专题07 与相似有关的压轴题九年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（华师大版） 带解析

与相似有关的压轴题1．如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E为边BC的中点，请仅用无刻度的直尺作图：（1）作BD的中点F；（2）作BE的中点G；（3）如图2，△BDE的中线EF、DG交于点H，若△EGH的面积为1，则四边形BGHF的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分，即可作BD的中点F；（2）找的中位线，即可得BE的中点G；（3）连接AE，，则F、H在AE上，设，则，，推出，，证明，由相似的性质，，求出，从而得出，在中，列出等量关系式，求解即可得出答案．【详解】（1）连接DE，AE交BD与F，BC=2AD，E为边BC的中点，AD=BE，ADBC，四边形ABED是平行四边形，点F即为BD中点；（2）如图，延长BA、CD交于点M，连接ME交AD于点N，连接NF交BE于点G，由题可得：，∵BC=2AD，∴A为MB中点，又AN//BE，∴AN为的中位线，即N为ME中点，∵四边形ABED是平行四边形，∴F为AE中点，∴FN//AM，∴FG//AB，FG为中位线，∴G为BE中点；（3）如图，连接AE，，则F、H在AE上，设，则，，，，，四边形ABED是平行四边形，，，，，，，，即，．故答案为：2．【点睛】本题考查四边形综合问题，掌握线段中点的作图方法以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图1，矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C、D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．（1）如图2，若四边形ABCD为正方形，其面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当S1＝S时，求的值．（2）如图1，若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y，求出y与x的关系式；当＝时，求x的值．【答案】（1）的值为；（2）x的值为或．【分析】（1）如图，连接BE，根据正方形的性质可得∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，利用角的和差关系可得∠DAE=∠BAF，利用SAS可证明△DAE≌△BAF，可得DE=BF，根据中点的性质可得S△FGB=S△EGB=S△FBE，根据S1＝S，S△FCE=S△FBG+S1即可得答案；（2）如图，过点G作GH⊥BC于H，根据点G为EF中点可得GH为△FCE的中位线，可得GH=EC，由DE=x可得EC=20-x，即可得出y与x的关系式，根据＝可得BG=EC，利用勾股定理可得BH=，根据∠DAE=∠BAF，∠D=∠ABF可证明△DAE∽△BAF，根据相似三角形的性质可得BF=2x，分点H在点B左侧和右侧两种情况，根据FH=CH列方程求出x的值即可得答案．【详解】（1）如图，连接BE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAF，在△DAE和△BAF中，，∴△DAE≌△BAF，∴DE=BF，∵点G为EF的中点，∴S△FGB=S△EGB=S△FBE，∵S1＝S，S△FCE=S△FBG+S1，∴S△FCE-S△FBG=S正方形ABCD，∴FC·CE-×BF·CE=BC2，∵FC=BC+BF，BC=CD=CE+DE，∴2（CE+2DE）CE-DE·CE=（CE+DE）2，整理得：CE2+DE·CE-DE2=0，∵DE≠0，∴，解得：=或=（舍去），∴的值为．（2）如图，过点G作GH⊥BC于H，∵∠C=∠ABF=90°，∴GH//CD，∵点G为EF中点，∴GH为△CFE的中位线，∴GH=CE，∵DE=x，GH=y，CD=20，∴EC=CD-DE=20-x，∴GH=（CD-DE），即y=（20-x），∴y与x的关系式为：y=x+10，∵＝，∴BG=EC，在Rt△GHB中，BH====，∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BAF+∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAF，∵∠D=∠ABF=90°，∴△DAE∽△BAF，∴，∴BF=2DE=2x，当点H在点B左侧时，∵FH=CH，∴BF-BH=BC+BH，即2x-=10+解得：x=，如图，当点H在点B右侧时，∵FH=CH，∴BF+BH=BC-BH，即2x+=10-，解得：x=，综上所述：x的值为或．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．3．在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，对角线AC、BD交于点O，E为边BC上一点，直线EO分别交边AD、射线BA于点G、F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）请判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设△BEF的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，试确定点E的位置，使得．【答案】（1）18；（2）是，定值为；（3）BE＝4【分析】（1）证明得到△ABC是边长为6的等边三角形，即可求出菱形面积；（2）利用平行线段成比例，可以得出△FAG∽△FBE，得出BF的表达式，即可求出的值，据此判断是否为定值；（3）利用（2）各边的表示方法，可以求出S1、S2的表示方法，依此列方程求解，即可得出BE的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AC，又CD＝CA＝6，∴△ABC是边长为6的等边三角形．∴＝∴S菱形＝＝18．（2）是定值，理由如下：设BE＝m，则CE＝6－m，∵AD∥BC，AO=CO∴∴AG=CE＝6－m由AG∥BE可知，△FAG∽△FBE．