2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区高一上册期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区高一上学期期中考试数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】确定集合A中元素，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得集合，，故，故选:C.2.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求出的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得，所以.故选：B3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得.【详解】函数有意义，则，解得或，所以函数的定义域是.故选：D4.函数（）的图象大致为A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果.【详解】因为，所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项；因为,可排除选项,故选A.本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.若函数是幂函数，且在上单调递减，则（）A. B. C.2 D.4【正确答案】A【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出函数值.【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得，因此，.故选：A6.函数的值域为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.【详解】令，，则，所以函数，函数在上单调递增，时，有最小值，所以函数的值域为.故选：C7.已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（）A.4 B.5 C. D.【正确答案】D【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数的单调性，列式求解即可.【详解】由函数是上增函数，得，解得，所以实数的值可以是.故选：D8.已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数.其中正确结论的序号是（）A.①②④ B.①② C.①③ D.①④【正确答案】D【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；【详解】因为，则有：令，可得，即，解得，故①正确；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故②错误；令，可得，即因为，则，可得，所以，令，不妨设，可得，即，因为，则，则，可得，即，所以为上增函数，故③错误；令，可得，即，整理得，所以为奇函数，故④正确；故选：D．思路点睛：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.（多选）下列选项正确的是（）A.若，则的最小值为2B.若正实数x，y满足，则的最小值为8C.的最小值为2D.函数（）的最大值是0【正确答案】BD【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，∵，，，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8，故B正确，对于C，令，，在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，对于D，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故，即函数y的最大值为0，故D正确．故选：BD．10.已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：，.若，全为真命题，则实数的取值可以是（）A. B.0 C. D.【正确答案】ACD【分析】分别求出命题为真命题的值范围即可得解.【详解】函数的图象与轴有交点，显然，因为的图象在轴下方，则，而，解得或，即命题：或；当时，，当且仅当时取等号，由，，得，解得，即命题：，由，全为真命题，得或，所以实数的取值可以是或或.故选：ACD11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（）A.， B.的值域为C.若，且，则 D.若，则【正确答案】AC【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值，判断选项A；可得函数的解析式，求函数值域，分析函数的奇偶性和单调性判断选项BCD．【详解】函数的图像过原点，∴，即，，由，有，时，；时，，由的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，∴，，，故A正确；由于，∴，故B错误；，函数定义域为R，上，单调递减；在上，单调递增，，为偶函数，故若，且，则，即，故C正确，由于上，单调递减，故若，则，故D错误；故选：AC．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是______【正确答案】，.【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论.【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是：，.故，.13.已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为______.【正确答案】【分析】利用给定的解集求出与的关系，再代入解不等式.【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且，则，于是，不等式化为，整理得，解得或，所以不等式的解集为.故14.我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为______；若，则实数的取值范围是______.【正确答案】①.2②.【分析】由题意可得，代入计算即可得，结合函数的单调性与对称性即可求得实数的取值范围.【详解】由函数的图象关于点0,1成中心对称，得，即，整理得，解得，故函数，所以函数在R上都单调递减，因此函数在R上单调递减，令，由函数的图象关于点0,1成中心对称，得的图象关于对称，且在R上单调递减，所以由，得即，于是，即，解得或，所以实数的取值范围是.故2；四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）若集合，求实数a的值；（2）若，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）或；（2）【分析】（1）利用集合交集的定义得到，，代入方程求解即可；（2）利用子集的定义，分，，，，由根与系数的关系，列式求解即可.【小问1详解】因为集合，又集合，所以，，将代入方程可得，解得或当时，，符合题意；当时，，符合题意.综上所述，或；【小问2详解】若，则当时，方程无解，则，解得当时，则，无解；当时，则，无解；当时，则，无解.综上所述，实数a的取值范围为16.（1）计算：；（2）已知，求下列各式的值：①；②【正确答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.（2）①②根据给定条件，利用指数幂的运算性质计算即得.【详解】（1）.（2）①由，两边平方得，则，而，则，所以；②由①知，，，所以.17.已知函数（1）当时，写出函数的解析式和单调区间；（2）当时，求函数在上的最大值.【正确答案】（1），递减区间为和，递增区间为；（2）【分析】（1）利用分段函数表示出函数，再借助二次函数单调性求出单调区间.（2）求出函数的单调区间，再按与区间的位置及区间端点离的远近分类，并结合单调性求出最大值.【小问1详解】当时，,所以，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以函数的单调递减区间为和，递增区间为.【小问2详解】依题意，，，函数上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而，则；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而，则；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而，则；当时，，函数在上单调递减，，所以函数在上的最大值.18.已知函数是定义在上的奇函数，且（1）求、的值及的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1），；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由求出、的值并验证，进而求出的解析式.（2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可.（3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解.【小问1详解】由函数是定义在上的奇函数，得，由，得，解得，，，函数是在上的奇函数，所以，.【小问2详解】由（1）知，，函数在上单调递增，且，则，由，得，则，即，所以函数上单调递增.【小问3详解】不等式恒成立，即，而函数是定义在上的奇函数，则，又函数在上单调递增，因此，解得，所以实数的取值范围为.19.已知函数，.（1）若，，求，的最小值；（2）若恒成立，①求证