【八年级上册数学沪教版】专题07 一元二次方程的应用（一）（知识精讲+综合训练）（解析版）

第第页参考答案：1．C【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，去年上半年平均每周作业时长为分钟，去年下半年平均每周作业时长为分钟，今年上半年平均每周作业时长为分钟，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，，．故选：C．【点睛】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．2．B【分析】设增长率为x，根据第一天的票房收入及第三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设增长率为x，依题意，得3（1+x）2＝4故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．B【分析】设镇居民人均可支配收入年平均增长率为x，根据从2019年到2021年人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：这两年该镇居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意，得：．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．C【分析】利用现在生产一吨药的成本＝两年前生产一吨药的成本×（1﹣生产成本的年平均下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：6000（1﹣x）2＝5000．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用题，解题的关键是找出等量关系式列式即可．5．D【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出：，解得：，，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：，故选：D．【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16．6．D【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用.设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和．【详解】解：设这两个连续整数为x，x+1．则x（x+1）=56，解之得，x=7或x=-8，则x+1=8或-7，则它们的和为±15．故选D．7．B【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可．【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，故选B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．8．B【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是a（1-x），第二次后的价格是a（1-x）2，据此即可列方程求解．【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：a（1-x）2=b．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．9．C【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x＋4，则这个两位数为10(x＋4)＋x，其个位数字与十位数字的平方和为x2＋(x＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程，【详解】依题意得十位数字为：x＋4，则这个数为：10(x＋4)＋x，个位数字与十位数字的平方和为：x2＋(x＋4)2.∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，∴x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4.故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程；10．B【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．【详解】解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，其中n为正整数，∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，当n（n＋1）=600时，解得：（舍），当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．11．【分析】根据原价是50，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为，列出一元二次方程即可．【详解】∵平均每次降价的百分率是，原价是50∴经过一次降价为，经过两次降价为，∵经过两次降价为39，∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长（降低）率问题，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．12．【分析】先设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），列出方程即可．【详解】解：设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，根据题意得：故答案为:【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出关键描述语，列出方程．13．【分析】根据题意，第一年末该车价值为，第二年末该车的价值为，第三年末的价值为，从而可列方程得解．【详解】解：第一年末该车价值为，第二、三年的年折旧率相同，均为x，，故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程实际问题的应用，准确理解折旧率与正确列出第三年末的价值是解此题的关键．14．该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率为10%【分析】设月平均增长率为x，然后根据题意列一元二次方程即可求解．【详解】解：设月平均增长率为x，根据题意，得，解得=10%，（不合题意，舍去）．答：该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率为10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程成为解答本题的关键．15．【分析】根据题意列出2022年人均收入的代数式即可解答．【详解】解：设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据题意，可得2021年人均收入将达到万元，2022年人均收入将达到万元，即为．故答案为∶．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，审清题意、列出2022人均收入达到的代数式是解答本题的关键．16．【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有x（x-1）份．【详解】设有x家公司参加，依题意得x(x−1)=45，整理得：x2−x−90=0，解得：x1=10,x2=−9(舍去)，答：共有10公司参加商品交易会.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程.17．(1)；(2)涨价5元．【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据总盈利=每千克盈利×数量，列出一元二次方程，然后求出其方程解答即可得到结果．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．∴每次下降的百分率为．（2）解：设每千克应涨价a元，由题意，得：，整理，得，解得：，，又∵采取适当的涨价措施，∴，即涨价5元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．18．(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；（2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列方程求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得：，解得：或（舍）；∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；（2）解：设降价元，由题意得：，整理得：，解得：或（舍）；∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．19．(1)20%(2)8.64万【分析】（1）设这两年藏书的年平均增长率为x,利用该校图书馆2021年底的藏书量=该校图书馆2019年底的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；（2）利用该校图书馆2022年底的藏书量=该校图书馆2021年底的藏书量×（1+藏书的年平均增长率），即可求出该校图书馆2022年底的藏书量．【详解】（1）设该校这两年藏书的年均增长率为x，根据题意，得解得，（不合题意，舍去）该校这两年藏书的年均增长率为20%；（2）（万册），所以，预测到2022年年底该校的藏书量是8.64万册.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．(1)东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为(2)每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【分析】（1）设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；（2）设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．【详解】（1）解：设年平均增长率为，由题意得：，解得：，（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为．（2）解∶设每杯售价定为元，由题意得：，解得：，．为了能让顾客获得最大优惠，故取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．21．(1)20%(2)50(3)228.12【分析】（1）设该厂第一季度加工量的月平均增长率x，列一元二次方程解答即可；（2）根据该厂第一季度共加工罐头182吨列方程解答；（3）先求出六月份产量，五月份产量，设从三月到五月逐月下降的百分率为y，列一元二次方程解答求出y，即可求出第二季度总产量．（1）解：设该厂第一季度加工量的月平均增长率x，则解得（不合题意，舍去），答：该厂第一季度加工量的月平均增长率20%；（2）a+（1+20%）a+（1+44%）a=182，解得a=50；（3）六月份产量为50×2.1=105吨，五月份产量为105-46.68=58.32吨，设从三月到五月逐月下降的百分率为y，由题意得50×1.44×=58.32，解得(不合题意，舍去)，从三月到五月逐月下降的百分率为10%，四月产量为72×0.9=64.8(吨)，第二季度总产量为64.8+58.32+105=228.12(吨)，答：该厂第二季度的总加工量是228.12吨．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确掌握增长率问题的计算公式及理解题意列得方程是解题的关键．22．(1)10%(2)单价应降低15元【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1-下降率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38-m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m