∴＝，＝．得FA＝，∴BF＝．∴＋＝＋＝；（3）由（2）得S1＝·m··＝，S2＝(m+6)·3＝，∴5×＝4×．解得m1＝4，m2＝－12（舍），∴当BE＝4时，＝．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．4．如图，锐角ADC，AO垂直平分BC交CD于O点，B是AD上一点，若记AOC面积为S1，BOD的面积S2，AOD的面积为S3；（1）求证：；（2）若=．①求证：BD=AC·AD；②若OA=1，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）通过证明，即可求解；（2）①过O作交于点E，作交于点F，根据三角形面积公式化简即可；②过点作，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵垂直平分，∴又∵∴∴（2）①过O作交于点E，作交于点F，如下图：由（1）知∴，即平分∴（角平分线的性质）∵，又∵，即∴∴∴②过点作，如下图：由①可得：由（1）得：由题意可得：∴，即解得，负值舍去，又∵∴∴∴由题意可得：∵∴，∴，解得：，【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．5．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时，＝．（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．【答案】（1）8；（2）不会改变，理由见解析；（3）．【分析】（1）由题意易证得，然后由相似三角形的性质即可求得答案；（2）不会改变，关键还是证，已知一组角，再证明，由此可证得两三角形相似，因此结论不变；（3）首先可得当，即时，，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，再根据即可求得答案．【详解】解：（1），，．．，，斜边中点为，，；故答案为：8；（2）的值不会改变，理由如下：在与中，，∴，∵，∴，，．．；∴的值不会改变；（3）当，即时，，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，，由（2）知：，∴，则，与的函数关系式为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及反比例函数等知识的综合应用．此题难度较大，注意数形结合思想与函数思想的应用．6．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发在边AB上向点B匀速运动，同时点Q从点A出发在边AD上向点D匀速运动，速度都是1cm/s，运动时间是ts（），，交BD于点E，点Q关于PE的对称点是F，射线PF分别与BD，CD交于点M，N．（1）求度数，并用含t的代数式表示PE的长；（2）在点P，Q运动过程中，过点M作于点H，①求证：，②t为何值时，以点P，Q，E为顶点的三角形与相似？【答案】（1）；；（2）①见解析；②或．【分析】（1）首先根据题意得出是等腰直角三角形，然后根据对称得出，即可求出度数；根据题意证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可表示出PE的长；（2）①首先设，然后根据得出，根据相似三角形对应边成比例表示出PB的长度，即可证明出；②首先根据题意表示出BP的长度，然后分或两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∵点P，Q的速度是，∴，∴，∵点Q关于PE的对称点是F，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：；（2）①如图，设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，，∵，∴，由①可知，，∴，∴，，∴，，∴，∵以点P，Q，E为顶点的三角形与相似，且，∴或，若时，且，∴，∴，∴，∴，若时，，且，∴，∴，综上所述，当或时，以点P，Q，E为顶点的三角形与相似．【点睛】此题考查了矩形的性质，矩形中的动点问题，相似三角形的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和相似三角形的性质和判定方法．7．在菱形ABCD中，对线AC，BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P，Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点Q作EF⊥BD，交AD于点E，交CD于点F，设运动时间为t（s）．解答下列问题：（1）求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；（2）当t为何值时，线段PE∥AB?（3）设四边形CFEP的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）菱形的边长为10cm，DE=；（2）t=；（3）S=；（4）当t为4或或时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形【分析】（1）由菱形的性质，根据勾股定理计算菱形边长，利用△DEQ∽△DAO表示DE长度即可；（2）当PE∥AB时，四边形ABPE为平行四边形，利用BP=AE可得出答案；（3）利用梯形CDEP的面积减去△DEF的面积即可得到四边形CFEP的面积；（4）分三种情况讨论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，且AC=16cm，BD=12cm，∴AC⊥BD，OA=8cm，OB=6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB==10cm，即菱形的边长为10cm，∵点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s，∴DQ=t，由EF⊥BD，可得△DEQ∽△DAO，∴，即，∴DE=；（2）由（1）得：AE=AD-DE=10-，∵点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