直线投影基本知识

2.2直线的投影本节提要：（1）直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置（2）直线上的点的投影特性（3）求直线的真长及其对投影面的倾角（4）两直线的相对位置（5）两直线垂直2021/6/2712.2.1

直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置1

直线的投影HABab

直线可视为点的集合，所以直线的投影就是点的投影的集合。确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两个点的投影，再连线即可。2021/6/272

如图所示，分别将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)ZXOYHYWa'aa"b'bb"2021/6/273直线的投影特性：ABCDEFabcd①垂直于投影面的直线在该投影面上的投影，积聚成一点（积聚性）。②平行于投影面的直线在该投影面上的投影，与直线本身平行且等长。③倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影，短于直线的真长。2021/6/2742

直线对投影面的各种相对位置直线一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜投影面平行线（只平行于一个投影面）水平线（∥H面，对V、W面都倾斜）正平线（∥V面，对H、W面都倾斜）侧平线（∥W面，对H、V面都倾斜）投影面垂直线（垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面）铅垂线（⊥H面，∥V面，∥W面）正垂线（⊥V

面，∥H面，∥W面）侧垂线（⊥W

面，∥H面，∥V面）平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。特殊位置直线2021/6/275HVABWaba'b'a"b"O直线与投影面的夹角是指空间直线与它在该投影面上的正投影的夹角。直线对H、V、W面的倾角，分别用α、β、γ表示。αβγHBAA0B0abαα直线平行于投影面时，倾角为0°，垂直于投影面时，倾角为90°，倾斜于投影面时，倾角为0~90°。2021/6/276（1）一般位置直线OXZYABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1、ab、

a

b

、a

b

均小于实长

2、ab、a

b

、a

b

均倾斜于投影轴

3、不直接反映直线对投影面的倾角2021/6/277水平线—平行于水平投影面的直线投影特性：1．a

b

=AB2．ab∥OX;a

b∥OZ

，且长度缩短3．反映a、

角的真实大小（2）投影面平行线XZYOaa

b

a

bb

ABXa

b

a

b

OzYHYWba

2021/6/278XZYO

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB3、反映

、

角的真实大小aa

b

a

b

b正平线—平行于正面投影面的直线（2）投影面平行线2021/6/279XZYOXZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真实大小aa

b

a

b

b侧平线—平行于侧面投影面的直线（2）投影面平行线2021/6/2710（2）投影面平行线正

平

线水

平

线侧

平

线空间直观图投影图投影特性1.a'b'反映真长和倾角α、γ2.ab∥OX，a"b"∥OZ，且长度缩短1.ab反映真长和倾角β、γ2.a'b'∥OX，a"b"∥OYW，且长度缩短1.a"b"反映真长和倾角α、β2.ab∥OYH，a'b'∥OZ，且长度缩短2021/6/2711投影面平行线的投影特性：①在平行的投影面上的投影，反映直线的真长以及对另外两个投影面的倾角。②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。2021/6/2712例1：判断下列直线的空间位置。a'b'abXOa'b'abXOAB为水平线CD为侧平线2021/6/2713AB为

线CD为

线EF为

线正平一般位置直水平c'(a')b'(d')a"e'f'abc(e)d(f)b"c"d"e"f"ABCDEF例2：参考立体图，判断物体上的直线是属于哪一类直线。2021/6/2714OXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

积聚成一点

2、a

b

OX;a

b

OYW

3、a

b

=a

b

=AB铅垂线—垂直于水平投影面的直线ABb

a(b)a

a

b

（3）投影面垂直线2021/6/2715正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、a

b

积聚成一点

2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a（3）投影面垂直线2021/6/2716侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、a

b

积聚成一点

2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b（3）投影面垂直线2021/6/2717（3）投影面垂直线正

