2025年菁优高考数学压轴训练10

Page2025年菁优高考数学压轴训练10一．选择题（共13小题）1．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数2．（2024•新县校级模拟）已知函数，其中是自然对数的底数．若（3），则实数的取值范围是A． B． C． D．3．（2024•江西一模）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（7）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024•江西模拟）已知函数在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为A． B． C．2 D．5．（2024•简阳市校级模拟）若对于任意正数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．6．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为17．（2024•邢台模拟）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A． B．1 C． D．8．（2024•梅江区校级模拟）已知0为函数的极小值点，则的取值范围是A． B． C． D．，9．（2024•宜宾三模）定义在上的单调函数，对任意的都有，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为A． B．， C． D．，10．（2024•德阳模拟）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，，则不等式（3）的解集为A． B． C． D．，11．（2024•咸阳模拟）已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为A．， B． C．， D．，12．（2024•青羊区校级模拟）设，，，则下列大小关系正确的是A． B． C． D．13．（2024•博白县模拟）已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为A． B． C． D．二．多选题（共3小题）14．（2024•市中区校级二模）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数，为常数）对任给的正数，存在相应的使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．下列定义域均为的四组函数中，曲线和存在“分渐近线”的是A．， B．， C．， D．，15．（2024•建阳区一模）已知函数，，，是的导函数，则A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若，是方程的两个不同的根，且，则或16．（2024•扬州校级一模）若正数，满足，则A． B． C． D．三．填空题（共4小题）17．（2024•淄博一模）设方程，的根分别为，，函数，令，，，则，，的大小关系为．18．（2024•沧县校级模拟）已知直线是曲线和的公切线，则实数．19．（2024•回忆版）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则．20．（2024•白云区校级模拟）已知函数，设曲线在点，处切线的斜率为，2，，若，，均不相等，且，则的最小值为．四．解答题（共5小题）21．（2024•沙河口区校级二模）已知函数．（1）若，求的极值；（2）若，，求的取值范围．22．（2024•黄州区校级四模）已知函数．（1）当时，求在，（1）处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．23．（2024•天津）设函数．（1）求图像上点，（1）处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的值；（3）若，，证明．24．（2024•贵州模拟）已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线与曲线在点处的切线能否平行？请说明理由．25．（2024•平罗县校级三模）设函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数）

2025年菁优高考数学压轴训练10参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2024•闵行区校级模拟）已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为A．存在无穷多个，满足（1） B．对任意有理数，，，均有（1） C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【专题】综合法；综合题；导数的综合应用；逻辑推理；函数思想【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果．【解答】解：由极值的定义可知，当函数在处取得极小值时，在左侧的函数图象存在点比处的函数值小，在右侧的函数图象存在点比处的函数值小，故排除，；对于，函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数，则是函数的极小值点；对于，函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数，则不是函数的极小值点．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．2．（2024•新县校级模拟）已知函数，其中是自然对数的底数．若（3），则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】转化思想；导数的概念及应用；方程思想；综合法；数学运算；计算题【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得在上递增，设，分析可得为奇函数且在上递增，原不等式变形可得（3），结合的奇偶性、单调性可得关于的不等式，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其导数，易得，则在上递增，设，，其定义域为，有，则为奇函数，易得在上递增，若（3），即（3），则有（3），而为奇函数，则有，必有，解可得，则的取值范围为．故选：．【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及不等式的解法，属于中档题．3．（2024•江西一模）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（7）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【考点】基本初等函数的导数【专题】导数的概念及应用；数学运算；转化思想；转化法【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可．【解答】解：因为为偶函数，，所以，对两边同时求导，得，所以有，所以函数的周期为8，在中，令，所以（2），因此（2），因为为偶函数，所以有（7）（1），（7）（2），由（1），（2）可得：（7），所以（7），故选：．【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．4．（2024•江西模拟）已知函数在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为A． B． C．2 D．