中考备考-北师大版九上第4章 测试卷（2）-中考备考-初中数学7-9上下册

PAGEPAGE1第四章图形的相似测试卷一、选择题1．已知ｘy=mｎ,则把它改写成比例式后，错误的是（)A．＝ B.= C．=ﻩD.=2.已知，那么的值是()A．３ B．4ﻩＣ．5 D．6３．下列两个图形一定相似的是（)A．两个矩形 Ｂ．两个等腰三角形C．两个五边形ﻩD．两个正方形4．如果两个相似多边形面积的比是４:9,那么这两个相似多边形对应边的比是（)A．4:9 B．２:３ C.16：81 D．９：４5。如图,四边形ABCD是平行四边形,E是ＢC的延长线上一点,AＥ与CD相交于Ｆ，与△CEF相似的三角形有（)个.Ａ。1ﻩB.2ﻩＣ．3ﻩD．４6．如图,D为△ABC边ＢC上一点,要使△AＢD∽△ＣBA,应该具备下列条件中的（)A．＝ﻩＢ．= Ｃ.= D.=7.如图，在△ＡBC中，若ＤＥ∥ＢC,，DE=3cｍ，则BC的长为（）Ａ。3cmﻩB。6cｍﻩC．9cm D．12cm8.如图，△ABＣ中，∠A＝7８°，ＡＢ＝４，AC=6．将△ＡＢC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（)A。ﻩB． C.ﻩD．9。如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，３），D（4，1),以原点O为位似中心，在第一象限内将线段ＣD放大为原来的２倍后得到线段AB,则端点B的坐标为（)Ａ．(6,６） Ｂ．（6,8）ﻩC.(8,６）ﻩD．(8,２)１0．关于对位似图形的表述,下列命题正确的有（)①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OＰ＝k•ＯＰ′.A．①②③④ﻩB.②③④ Ｃ．②③ﻩＤ．②④１1．如图，在直角梯形ＡBCD中，DＣ∥AB，∠DＡＢ=９０°，AC⊥BC，AC=BC,∠ＡBC的平分线分别交AD、ＡC于点E,F，则的值是(）Ａ.ﻩB．ﻩＣ． Ｄ.二、填空题12．如图，△OAＣ和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8,则ｋ的值为．13.已知线段AB=1，C是线段ＡB的黄金分割点，且ＡC〈CＢ，则AC的长度为．14．）如图，在△ABＣ中，D、E分别是AＢ、ＢC上的点，且DE∥AC,若S△BＤＥ：S△CＤE＝１：4，则S△BＤE:S△AＣＤ=．15。一块矩形绸布的宽AB=aｍ，长AD＝1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即，那么a的值应当是．16。如图,小亮在晚上由路灯A走向路灯Ｂ，当他走到点C时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯Ａ的底部，当他向前再步行12ｍ到达点D时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯Ｂ的底部．已知小亮的身高是1.５m,两个路灯的高度都是９m。当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是m。三、解答题17。如图，在Rt△ＡBＣ中,∠ACB=9０°，CＤ⊥AB，垂足为D．(1）证明：△ACＤ∽△CBD；(2）已知ＡD=2,BD=4,求ＣD的长．1８．如图,AD是△ABC的高,点E，F在边BC上，点Ｈ在边ＡB上,点Ｇ在边ＡＣ上,AD＝8０ｃm，BＣ=120ｃm。(1）若四边形ＥＦＧH是正方形，求正方形的面积．（2)若四边形EFGＨ是长方形，长方形的面积为ｙ，设EF=x，则y=．（含x的代数式),当ｘ=时，ｙ最大，最大面积是．19．如图，在直角梯形AＢCD中，∠AＢC=90°,AD∥BC，AD=6，AB=7,ＢＣ＝8，点P是AB上一个动点.（1)当AP=３时,△DAP与△CBP相似吗？请说明理由。(2）求ＰD+PC的最小值。２0.如图,在Rｔ△ABＣ中，∠AＢC＝９0°,点Ｄ为BＣ边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交ＡC于点F．（1）证明:ＢＥ２＝AE•DE；（2）若=１，=;并说明理由。

答案解析一、选择题1.已知xｙ=ｍn,则把它改写成比例式后,错误的是()A．=ﻩB.=ﻩC．= D。=【考点】比例的性质．【分析】熟练掌握比例的性质是解题的关键．【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy＝mn,与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mｘ得xｙ=ｍn，与原式相等；Ｃ、两边同时乘以最简公分母mn得xｎ＝mｙ，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy=ｍn,与原式相等；故选Ｃ.【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．2．已知，那么的值是()A．３ﻩB。４ﻩC.５ Ｄ．6【考点】比例的性质．【分析】根据和比性质:=⇒＝,可得答案。【解答】解：由=2，得=＝3．故选：A.【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键.3．下列两个图形一定相似的是()A。两个矩形ﻩB．两个等腰三角形C.两个五边形 D．两个正方形【考点】相似多边形的定义．