s，∴BP=2t，∵BP∥AE，当PE∥AB时，四边形ABPE为平行四边形，∴BP=AE，即2t=10-，解得：t=，∴当t=时，线段PE∥AB；（3）∵AC=16cm，BD=12cm，AB=10cm，∴由等面积可得：菱形的高h=，四边形CDEP为梯形，∴S梯形CDEP==，∵△DEQ∽△DAO，∴，即，∴QE=，∵EF⊥BD，菱形ABCD是轴对称图形，∴EF=2QE=，∴S△DEF==，∴四边形CFEP的面积：S=S梯形CDEP-S△DEF=，∴S和t的函数关系式为：S=；（4）存在，①当BP=BQ时，即2t=12-t，解得：t=4；②当PB=PQ时，∵△CBD为等腰三角形，CB=CD，∴△BPQ∽△BCD，∴，即，解得：t=；③当QB=QP时，此时△QBP∽△CBD，∴，即，解得：t=；由题意知：P点运动到终点用时：10÷2=5（s），Q点运动到终点用时：6÷1=6（s），综上所述：当t为4或或时，以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形．【点睛】本题属于四边形综合题，主要涉及到菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及数形结合思想的综合运用，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．8．如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）10-2t；（2）或；（3）或【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【详解】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)在Rt△ADH中，由勾股定理得∵DP=2tcm∴AP=AD-DP=(10-2t)cm（2）①当△APQ∽△ADB时则有∴解得：②当△APQ∽△ABD时则有∴解得：综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）①当∠QMB=90゜时，△QMB为直角三角形如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90゜∴∠PQN+∠DBH=90゜∵∠PQN+∠QPN=90゜∴∠QPN=∠DBH∴△PNQ∽△BHD∴即4QN=3PN∵PN∥DH∴△APN∽△ADH∴，∴，∴由4QN=3PN得：解得：②当∠MQB=90゜时，△QMB为直角三角形，如图则PQ∥DH∴△APQ∽△ADH∴∴即解得：综上所述，当或时，△QMB是直角三角形．【点睛】本题是相似三角形的综合应用，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论的应用．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断；（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．【详解】（1）证明：，，为边上的高，，，，是的平分线，，．（2）解：如图，作于．∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB，∵∠BFD=∠CFE，，为等腰三角形，，，∴点为的中点，，，，，，，，，，，根据，即，，，，，．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD＝BF，求证：AEF∽DEA；（3）当点E在边CD上移动时，AEG能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段DE的长；如果不能，请说明理由．【答案】（1）y＝x，（0＜x＜4）；（2）见详解；（3）或或．【分析】（1）由矩形的性质推出∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，即得∠D＝∠ABF，再由AF⊥AE得出∠EAF＝∠BAD＝90°，然后由∠EAF＝∠BAF＋∠BAE，∠BAD＝∠DAE＋∠BAE，得出∠DAE＝∠BAF，由∠D＝∠ABF，∠DAE＝∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性质得到y关于x的函数解析式，从而得出x的取值范围；（2）由AB∥CD，得出．即得FG＝EG，再由∠EAF＝90°，得AG＝FG，∠FAG＝∠AFG，∠AFE＝∠DAE，再由∠EAF＝∠D，∠AFE＝∠DAE，得△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形，此时可以推断出三种情况，一一推断即可．【详解】解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3．∴∠D＝∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝∠BAD＝90°．又∵∠EAF＝∠BAF＋∠BAE，∠BAD＝∠DAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAF．∴△DAE∽△BAF．∴，∵DE＝x，BF＝y，∴，即：y＝x．∴y关于x的函数解析式是y＝x，（0＜x＜4）；（2）∵AD＝BF，AD＝BC，∴BF＝BC．在矩形ABCD中，AB∥CD，∴，∴FG＝EG．∵∠EAF＝90°，∴AG＝FG．∴∠FAG＝∠AFG．∴∠AFE＝∠DAE．又∵∠EAF＝∠D，∴△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形．①当AG＝EG时，则∠GAE=∠GEA，∵∠EAF=90°，∴∠GAE+∠GAF=90°，∠GEA+∠AFG=90°，∴∠GAF=∠AFG，∴EG＝FG＝AG，∵AB∥CD，∴FB＝BC＝3当y＝3代入y＝x，得x＝，即：DE＝；②当AE＝GE时，过点G作GH⊥DC，∴∠EAG=∠EGA，∠DAG=∠HGA=90°，∴∠DAE=∠HGE，∵∠D=∠GHE=90°，AE＝GE∴△ADE≌△GHE，即EH＝DE＝x，GB＝HC＝4−2x，GH＝3∵△FBG∽△FCE，∴，即，解得x＝，经检验，x＝是方程的解，即DE＝；③当AG＝AE时，∵AE2＝AD2＋DE2＝9＋x2∴AG＝，∴GB＝4−，∵△FBG∽△FCE，∴，即：解得：x＝，经检验，x＝是方程的解，即DE＝．