【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合法；数学运算；导数的概念及应用；函数思想【分析】求出函数的导函数，由求出，由的取值范围求出的范围，再根据在上只有一个零点得到，即可求出的取值范围，从而得解．【解答】解：由题意得，，则，即，又，解得，，由得，，，，又，在上只有一个零点，，解得，的最大值为2．故选：．【点评】本题考查导数的几何意义以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．5．（2024•简阳市校级模拟）若对于任意正数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可．【解答】解：由不等式恒成立，且，，分离参数得：，即，设，得，，设，，则．，由得，当时，，单调递增；当，时，，单调递减；．．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1【答案】【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值【专题】数学运算；整体思想；综合题；函数思想；导数的综合应用【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为，再求函数的单调性可求出最值．【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，则，显然错误，对于，而言，，由图像可知单调递增，，单调递减，所以函数在处取得最大值为1．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．7．（2024•邢台模拟）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A． B．1 C． D．【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】逻辑推理；导数的综合应用；综合题；构造法；转化思想；数学运算；综合法【分析】求导，根据题意可得恒成立，，分离参数，可得，构造函数，，求导，利用导数研究的单调性和最值，即可求出结果．【解答】解：因为函数在区间上单调递增，所以恒成立，，即恒成立，，令，，，所以在上单调递减，所以（1），所以．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题．8．（2024•梅江区校级模拟）已知0为函数的极小值点，则的取值范围是A． B． C． D．，【答案】【考点】由函数的极值求解函数或参数【专题】综合法；综合题；整体思想；导数的综合应用；数学运算【分析】先求出导数，再利用导数的导数找出单调性可得结果．【解答】解：由题意得，的导函数为，若，，在上单调递增，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，成立；若，当时，，在上单调递增，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，成立；若，当时，，当时，，因为，所以，不成立；若，当时，，，易得在递增，在上单调递减，不成立；综上，的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查导数的应用和逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想，属于中档题．9．（2024•宜宾三模）定义在上的单调函数，对任意的都有，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为A． B．， C． D．，【答案】【考点】由函数的单调性求解函数或参数【专题】数形结合；导数的综合应用；数学运算；综合法【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，即，解可得的值，可得的解析式，对其求导可得；将与代入，求出函数的最大值，即可得答案．【解答】解：是定义在上的单调函数，，为大于0的常数，设，则，又由，即，解得，，，，设，则，易得函数在上单调递增，上单调递增，时，函数取得最大值1，其大致图象如图所示，方程有两个不同的实数根，．故选：．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出的解析式．10．（2024•德阳模拟）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，，则不等式（3）的解集为A． B． C． D．，【答案】【考点】抽象函数的奇偶性；利用导数求解函数的单调性和单调区间【专题】综合法；导数的综合应用；函数思想；数学运算【分析】依题意得函数在上单调递增，因为（3），所以（1），得，求解即可．【解答】解：由，得，则当时，得，，则当时，，得函数在上单调递增，因为（3），所以（1），由于是偶函数，则（1），而函数在上单调递增，得，得，得．故选：．【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．11．（2024•咸阳模拟）已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为A．， B． C．， D．，【答案】【考点】由函数的极值求解函数或参数【专题】导数的综合应用；数学运算；转化思想；综合法【分析】求导分析的符号，单调性，进而可得极值点，判断是否符合题意，即可得出答案．【解答】解：，，且，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数唯一的极小值点，当时，，所以存在使得，在单调递减，所以当时，，所以在上单调递减，与0是函数的极小值点矛盾，综上所述，，所以的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．12．（2024•青羊区校级模拟）设，，，则下列大小关系正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】转化法；转化思想；数学运算；函数的性质及应用【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，由此即可比较，，通过构造函数即可比较，，由此即可得解．【解答】解：设，则，所以在上单调递增，所以，即，令，则，所以在上单调递增，从而，即，，所以，，从而当时，，令，则，所以在上单调递增，所以，即，综上所述：．故选：．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于中档题．13．（2024•博白县模拟）已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为A． B． C． D．【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】数学运算；综合法；导数的综合应用；转化思想【分析】通过求导分析的单调性得到的最小值，由恒成立得到，得到，构造函数（a），由（a）的最小值得到的最大值．【解答】解：，令得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以，则恒成立，则，令（a），（a），令（a）得，令（a）得，所以（a）在上单调递增，在上单调递减，所以．故的最大值为．故选：．【点评】本题考查导数在函数恒成立问题中的应用，属于中档题．二．多选题（共3小题）14．（2024•市中区校级二模）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数，为常数）对任给的正数，存在相应的使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．下列定义域均为的四组函数中，曲线和存在“分渐近线”的是A．， B．， C．， D．