【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解。【解答】解:A、两个矩形，对应角相等,对应边不一定成比例，故不符合题意；B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C、两个五边形，对应角相等,对应边不一定成比例,故不符合题意;D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．故选Ｄ．【点评】本题考查相似形的定义,熟悉各种图形的性质是解题的关键。４．如果两个相似多边形面积的比是４：９，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A。４：9 B。２:３ﻩC．１6:81 D.9：4【考点】相似多边形的性质．【分析】由两个相似多边形面积的比是４:9，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，∴这两个相似多边形对应边的比是2：3.故选B.【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．5。如图，四边形ＡＢＣD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AＥ与CＤ相交于F，与△ＣEF相似的三角形有（)个．A。１ﻩＢ。２ﻩC.3 D．４【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析,从而得到图中与△CＥＦ相似的三角形．【解答】解:∵四边形ABCＤ是平行四边形,∴ＡB∥ＣD，ＡＤ∥BC，∴∠FＡＥ=∠ABＥ，∠D＝∠ECF,∠DＡＦ=∠E，∴△ＢＥA∽△CEF,△ＤAＦ∽△CＥF.故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定,熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．6．如图,D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的(）A。＝ﻩB.= Ｃ.= D．=【考点】相似三角形的判定.【分析】根据相似三角形的判定问题,题中已有一公共角，再添加对应边比值相等即可．【解答】解:当＝时,又∵∠Ｂ=∠B，∴△AＢＤ∽△CBA。故选：C.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键。７．如图,在△ＡBC中，若DE∥BC,，DE=3cm，则ＢC的长为(）A。3cm B。6ｃm Ｃ。9ｃm D．12cm【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】首先利用平行线判定两三角形相似,然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可．【解答】解：∵DE∥BC,∴△AＤE∽△ABC,∵,∴，∵ＤE=3cm,∴＝,解得：DE＝９cm.故选C。【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行线判定相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比等于相似比求得相应线段的长。8．如图，△ABC中，∠A=78°,AB＝4,AC=6。将△ＡBC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(）Ａ．ﻩB。ﻩＣ． D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【解答】解：Ａ、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似，故本选项错误;Ｃ、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；Ｄ、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误.故选Ｃ.【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.9.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3）,Ｄ（４，1）,以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CＤ放大为原来的2倍后得到线段AB,则端点B的坐标为（)Ａ.(６，6） B。（6，8) C．(8，6） Ｄ.（8，2)【考点】平面直角坐标系中的位似变换．【专题】数形结合．【分析】利用位似变换是以原点为位似中心,相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k可得到答案。【解答】解：因为以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段ＡＢ，所以点Ｂ的坐标为（4×2,１×2），即（8，２）.故选D．