垂

线铅

垂

线侧

垂

线空间直观图投影图投影特性1.a'b'积聚成一点2.ab∥OYH，

a"b"∥

OYW，且反映真长1.ab积聚成一点2.a'b'∥OZ，a"b"∥OZ，且反映真长1.a"b"积聚成一点2.ab∥OX，a'b'∥OX，且反映真长2021/6/2718投影面垂直线的投影特性：①在垂直的投影面上的投影积聚成一点。②在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴，且反映真长。2021/6/2719例1：根据投影图，判断下列直线的空间位置。侧平线侧垂线铅垂线水平线Oab

ba

Xc

c

d

d

OXZYHYWOcd

dc

XZa

b

OXYHYWb

a

2021/6/2720

解题思路：熟悉水平线的投影特性，明确正面投影平行于投影轴。b'a'abOX例2：已知AB为水平线，补画a'b'。2021/6/2721OXZYHYWa'aa"30°b例3:过点A向右上方作一正平线AB，使其实长为25，与H面的倾角

=30°。25b'b"解题思路：熟悉正平线的投影特性，并从反映实长和

的投影入手。作图要点:１.做正平线的正面投影；２.过点a做正平线的水平投影和侧面投影。2021/6/27222.2.2

直线上的点的投影特性可以证明：直线上的点的水平投影，必在该直线的水平投影上；直线上的点的正面投影，必在该直线的正面投影上；直线上的点的侧面投影，必在该直线的侧面投影上。几何形体在同一个投影面上的投影称为同面投影。2021/6/2723VH直线上的点的第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。即具有从属性。ABCbab'a'c'D

若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。d'dc2021/6/2724直线上的点的第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。即具有定比性。利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。2021/6/2725如何检验点是否在直线上。检验方法：（1）在三面体系中：用直线上的点的第一个投影特性检验。a'c'd'b'acdba"c"d"b"OXZYHYW

C点在直线AB上，D点不在直线AB上。2021/6/2726（2）在两面体系中：①将两面体系扩展成三面体系，用直线上的点的第一个投影特性就可检验。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。abka

b

k

●●OXYHZYWZXYOVWHACBDa'c'd'b'a"c"b"d"acdb2021/6/2727②先用直线上的点的第一个投影特性检验点是否在直线上，如果无法检验，再用直线上的点的第二个投影特性进行检验。abka

b

k

●●OX因ak/kb不等于a'k'/k'b'，故点K不在AB上。2021/6/2728OXaba'b'[例1]如图所示，已知直线AB，在AB上取点C和D，点C距H面10mm，点D分割AB成AD:DB=3:1，作点C和D的两面投影。OXaba'b'c'c1234dd'102021/6/2729[例2]如图所示，已知直线AB以及点C、D，检验点C、D是否在直线AB上。[解]分析:直线AB是侧平线，对V、H两面体系，侧平线是特殊直线。a'c'd'b'acdbOXZXYOVWHACBDa'c'd'b'a"c"b"d"acdb2021/6/2730Xa"b"a'c'd'b'acdbOX（1）检验方法一（补第三投影）（2）检验方法二（直线上点的第二个投影特性）c0d0b0c"d"2021/6/2731b

Xa

abcO例：已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。c

accbXOABbb

aa

c

CcHV2021/6/2732ZOa'b'b"a"c'[例]如图所示，已知直线AB，并知直线AB上的点C距离侧面W10mm，作点C的两面投影。ZOa'b'b"a"10c"b0c0[解]分析:直线AB是水平线，对V、W两面体系，水平线是特殊直线。2021/6/27332.2.3

求直线的真长及其对投影面的倾角1

求线段的真长及其对投影面的倾角特殊位置直线在投影图中能直接反映直线的真长及其对投影面的倾角。可用直角三角形法作出倾斜线的实长及其与投影面的夹角。一般位置直线在投影图中不能直接反映其真实长度及其对投影面的倾角。2021/6/2734XOa'b'abAVHXOa'b'Bab

Zc'C直角三角形ABC中：斜边AB=AB实长直角边BC=b

c

=

Z直角边AC=abα角：ab与实长AB的夹角AB实长

Zabα实长

Z

Zααα2021/6/2735XOa'b'abAVHXOa'b'Bab

Y实长

Y

Yββ求一般位置直线的实长及其与V面的夹角β2021/6/2736YWXOa'b'abYHZa"b"VHXOWYZa'b'aba"b"AB求一般位置直线的实长及其与W面的夹角γ