，【考点】：极限及其运算【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．【解答】解：和存在分渐近线的充要条件是时，．，，当时便不符合，所以不存在；对于，，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，，，，设，，且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于，，，当时，，故选：．【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目15．（2024•建阳区一模）已知函数，，，是的导函数，则A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若，是方程的两个不同的根，且，则或【答案】【考点】函数的奇偶性；基本初等函数的导数；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；转化思想；导数的综合应用；运算求解；综合法【分析】根据奇函数的定义域与性质及充分必要条件的定义可判断；由导函数与单调性的关系及充分必要条件的定义可判断；由不等式的解集可得的单调性与极值及函数的零点，从而可得，，的值，求出解析式，由导数判断函数的单调性，从而可得函数的极小值，即可判断；由△及根与系数的关系可求出的取值范围，即可判断．【解答】解：当时，，，所以为奇函数，充分性成立；若为奇函数，则，则恒成立，所以，必要性成立，故项正确；当时，，，所以为增函数；由题意得，当为增函数时，△，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，故项错误；，若不等式的解集为且，则在上先增后减再增，则，（1），解得，故，，令，解得或，所以在区间内，，单调递增，在区间内，，单调递减，在区间内，，单调递增，所以的极小值为，故项正确；，因为，是方程的两个不同的根，所以△，即①，，，由，得，所以，即②，由①②得，解得或，故项正确．故选：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数单调性与奇偶性的判断，充分必要条件的定义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．16．（2024•扬州校级一模）若正数，满足，则A． B． C． D．【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】构造法；导数的综合应用；函数思想；不等式；数学运算【分析】结合基本不等式可求的范围，然后结合基本不等式及指数，对数的运算性质检验选项，，结合选项中不等式的特点，合理的构造函数，结合导数与单调性关系检验选项，．【解答】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时取等号，则，错误；，当且仅当时取等号，正确；因为，，令，，则，即在上单调递增，所以（1），即，所以，所以，正确；因为，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，正确．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及函数的性质在不等关系的判断中的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）17．（2024•淄博一模）设方程，的根分别为，，函数，令，，，则，，的大小关系为．【答案】．【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】数学运算；转化思想；转化法；导数的综合应用【分析】先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得，由此得到，再结合函数的单调性判断即可．【解答】解：由，得，由，得，因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为，同理函数与的图象交点的横坐标为，因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，易知直线与直线互相垂直，所以，两点关于直线对称，即，的中点一定落在，亦即点为与的交点，联立，解得，即，所以，所以，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，而，又，，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数与方程的综合，函数值大小的比较，考查了转化思想，属中档题．18．（2024•沧县校级模拟）已知直线是曲线和的公切线，则实数3．【答案】3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出的值．【解答】解：设直线与曲线相切于点，，由，得，因为与曲线相切，所以，消去，得，解得．设与曲线相切于点，，由，得，即，因为，是与曲线的公共点，所以，消去，得，即，解得．故答案为：3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．19．（2024•回忆版）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则．【答案】．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合法；计算题；转化思想；数学运算；导数的综合应用【分析】求解切线方程，利用已知条件，求解曲线的切点坐标，即可得到的值．【解答】解：曲线，可得，在点处切线的斜率为：，切线方程为：，即．曲线在点处的切线也是曲线的切线，设的切点的横坐标为，可得切线的斜率为：，可得，代入，可得切点坐标为：，，切点在曲线上，所以，解得．故答案为：．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．20．（2024•白云区校级模拟）已知函数，设曲线在点，处切线的斜率为，2，，若，，均不相等，且，则的最小值为18．【答案】18．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】不等式的解法及应用；导数的概念及应用；方程思想；数学运算；综合法【分析】求得的导数，以及，，，运用基本不等式可得所求最小值．【解答】解：，即为，可得的导数为，则，由，可得，，，则，当且仅当，即时，取得等号．故答案为：18．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及解不等式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024•沙河口区校级二模）已知函数．（1）若，求的极值；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）的取值范围为，．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【专题】数学运算；转化思想；转化法；逻辑推理；导数的综合应用；综合题【分析】（1）由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；（2）构造函数，此时问题转化成在上恒成立，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：（1）已知，函数定义域为，当时，，可得，不妨设，函数定义域为可得，又（1），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得极小值，极小值（1），无极大值；（2）若，，不妨设，函数定义域为，，可得，不妨设，函数定义域为，，可得，不妨设，函数定义域为，，可得，所以函数在定义域上单调递增，此时，当时，，，所以，当，时，，所以，此时在，上恒成立，则函数在定义域上恒成立，所以在，上单调递增，当，即时，，所以函数单调递增，则恒成立，符合题意；当，即时，因为，，所以在区间上存在一点，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，不符合题意，综上，满足条件的的取值范围为，．