综上所述：DE的值为：或或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质和一次函数的综合运用．掌握相似三角形的判定和性质，和分类讨论思想方法是解题的关键．11．（问题）如图①，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE，CA交于点F，若DEEF，AB4，求AE的长．（提示：如图②，过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比，从而得到AE的长．请你按照这个思路完成解答．）（探究）在原问题的条件下，可以得到AF和AC的数量关系是．（拓展）如图③，在△ABC中，AD是中线，点E在线段AD上，且AE∶AD1∶3，连结BE并延长，交AC于点F，若，则．【答案】（1）1；（2）；（3）14【分析】（1）过点E作EH∥BC交AC于H，证明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，进而即可得到结论；（2）过点A作AM∥BC，交DF于点M，证明△AEM∽△BED，△AFM∽△CFD，即可得到结论；（3）作EG∥BC，FH∥BC，证明△AEG∽△ADC，△FEG∽△FBC，△FEH∽△BED，设DE=5EH=5x，可得，，进而即可求解．【详解】（1）解：如图，过点E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE＝EF，∴，∵BD＝DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB＝4，∴AE＝1；（2）过点A作AM∥BC，交DF于点M，∴△AEM∽△BED，∴，∵BD=CD，∴，∵AM∥BC，∴△AFM∽△CFD，∴，∴，故答案是：；（3）作EG∥BC，FH∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴，∵△FEG∽△FBC，BC=2DC，∴，∵△FEH∽△BED，∴，设DE=5EH=5x，∵AE∶AD1∶3，∴AD=3AE，∴DE=2AE，∴AE=2.5x，∴AH=1.5x，∴，∴×1=，∵△AHF∽△ADC，∴，∴=×25=15，∴15-1=14，故答案是：14．【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及到了相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．12．如图，矩形中，，，动点在边上，与点、不重合，过点作的垂线，交直线于点．设，．（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．（2）若点在线段上，当时，求的长．（3）若直线与线段延长线交于点，当与相似时，求的长．【答案】（1），；（2）或；（3）或【分析】（1）易证，然后运用相似三角形的性质即可得到与的关系，然后根据的范围就可得到的范围；（2）由于点的位置不确定，需分点在线段及点在线段的延长线上两种情况进行讨论，然后利用与的关系即可解决问题；（3）由可得，因而在和中，点与点是对应点，故当与相似时，可分和两种情况进行讨论，然后只需用的代数式表示、、，再运用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，四边形是矩形，，．又，，，，，，即．点在线段上，与点、不重合，，，即，，；（2）①当点线段上时，，，此时；②当点线段延长线上时，，，此时；当时，的长为或；（3）在中，，在中，，四边形是矩形，，，，．，，当与相似时，可分以下两种情况讨论：①，如图2，则有，，，解得：．②若，如图3，则有，，，整理得：，解得：，（舍去）．综上所述：的长为或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，对运算能力的要求比较高，解题的关键是当点的位置不确定、相似三角形的对应关系不确定时，常常需要分类讨论，避免出现漏解的现象．13．已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．（1）当t为何值时，是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或5s；（2）；（3）存在，【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，证得，再根据相似三角形的性质得到t的值，②当AP=AO=t=5，③当时，从而得到结论；（2）先证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，再证得△AOP≌COE，证得AP=EC=t，得出△OEC的面积，从而可求五边形OECQF的面积．（3）过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质得到，据勾股定理得到，由三角形的面积公式得到，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，∴AC=10，，点O到AD的距离为3，当为等腰三角形时，分三种情况讨论：当AP=PO=t时过P作PM⊥AO，如图1所示：∴，∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴∴，∴；②当；③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去．综上所述，当或5s时，为等腰三角形（2）在矩形ABCD中，，，∴∵，∴，∴，在矩形ABCD中，AD//BC，AO=CO，又得∠AOP=∠COE，∴∠PAO=∠ECO，∴△AOP≌COE，∴AP=EC=t，∴，∴（3）存在，理由如下：如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，在矩形ABCD中，，，∴，∵∠POD=∠COD，∴，∴∵∴OP•DM=3PD，∴∴∵PD2=PM2+DM2，∴解得：t=16（不合题意，舍去），∴当时，OD平分∠COP．