【点评】本题考查了位似变换:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣ｋ.10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（)①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点Ｐ,P′与位似中心O的距离满足ＯP=k•OP′。A。①②③④ B。②③④ﻩC．②③ Ｄ.②④【考点】位似图形的性质。【分析】由位似图形的定义可知：如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形;故位似图形一定有位似中心；且位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OＰ′.继而可得位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形.【解答】解：①位似图形一定是相似图形,但是相似图形不一定是位似图形；故错误；②位似图形一定有位似中心;正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形；正确;④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=ｋ•ＯＰ′;正确。故选B．【点评】此题考查了位似图形的性质与定义．注意准确理解位似图形的性质是解此题的关键。11．如图,在直角梯形ＡＢＣD中，DC∥ＡB，∠DAＢ=９0°，AＣ⊥BC，AC＝ＢC，∠ABC的平分线分别交ＡD、AＣ于点E,Ｆ,则的值是（）Ａ． B。 C． D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题.【分析】作ＦG⊥AB于点G，由AＥ∥FＧ,得出=,求出Rｔ△BGＦ≌Rt△BCＦ，再由AB=BC求解．【解答】解：作FG⊥AＢ于点Ｇ，∵∠ＤAB＝90°,∴ＡE∥ＦG,∴=,∵AC⊥BＣ，∴∠ＡCB＝90°，又∵ＢE是∠ABＣ的平分线，∴FG=FC，在Rt△BＧF和Ｒｔ△BCF中，∴Ｒt△BGF≌Rt△ＢCF（HL），∴CB＝ＧB，∵AC=BC，∴∠CBA=４5°,∴ＡB=BＣ，∴＝＝=＝+1。故选：Ｃ.【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例,全等三角形及角平分线的知识,解题的关键是找出线段之间的关系，CB＝GB,AB=BC再利用比例式求解。二、填空题12．如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA２﹣ＡB2=８,则k的值为﹣4。【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】设Ｂ点坐标为（ａ，b）,根据等腰直角三角形的性质得OA＝ＡC,AB=ＡD，OC=AＣ,ＡD=BＤ,则ＯA２﹣AB2=8变形为AＣ２﹣AD２=４，利用平方差公式得到(AC+AD）（AC﹣AＤ）=4,所以(ＯC＋BＤ)•ＣD＝4,则有a•b=﹣4，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得ｋ=﹣4．【解答】解：设B点坐标为（a，b),∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴ＯA=AＣ，AB=AD,OC＝AC，AD=BD,∵OA2﹣ＡB2=8，∴2AC2﹣2AＤ２=8,即AC2﹣AD２=４，∴(AC+AD）（AC﹣AD)=4，∴(ＯC+BD)•CD＝4，∵点B在第四象限,∴a•b=﹣4，∴k=﹣4．故答案为:﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数ｙ=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点（x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．1３．已知线段ＡB＝1,Ｃ是线段ＡB的黄金分割点,且ＡC＜CB,则ＡC的长度为．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段；则AＣ=1﹣=。【解答】解：由于C为线段AB＝１的黄金分割点,且ＡＣ<CB,则AC=1﹣=。故本题答案为：。【点评】理解黄金分割点的概念.熟记黄金比的值进行计算．14.如图，在△ABC中,D、Ｅ分别是AB、BC上的点，且DE∥AC,若Ｓ△ＢDE:S△CDＥ=1:４，则S△ＢDE：S△ＡCD=1：２0．【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】根据等高三角形面积的比等于底的比和相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解出结果。【解答】解:∵Ｓ△BDＥ:S△ＤＥC=１:4，∴ＢE:EＣ＝1:4,∴BE:BC＝1：5,∵DＥ∥AC,∴△ＢED∽△BＣA，∴==，设S△BED＝k，则S△DEＣ=４k，S△ABC=2５ｋ，∴S△ADC=２0k，∴S△BDＥ：S△DCA=1：20．故答案为：1：20.【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，注意各三角形面积之间的关系是解题的关键.1５。一块矩形绸布的宽ＡB=aｍ，长AＤ＝1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么ａ的值应当是．【考点】相似多边形的性质.