Xγ实长

Xγ

X2021/6/2737YWXOa'b'abYHZa"b"实长

Xγ

Z实长

Yαβ实长2021/6/2738[例]如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角α、β。OXa'b'baOXa'b'ba△y=ab△zAB真长αβ2021/6/2739例：已知点C在直线AB上，且AC=20,求C点的投影。20c'bXOa'ab'c2021/6/2740c'c"d'd"OZ△y△x△y2

已知直线的真长和倾角求解有关定位和度量问题[例]如图所示，已知直线CD的两面投影，求CD对投影面V、W的倾角β、γ，并在CD上取一点T，T与C的真实距离为10mm，作点T的两面投影。c'c"d'd"OZCD真长β△xCD真长t't"10γHVXOABaba'b'Tαtt1b12021/6/2741OXe'ef[例]如图所示，已知直线EF的水平投影ef和端点E的正面投影e'，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影e'f'，同时，请回答这个题目有几解。OXe'efR20f0f'f'答：有两解思考题：若将已知条件实长换成α=30°，则如何解题？2021/6/27422.2.4

两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行两直线和相交两直线分别位于同一平面上，是共面直线；交叉两直线彼此既不平行，又不相交，它们不在同一平面上，又称为异面直线。2021/6/2743（1）两直线平行平行两直线的同面投影均分别互相平行。XOVHPQABCDabcda'a'b'c'd'直观图XOZYHYWabcda'b'c'd'b"a"c"d"投影图2021/6/2744例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CDabcda'b'c'd'XO2021/6/2745例2：判断图中两条直线是否平行。

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。结论:AB与CD不平行求出侧面投影如何判断？b"d"c"a"YWYHZcbadd'a'c'XOb'2021/6/2746如何检验两直线是否平行检验方法：（1）对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。（2）对于投影面平行线，可采用以下两种方法：1）若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。2）作出投影面平行线的三面投影。2021/6/2747相交两直线的同面投影都分别互相相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影，这个点就是两直线的交点。（2）两直线相交HCDABKabcdk直观图投影图OXZYWYHabcda'b'c'd'a"b"c"d"k'k"k判断两直线相交或交叉的关键原则2021/6/2748d'k'kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影●●cabb'a'c

XO2021/6/2749例：求作水平线L，使其距H面的距离为15，且与直线AB、CD都相交。15l'la'b'abc'd'dcXO2021/6/2750d'b'a'abcdc'同面投影虽相交，但“交点”不符合空间同一个点的投影规律。AB与CD两直线相交吗投影特性：结论：AB与CD两直线不相交，属于交叉直线（3）两直线交叉2021/6/2751直观图XOVHABCDⅠⅡab1cd2a'b'c'd'1'(2')交叉两直线的同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影；或同面投影有的相交，有的平行。投影图ca'1'(2')dabb'c'd'12OX2021/6/2752abcdXOb'c'd'a'交叉两直线判断重影点投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。用其可帮助判断两直线的空间位置。CD在上AB在下CD在后AB在前432(1)1'2'3'(4')abcdXOb'c'd'a'2021/6/2753XOZYwYHc'a'b'd'c"d"a"b"cbda3'(4')2'1'1(2)345"(6")5'6'2021/6/2754两直线相对位置的检验和作图题示例[例]如图所示，检验直线AB、CD的相对位置。XOa'b'badcc'd'ZXOYWYHa'b'c'd'abcda"b"c"d"结论：AB与CD两直线属于交叉直线2021/6/2755例：判断两线段DE、FG是否平行。DE、FG共面，故平行。DE、FG不共面，故不平行。defgOXg'f'd'e'defgXg'f'd'e'YWOYHZd"e"f"g"defgXg'f'd'e'YWOYHZd"e"f"g"edfgXg'f'd'e'O2021/6/2756XOaba'b'c'c作CD∥AB[例题]如图所示，已知直线AB及点C，过点C作CD∥AB。XOaba'b'c'c已知dd'过点作直线平行已知直线2021/6/2757OXe'f'efaba'b'c'd'cd[例题]如图所示，已知直线AB、CD、EF，求直线PR，使PR与AB交于点P，与CD交于点Q，平行于EF，点R在PQ沿着P到Q方向的延长线上，PR的真长为30mm。作直线PR的两面投影；同时也作出点Q的两面投影。OXe'f'efaba'b'c'd'cdd0pqq0q'p'gg'△z△z30r0g