【八年级上册数学沪教版】专题08 一元二次方程的应用（二）（知识精讲+综合训练）（解析版）

第第页参考答案：1．；工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米【分析】设这个长方形的宽为米，根据题意可得长为米，最后列出一元二次方程进行求解即可．【详解】解：设这个长方形的宽为米，则长为米，故答案为：；∴，∴，解得，，当时，长为（不合题意，舍去），当时，长为，答：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出一元二次方程是解决本题的关键．2．当时，为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当时，为等腰三角形，这两边的长分别为4，6【分析】先根据题中所给方程求出其中两边的长，又是等腰三角形，分情况讨论即可得出答案．【详解】解：∵，∴解得或∴三角形的三边长分别为，，4∵三角形是等腰三角形∴或或，解得或，当时，三边长分别为5、5、4，则此时符合题意，当时，三边长分别为6、4、4，则此时符合题意∴当时，为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当时，为等腰三角形，这两边的长分别为4，6【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解一元二次方程及三角形三边关系的知识，解出两边长是关键．3．24元【分析】设每双凉鞋应降价x元，根据题意可以得到关于x的一元二次方程，解方程即可得解．【详解】解：设每双凉鞋应降价x元，根据题意，得:（30-18-x）（30+10x）=540,解这个方程，得x1=3，x2=6,∵要尽量减少库存，∴只取x=6,∴30-x=30-6=24，答：每双凉鞋的定价应为24元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程并利用适当的方法解出一元二次方程是解题关键．4．(1)①，②(2)12株或15株【分析】（1）①根据盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元列代数式即可确定弹珠售价；然后再根据单珠售价再乘以数量x即可；②令，然后解一元二次方程即可解答；（2）分和两种情况，分别根据“全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元”列方程求解即可．【详解】（1）解：①设每盆种植株,单株售价为每盆售价故答案为：；

②令的值为16.2，则解得．

答：当每盆售价为16.2元时，x=6或9．（2）解：当时，化简，整理得（舍去）当时，，解得综上所述，每盆种植12株或15株时，还剩余100元．【点睛】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．5．(1)3(2)该烘焙店生产的是第5档次的产品【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：（档次）．故答案为：3．（2）解：设烘焙店生产的是第x档次的产品，则第x档次每件利润为：元，生产的件数为：件总利润为：，整理得：，解得：，（舍去）．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出对应的式子和方程求解是解题的关键．6．(1)把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元(2)将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元【分析】对于（1），设商品的售价定为x元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可；对于（2），设这天的利润为y元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可．【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得，整理得：，解得：，，∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；（2）设这天的利润为y元，则，∵，∴当时，y有最大值，最大值为1210，答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键．7．（1）；（2）会；理由见解析【分析】（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出第二轮传染上流感的人数即可；（2）因进入第二轮传染之前，有名患者被及时隔离（未治愈），则第二轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，根据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的情况发生．【详解】解：（1）根据题意：第二轮被传染上流感人数是：，故答案为：；（2）根据题意得：，解得：，（舍），∵为正整数，∴第二轮传染后会有人患病的情况发生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有四位患者被及时隔离（未治愈）列出方程并求解．8．(1)；(2)不会，理由见解析．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．(1)解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数人，(2)解：设在每轮传染中一人将平均传给人，根据题意得：，整理得：，解得：，，∵，都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．9．(1)2，-1(2)x＝5(3)3m【分析】（1）首先提出，然后因式分解多项式，即可求解；（2）两边同时平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可，但注意验根；（3）设AP的长为m，根据勾股定理和绳长10m，可列出方程，由于方程含有根号，再两边同时平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可．【详解】（1）或或，，故答案为：2，-1；（2）方程的两边同时平方，得，即，，故答案是：（3）四边形ABCD是矩形∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4设AP＝xm，则PD＝（6﹣x）m在和中，有，BP+CP＝10两边同时平方，得整理，得两边平方并整理，得即，经检验，是方程的解．AP的长为3m故答案是：3m【点睛】本题主要考查转化的思想方法、一元二次方程的解法、方程思想和方程的实际应用．解题的关键是根据转化思想将无理方程转化为整式方程．其中解无理方程时要注意验根．10．(1)2t，（6﹣t）(2)t＝1(3)存在，t＝2【分析】（1）由路程＝速度×时间，可直接求解；（2）由三角形的面积公式可求解；（3）由题意可得△PBQ的面积等于△ABC面积的，由三角形的面积公式可求解．(1)解：∵点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，∴BQ＝2tcm，AP＝tcm，∴PB＝（6﹣t）cm，故答案为：2t，（6﹣t）；(2)解：由题意得S△PBQ＝×BP×BQ＝×（6﹣t）×2t＝5，∴t2﹣6t+5＝0，解得：t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去），∴当t＝1时，△PBQ的面积等于5cm2；(3)解：存在，理由如下：若四边形APQC的面积等于△ABC面积的，∴△PBQ的面积等于△ABC面积的，∴，∴t2﹣6t+8＝0，解得：t＝2或t＝4，当t＝2时，BQ＝4cm当t＝4时，BQ＝8cm，四边形APQC变为三角形，不合题意，舍去，∴存在时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的，t的值为2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．11．（1）2t，5-t．（2）t1=0，t2=2．（3）存在，t=1【分析】（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB-AP就可以求出PB的值．（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．【详解】解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t1=0，t2=2．（3）由题意，得，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．12．（1）2秒或4秒，（2）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；理由见解析，（3）5﹣或5或5+．【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．【详解】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积＝×6×8＝24，（6﹣y）•2y＝12，y2﹣6y+12＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1，m2﹣10m+23＝0，解得m1＝5+，m2＝5﹣，经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，∴m＝5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1，n2﹣10n+25＝0，解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1，k2﹣10k+23＝0，解得k1＝5+，k2＝5﹣，经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，∴k＝5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．故答案为：5﹣或5或5+．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．13．(1)产品的销售单价为元，产品的销售单价为元(2)【分析】（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意：产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意得：，解得：，答：产品的销售单价为元，产品的销售单价为元；（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，由题意得：解得（舍去）或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程（组）．14．(1)，（从上到下）(2)生产成人口罩35箱或70箱【分析】（1）根据“成人口罩与儿童口罩共200箱”和“生产成人口罩数量不超过60箱时，每箱成人口罩成本为80元，若超过60箱时，每增加1箱口罩，每箱口罩成本降低2元”即可解答；（2）分成人口罩数量不超过60箱和超过60箱两种情形讨论即可．（1）解：，（从上到下）款式数量（箱）成本（元/箱）成人口罩x（不超过60箱时）80x（超过60箱时）儿童口罩40（2）解：①当时，，解得：．②当时，，解得：，（舍去）．当时，成本为，符合题意．答：生产成人口罩35箱或70箱．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元二次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．15．(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人(2)第