【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，根据相似多边形的对应边成比例可得：，继而求得答案.【解答】解:∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，∴a２=,∴a＝.故答案为:．【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯Ｂ,当他走到点Ｃ时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯Ａ的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m。当小亮走到路灯B时，他在路灯Ａ下的影长是3.6m．【考点】利用影子测量物体的高度．【专题】计算题.【分析】如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为ＢH，CＥ=ＤF=BG＝１。5ｍ，AM=BN=9m，ＣＤ=12ｍ,先证明△ACE∽△ABN得到=,同理可得=，则AC=BＤ=ＡＢ，则AB+12＋AB=AB,解得AB=18，接着证明△HBG∽△HAM，然后利用相似比得到=，再利用比例性质求出ＢH即可．【解答】解：如图，当小亮走到路灯B时,他在路灯A下的影长为BH，CE=DF=ＢG=1.5m，AM=BN=９m，CD=1２m,∵CE∥ＢN，∴△ACE∽△ＡBN，∴=,即=,同理可得=，∴AC=ＢD,∴ＡC=BD=AＢ,∵AC+ＣD+DB=ＡＢ,∴AB+12＋ＡＢ=AB，解得AB=18,∵ＢＧ∥AM，∴△HBG∽△HAM，∴＝,即=,解得BＨ=３.6.即当小亮走到路灯Ｂ时,他在路灯A下的影长是3.6ｍ。故答案为3.6．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.三、解答题17.如图，在Rt△ABC中，∠ＡCB=90°，CＤ⊥AＢ,垂足为D．（1）证明：△ＡCD∽△ＣBD;（2)已知AD＝２，ＢD＝4，求CＤ的长。【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1）求出∠CＤA＝∠AＣB=90°，根据有两个角对应相等的两三角形相似得出△ACD∽△CBD，即可得出答案；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°,ＣＤ⊥AB，∴∠CＤＡ=∠CDB=90°,∵∠A+∠ACD=∠ＡＣD+∠BCD=9０°,∴∠A=∠BCD，∴△ＡCD∽△CBD;（2）由(１)知△ACD∽△CＢD,∴，∴CD２=AD•BD=2×4＝８,∴CD＝２。【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。18。如图，AＤ是△ABC的高，点Ｅ,F在边BＣ上,点H在边AＢ上，点G在边AC上，AD＝80cm，BC=120cm.(1）若四边形EFＧＨ是正方形,求正方形的面积．(2）若四边形EＦGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y＝﹣x2+8０ｘ。(含x的代数式),当x＝６0cm时,ｙ最大，最大面积是２4０cm2．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1）根据正方形的对边平行可得HＧ∥EF,然后得到△ＡＨG与△ABＣ相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，求出HG,即可得出正方形的面积；（２)证出△AＥＦ∽△AＢＣ,得出比例式得出HE，得出长方形的面积y是ｘ的二次函数,再利用二次函数的最值问题进行求解即可．【解答】解:（1）∵四边形EFGH是正方形，∴ＨＧ∥ＥF，GH=HE=ＩD，∴△AHG∽△ＡBC，∴AＩ：ＡD=HＧ：BC,∵BC=120cm，AＤ=80cm，∴，解得：ＨG＝48cｍ，∴正方形ＥFGＨ的面积=ＨＧ2＝4８２=２３04（cｍ2）；(2)∵四边形EFGH是长方形，∴HG∥EF，∴△AＥF∽△ABＣ,∴AI：AD=HG：BC，即,解得：HE＝﹣x+80,∴长方形EFＧＨ的面积y＝x（﹣x＋８0）=﹣x2+80x=﹣(x﹣６０）2+240,∵﹣＜0,∴当ｘ=6０，即ＥF=60cm时，长方形EFＧH有最大面积,最大面积是２4０cｍ2；故答案为：﹣x2+80ｘ，60cｍ，2４0cm２.【点评】本题考查了长方形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题;根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出长方形的边长是解决问题(２）的关键．１9.如图,在直角梯形ＡBCD中，∠ＡBC=9０°，AD∥BC，ＡD=6，AB=7,BC=8,点P是ＡＢ上一个动点.（１)当AP=3时，△ＤAＰ与△CＢＰ相似吗？请说明理由．(2)求PＤ+ＰＣ的最小值．【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】（1)由题意可知∠A=∠B=90°，AＰ=3，PB=4，故此,从而可证明△DＡＰ与△CＢP相似;(2）作点D关于ＡＢ的对称点D′，连接D′C交ＢA于点P．过点D′作D′Ｅ⊥BC，垂足为E．依据勾股定理求得Ｄ′C的长即可．【解答】解：(1)∵∠ABC＝90°，ＡD∥BC