2024年四川省德阳市高考数学质检试卷（二）（理科）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年四川省德阳市高考数学质检试卷（二）（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=1+3i，则|A.12 B.1 C.3 2.已知集合A={x|x2−x−6≤0}，B={x|1lnxA.{x|1<x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x≤3} D.{x|1≤x≤3}3.若x，y满足约束条件2x+y−2≥0x−2y−2≤0y≤1，则z=4x+3y的最大值为(

)A.19 B.13 C.9 D.54.已知A(9,m)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，则p=(

)A.2 B.3 C.6 D.95.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A，这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则P(B|A)=(

)A.1115 B.3745 C.13156.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为(

)A.212πa3 B.27.已知各项不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5−SA.−116 B.116 C.−648.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=cos(2x+φ)+2x−2−x，则“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=1，|c|=2，若b，c共线，且A.5 B.7 C.1110.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，O为坐标原点，F为C的右焦点，以F为圆心，|OF|为半径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为A.52 B.2 C.11.若函数f(x)=x+1x+m|x−3|在[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是A.(−∞,34] B.(−∞,89]12.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，O是△ABC的垂心.若S△OBC=1，S△ABC=4，则A.85 B.2 C.52 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在(3x−1)(x+1)6的展开式中，x314.已知数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N∗，有15.已知函数f(x)=lna⋅lnx−bx在x=1处取得极大值，则ba16.已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是______．三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinC=c3cosB2，b=3．

(1)求B；

(2)若18.(本小题12分)

轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者(表中4个年龄段的人数各100人)食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表．使用频率[12,25)[25,38)[38,51)[51,64]偶尔1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010(1)若把年龄在[12,38)的消费者称为青少年，年龄在[38,64]的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值α=0.01的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；

(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[25,38)与[51,64]的人数分别为X，Y，ξ=|X−Y|，求ξ的分布列与期望；

(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15,25,23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率．

参考公式：α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题12分)

如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，A1A=4，且A1A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．

(1)若P是DD1的中点，证明：A20.(本小题12分)

已知圆C：x2+y2+23x−13=0，点P是圆C上的动点，点F(3,0)是圆C内一点，线段PF的垂直平分线交CP于点M，当点P在圆C上运动时点M的轨迹为E．

(1)求E的方程；

(2)T为直线l：x=4上的动点，A、B为曲线E与x轴的左右交点，TA、TB分别与曲线E21.(本小题12分)

f(x)=cosx+mx2−1(x∈R)．

(1)当m≥12时，证明：f(x)≥0；

(2)22.(本小题10分)

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=t⋅cosαy=1+t⋅sinα(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ⋅(1−cos2θ)−23cosθ=0．

(1)写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点P(0,1),Q(3,0)，直线l过点23.(本小题12分)

已知关于x的不等式|x+2|−|2x−6|−|1−m|≥m有解．

(1)求实数m的取值范围．

(2)若a、b、c均为正数，n为m的最大值，且a+3b+4c=n.求证：a2+2ab+5b参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.B

7.C

8.A

9.B

10.A

11.D

12.B

13.25

14.−10

15.(0,116.417.解：(1)因为sinC=c3cosB2，b=3，

所以sinBsinC=sinCcosB2，

因为sinC≠0，

所以sinB=cosB2，则2sinB2cosB2=cosB2，

因为cosB2≠0，

所以sinB2=12，由B∈(0,π)，则B2∈(0,π2)，则B2=π6，

所以B=π3；

(2)设△ABC的外接圆半径为R，则2R=bsinB=23，

所以18.解：(1)补全的2×2列联表如下：青少年中老年合计食用轻食频率低12595220食用轻食频率高75105180合计200200400所以χ2=400×(125×105−75×95)2200×200×220×180≈9.091>6.635，

所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；

(2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[25,38)，[51,64]内的人数分别为1，2，

依题意，ξ的所有可能取值分别为0，1，2，

所以P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=C53C8ξ012P20315所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×2056+1×3156+2×556=4156；

