉了另一个人,这个人又把谣言告诉了第三个人,如此等等.在每一次谣言传播时,谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的,当谣言传播次之后,还没有回到最初的造谣者的概率是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,,,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,,其中栈道,,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;求当为何值时,栈道总长度最短.18.(12分)如图,已知,分别是正方形边,的中点,与交于点,,都垂直于平面,且,,是线段上一动点.(1)当平面,求的值;(2)当是中点时,求四面体的体积.19.(12分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.20.(12分)已知,.(1)解;(2)若,证明:.21.(12分)已知在平面四边形中,的面积为.(1)求的长;(2)已知,为锐角,求.22.(10分)已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前n项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.2、C【解析】

根据题目中的基底定义求解.【详解】因为,,,,,,所以能作为集合的基底,故选:C【点睛】本题主要考查集合的新定义,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.3、C【解析】

由奇函数的性质可得,进而可知在R上为增函数,转化条件得,解一元二次不等式即可得解.【详解】因为是定义在R上的奇函数,所以,即,解得,即,易知在R上为增函数.又,所以,解得.故选:C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.4、B【解析】

首先根据题中所给的三视图,得到点M和点N在圆柱上所处的位置,将圆柱的侧面展开图平铺,点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征,将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为,故选B.点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.5、D【解析】

根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.6、B【解析】

首先由求得双曲线的方程,进而求得三角形的面积,再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选:B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的内心的概念,考查了转化的思想,属于中档题.7、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./8、C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列则由等差数列的性质得,故选C9、A【解析】

求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.【详解】解:二项式展开式的通式为,令,解得,则常数项为.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解,关键是熟练应用二项展开式的通式,是基础题.10、A【解析】

根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,,当且仅当时等号成立,即时取得最小值.故选:A【点睛】本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.11、D【解析】

先计算,然后将进行平方,,可得结果.【详解】由题意可得:∴∴则.故选:D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算,属基础题。12、D【解析】

把已知等式变形,然后利用数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式计算得答案.【详解】解:,则.故选:D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】的展开式的通项为:.令,得.答案为:-40.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.14、60【解析】

根据二项式定理展开式通项,即可求得的系数.【详解】因为,所以,则所求项的系数为.故答案为:60【点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.15、1【解析】

直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】分层抽样的抽取比例为,∴抽取学生的人数为6001.故答案为:1.【点睛】本题考查了分层抽样的计算,属于简单题.16、【解析】

利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.【详解】第1次传播,谣言一定不会回到最初的人;从第2次传播开始,每1次谣言传播,第一个制造谣言的人被选中的概率都是,没有被选中的概率是.次传播是相互独立的,故为故答案为:【点睛】本题考查了相互独立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、,;当时,栈道总长度最短.【解析】

连,,由切线长定理知:,,,,即,,则,,进而确定的取值范围;根据求导得,利用增减性算出,进而求得取值.【详解】解:连,,由切线长定理知:,,,又,,故,则劣弧的长为,因此,优弧的长为,又,故,,即,,所以,,,则;,,其中,,-0+单调递减极小值单调递增故时,所以当时,栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用,属于中档题.18、(1).(2)【解析】

(1)利用线面垂直的性质得出,进而得出,利用相似三角形的性质,得出,从而得出的值;(2)利用线面垂直的判定定理得出平面,进而得出四面体的体积,计算出,,即可得出四面体的体积.【详解】(1)因为平面,平面,所以又因为,都垂直于平面,所以又,分别是正方形边,的中点,且,所以.(2)因为,分别是正方形边,的中点,所以又因为,都垂直于平面,平面,所以因为平面,所以平面所以,四面体的体积,所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用,以及求棱锥的体积,属于中档题.19、(1)(2)见证明【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】(1)解:当时,不等式可化为.当时,,,所以;当时,,.所以不等式的解集是.(2)证明:由,,得,,,又,所以,即.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)在不等式两边平方化简转化为二次不等式,解此二次不等式即可得出结果;(2)利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】(1),,由得,不等式两边平方得,即,解得或.因此,不等式的解集为;(2),,由绝对值三角不等式可得.因此,.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题.21、(1);(2)4.【解析】

(1)利用三角形的面积公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,进而求得,利用同角三角函数的基本关系式求得.【详解】(1)在中,由面积公式:在中,由余弦定理可得:(2)在中,由余弦定理可得:在中,由正弦定理可得:,为锐角.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同

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