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．22．（2024•黄州区校级四模）已知函数．（1）当时，求在，（1）处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2），．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】数学运算；计算题；综合法；导数的综合应用；转化思想【分析】（1）由题意，求出（1），（1），即可得出切线方程；（2）由函数在上单调递增得，当时，，分离参数得对于恒成立，由导数求出最值，即可求解．【解答】解：（1）当时，，，则（1），（1），所以在，（1）处的切线方程为，即．（2），若函数在上单调递增，则当，，即对于恒成立，令，则，则函数在上单调递增，所以（1），故，即的取值范围是，．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．23．（2024•天津）设函数．（1）求图像上点，（1）处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的值；（3）若，，证明．【答案】（1）；（2）2；（3）详见解答过程．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】逻辑推理；导数的综合应用；数学运算；整体思想【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可切线斜率，进而可求切线方程；（2）设，命题等价于对任意，都有，利用特殊值赋值法，即可求解；（3）结合重要不等式可先证明对，有，然后结合，的各种情况进行证明即可．【解答】解：（1）由于，故，所以（1），（1），所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为；（2）设，则，从而当时，当时，所以在，上递减，在，上递增，这就说明（1），即，且等号成立当且仅当，设，则．当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有．一方面，若对任意，都有，则对，有，取，得，故．再取，得，所以．另一方面，若，则对任意都有，满足条件．综合以上两个方面知．证明：（3）先证明一个结论：对，有．证明：前面已经证明不等式，故，且，所以，即．由，可知当时，，当时．所以在上单调递减，在上单调递增．不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论．情况一：当时，有，结论成立；情况二：当时，有对任意的，设，则由于单调递增，且有，且当时，由可知，．所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时故在，上递减，在，上递增．①当时，有（c）；②当时，由于，故我们可以取．从而当时，由，可得，再根据在，上递减，即知对都有；综合①②可知对任意，都有，即．根据和的任意性，取，，就得到所以情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，，而根据的单调性，知或．故一定有成立．综上，结论成立．【点评】本题主要考查了导数几何意义在切削方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，及不等式的证明，属于难题．24．（2024•贵州模拟）已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线与曲线在点处的切线能否平行？请说明理由．【答案】（1）；（2）不能，详见解答过程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值【专题】整体思想；数学运算；综合法；导数的综合应用【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在条件即可求解；（2）由已知结合直线的斜率公式及等比数列的性质可得关于的方程，结合等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解．【解答】解：（1）令，由题设知方程有两个实数根，因为，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，函数取得极小值，当及时，，且，当时，（1）且时．所以当时，与有两个不同的交点，即有两个不同的零点．（2）因为且，，成等比数列，设公比为，则，，（8分）直线的斜率，函数在点处的切线斜率，假设直线与函数在点处的切线平行，则，整理成，令，，则，所以在单调递增，所以（1），所以在时无实数解，所以直线与函数在点处的切线不能平行．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在零点存在问题中的应用，还考查了等比数列性质的应用，属于中档题．25．（2024•平罗县校级三模）设函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值【专题】综合法；数学运算；转化思想；计算题；导数的综合应用【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解．【解答】解：（1）当时，，的定义域为，，令，则，解得，令，则，解得．函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）令，则．令，其中，则．令，解得，令，解得．的单调递减区间为，单调递增区间为，，（1）．又，函数在上有两个零点，的取值范围是．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．2．抽象函数的奇偶性【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．3．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜恒成立，∵x2+x+1＝（x+）2+≥，∴0＜≤，∴m≤0．4．极限及其运算【知识点的认识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，an＝0，当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在当|a|＞1时，an＝不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点x＝x0处都连续．（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．5．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．6．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴7．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B8．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴9．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．10．由函数的极值求解函数或参数【知识点的认识】1、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必