(3)记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件A，B，C，

晚餐选择低卡甜品为事件D，

则P(A)=119.(1)证明：由题意，A1A，AB，AD两两垂直，

故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A(0,0,0)，B1(2,0,4)，D(0,4,0)，D1(0,2,4)，Q(4,m,0)，其中m=BQ，0≤m≤4，

因为P是DD1的中点，

则P(0,3,2)，

所以PQ=(4,m−3,−2)，

又AB1=(2,0,4)，

所以AB1⋅PQ=2×4+0×(m−3)+4×(−2)=0，

故AB1⊥PQ，

所以AB1⊥PQ；

(2)解：由题意可知，DQ=(4,m−4,0),DD1=(0,−2,4)，

设平面PQD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DQ=0n⋅DD1=0，即4x+(m−4)y=0−2y+4z=0，

令y=4，则x=4−m，z=2，

故n=(4−m,4,2)，

又平面AQD的一个法向量为m=(0,0,1)，

所以|cos<m,n>|=|m⋅n||m||n|=2(4−m)2+16+4，

又二面角P−QD−A的余弦值为49，

所以2(4−m)2+16+420.解：(1)如图所示：连接MF，

由x2+y2+23x−13=0⇒(x+3)2+y2=16，

∴圆心C(−3,0)，半径为4，

∵线段PF的垂直平分线交CP于点M，

∴|MP|=|MF|，

由|MC|+|MP|=|PC|=4⇒|MC|+|MF|=4>|CF|，

∴点M的轨迹是以C，F为焦点的椭圆，

即2a=4,2c=23⇒a=2,c=3⇒b=a2−c2=4−3=1，

∴E的方程为x24+y2=1；

(2)证明：设T(4,m)，A(−2,0)，B(2,0)，

∵直线TA的斜率为m6，

∴直线TA的方程为y=m6(x+2)，

代入椭圆方程中，得(9+m2)x2+4m2x+4m2−36=0，

显然有−221.证明：(1)当m≥12时，f(x)=cosx+mx2−1≥cosx+12x2−1，

令g(x)=cosx+12x2−1，g(−x)=cos(−x)+12(−x)2−1=cosx+12x2−1=g(x)，

故g(x)=cosx+12x2−1为偶函数，则g′(x)=−sinx+x，

令ℎ(x)=g′(x)=−sinx+x，则ℎ(−x)=−sin(−x)+(−x)=sinx−x=−ℎ(x)，

故ℎ(x)=g′(x)=−sinx+x为奇函数，其中ℎ′(x)=1−cosx≥0恒成立，

故ℎ(x)=g′(x)=−sinx+x在[0,+∞)上单调递增，

其中ℎ(0)=0，故ℎ(x)≥0在[0,+∞)恒成立，

故g(x)=cosx+12x2−1在[0,+∞)上单调递增，

其中g(0)=cos0+0−1=0，故g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，

结合g(x)=cosx+12x2−1为偶函数，故g(x)≥0在R上恒成立，

故f(x)=cosx+mx2−1≥0在R上恒成立．

(2)由(1)知，cosx+12x2−1≥0，

即cosx≥1−12x222.解：(1)由题意，在l：x=t⋅cosαy=1+t⋅sinα(t为参数)中，

xy−1=cosαsinα，即：xsinα−ycosα+cosα=0，

在ρ⋅(1−cos2θ)−23cosθ=0中，ρ2⋅(1−cos2θ)−23ρcosθ=0，

∵sin2θ+cos2θ=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴ρ2⋅(1−cos2θ)−23ρcosθ=ρ2⋅sin2θ−23ρcosθ=y2−23x=0，

∴曲线C的直角坐标方程为：y23.解：(1)由题意可得，|x+2|−|2x−6|−|1−m|≥m，即|x+2|−|2x−6|≥m+|1−m|，

令f(x)=|x+2|−|2x−6|=x−8,x≤−23x−4,−2<x<3−x+8,x≥3，

当x∈(−∞,−2]时，f(x)∈(−∞,−10]，

当x∈(−2,3)时，f(x)∈(−10,5)，

当x∈[3,+∞)，f(x)∈(−∞,