2024年上海市青浦区高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年上海市青浦区高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=3x+1x(x>0)的最小值是A.4 B.5 C.32 2.已知点P(2,22)是抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为(1,0)”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设Sn为是首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和，且A.a1>0 B.q>0 C.|S4.如图，已知直线y=kx+m与函数y=f(x)，x∈(a,b)的图像相切于两点，则函数y=f(x)−kx有(

)A.2个极大值点，1个极小值点

B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点

D.3个极大值点，无极小值点二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式|x−2|>1的解集为______．6.已知向量a=(−1,1)，b=(3,4)，则<a,7.已知复数z=5i1−i，则Imz=______．8.(x9.设随机变量ξ服从正态分布N(2,1)，若P(ξ<a−3)=P(ξ>1−2a)，则实数a=______．10.椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为11.已知直线l1的倾斜角比直线l2：y=xtan80°的倾斜角小20°，则l112.已知f(x)=lgx−1，g(x)=lgx−3，若|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|，则满足条件的x的取值范围是______．13.对于函数y=f(x)，其中f(x)=(x−1)3,0≤x<2,2x,x≥2，若关于x14.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数字，设“取到的2个数字之和为偶数”为事件A，“取到的2个数字均为奇数”为事件B，则P(B|A)=______．15.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，若以30cm3/s的匀速往杯中注水，当水深为4cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率v=______cm/s16.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q、R在棱AB、BC、BB1上，且PB=12,QB=13,RB=14，以三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

对于函数y=f(x)，其中f(x)=2sinxcosx+23cos2x−3，x∈R．

(1)求函数y=f(x)的单调增区间；

(2)在锐角三角形ABC中，若18.(本小题14分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别为棱AB和棱AA1的中点．

(Ⅰ)求证：面B1CD⊥面AB19.(本小题14分)

垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率.目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾.某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：男生女生总计A等级402060B等级202040总计6040100(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定：显著性水平α=0.05)？

附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05．

(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛.每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛.甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为23，主持人B提问甲赢的概率为12，每局比赛互相独立，且每局都分输赢.现抽签决定第一局由主持人A提问．

(i)求比赛只进行320.(本小题18分)

已知双曲线Γ：x24−y25=1，F1，F2分别为其左、右焦点．

(1)求F1，F2的坐标和双曲线Γ的渐近线方程；

(2)如图，P是双曲线Γ右支在第一象限内一点，圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2，F1F2分别切于点D，E，F，当圆C的面积为21.(本小题18分)

若无穷数列{an}满足：存在正整数T，使得an+T=an对一切正整数n成立，则称{an}是周期为T的周期数列．

(1)若an=sin(πnm+π3)(其中正整数m为常数，n∈N，n≥1)，判断数列{an}参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.(−∞,1)∪(3,+∞)

6.arccos7.52

8.160

9.−6

10.2

11.312.(0,10]∪[1000,+∞)

13.(0,114.3415.403π16.18117.解：(1)f(x)=2sinxcosx+23cos2x−3=2sinxcosx+3(2cos2x−1)

=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，

故函数f(x)的单调增区间是[kπ−5π1218.解：(Ⅰ)证明：因为D为棱AB中点，△ABC为正三角形，

所以AB⊥CD；

又因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥面ABC，所以AA1⊥CD，

因为AB∩AA1=A，

所以CD⊥面ABB1A1，

因为CD⊂面B1CD，

所以面B1CD⊥面ABB1A1；

(Ⅱ)方法一：由(Ⅰ)得CD⊥面ABB1A1，所以CD⊥B1D，CD⊥ED，

所以∠B1DE是二面角B1−CD−E的平面角，

因为△ABC中，DE=2,B1D=B1E=5，

所以cos∠B1DE=52+19.解：(1)提出原假设H0：学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，

根据表中数据可得χ2=100×(40×20−20×20)260×40×60×40=259，

由P(χ2⩾3.841)≈0.05，且259<3.841，

所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关．

(2)(i)比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为p1=23×12×23=29

比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为p2=(1−23)×(1−12)×(1−23)=118，

故比赛只进行3局就结束的概率为p1+p2=29+118=518；

(ii)X的可能取值为0，1，X0123P151337故数学期望为E(X)=0×11820.解：(1)因为双曲线Γ：x24−y25=1，

所以a2=4，b2=5，

所以c2=a2+b2=9，即c=3，

即F1(−3,0)，F2(3,0)，

所以双曲线Γ的渐近线方程是y=±52x．

(2)由题意可知|PD|=|PE|，|F1D|=|F1F|，|F2F|=|F2E|，

所以|PF1|−|PF2|=(|PD|+|DF1|−(|PE|+|EF2|)=|DF1|−|EF2|=|FF1|−|FF2|=2a=4,

∴F(2,0)，即F是椭圆右顶点，

设圆C的半径为r(r>0)，

因为圆C的面积为4π，则πr2=4π，即r=2，

∵CF⊥F1F2，

∴设直线PF2的斜率为k，则直线PF2的方程为y=k(x−3)，即kx−y−3k=0，

由圆心C到直线PF2的距离等于圆的半径，可得|2k−2−3k|k2+1=2，

解得直线PF2的斜率为k=43．

(3)假设存在过点F2的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得∠F1AB=∠F1BA，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点为M(21.解：(1)因为an+2m=sin(πm(n+2m)+π3)=sin(πnm+π3+2π)=sin(πnm+π3)=an，

所以{an}是为周期为2m的周期数列．

(2)①当a1=a2时，sina1=0，a1=kπ(k∈Z)，

所以当a1=kπ(k∈Z)时，{an}是周期为1的周期数列；

②当a1≠kπ(k∈Z)时，记f(x)=x+sinx，则an+1=f(an)，

f′(x)=1+cosx≥0，当且仅当x=(2k1+1)π(k1∈Z)时等号成立．

即f