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．14．（探究）如图①，在中，点、、分别在边、、上，，．（1）求证：．（2）若、的面积分别为和，则的值为______．（拓展）如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______．【答案】（1）见解析；（2）；拓展：27【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形BFED是平行四边形，得出BF=DE，由EF∥AB证出，从而得出，由DE∥BC得出∠AED=∠C，根据SAS判定两个三角形相似；（2）根据相似三角形的性质，相似比的平方等于面积比，求出对应边的比值；拓展过D作DM∥AC交BC于点M，先证明△ADE≌△EGC，求出△BDM的面积，在证明△ADE∽△BDM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AD与BD的比值，最后求出△ABC的面积．【详解】（1）∵EF∥AB，DE∥BC，∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C，∴BF=DE，∵EF∥AB，∴，∴，∵∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC（SAS）．（2）∵△ADE∽△EFC，∴．【拓展】．如图，过点D作DM∥AC交BC于点M，∴∠DMF=∠C，∵DE∥BC，DF∥EG，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF=EG，∠DFM=∠EGC，∵∠DFM=∠C，∴△AFM≌△EGC（AAS），∴S△DFM=S△EGC=5，∴S△BDM=S△DFM+S△DBF=12，∵DE∥BC，DF∥EG，∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠A，∴△DAE∽△BDM（AA），∴，∴，∴，同理可证△ADE∽△ABC，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似比的平方等于面积比求出答案即可．15．如图，中，，，．动点从点出发，在边上以的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动时间为，连接．（1）当为何值时，与相似？（2）连接，，如图1所示，若，求的值．（3）当为何值时，是等腰三角形？【答案】（1）当为或时，与相似；（2）；（3）当为或或时，是等腰三角形．【分析】（1）若与相似，分和两种情况，根据线段比例关系得出关于的等量关系式，分别求解即可；（2）过作于点，证,根据线段比例关系得出关于的等量关系式，求出此时的值即可；（3）若是等腰三角形，则分,,三种情况分别求出值即可．【详解】解：（1），，，，由题意知，，，，①当时，，，即，解得；②当时，，，即，解得；综上，当为或时，与相似；（2）过作于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得；（3）若是等腰三角形，可分以下三种情况：①当时，由（1）知，，，即，解得；②当时，作于，，，，即，解得；③当时，作于，，，，即，解得；综上，当为或或时，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质是解题的关键．16．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．（1）求证：DH＝CE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当时，值为．（直接写答案）【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由题意可得，根据可证明，即可求解；（2）由以及，可得，，即，则，即可求解；（3）设，则，，求出和，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵四边形为正方形∴，，∴∵∴∴∴在和中∴∴（2）∵∴，∵点E是CD的中点∴又∵∴又∵∴∴∴∴即（3）当，则，∵，∴由正方形的性质可得平分，∴到、距离相等，∴由（2）得∴∴，设，则，∴∴∵∴∴∴【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．17．如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点．（1）求的长；（2）连接，当时，求的长；（3）连接，当和相似时，请直接写出的长．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度即可；（2）过点作,垂足为，容易证得,设，根据相似的性质可求出的值即可得出结果；（3）由（2）得，设，根据相似的性质可求出的值，在解题时要注意分类讨论．【详解】解：（1）∵在直角中，，，，∴；（2）过点作,垂足为，∵,∴,∴，设，∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴，化简，得，解得：(负值舍去),∴；（3）由（2）得，设，∵,∴,∵,∴,∴,当和相似时，有两种情况：①,∴,即，解得，∴；②,∴,即，解得，∴，综上：当和相似时，的长为或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）如图①，连接PQ，直接写出t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ACB相似．（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ＝PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）存在，；（3）不存在，理由见解析【分析】(1)先根据勾股定理求出AB，由运动知，，分两种情况，①当时，②当时，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；(2)如图，过P点作于M点，利用求出CQ，再利用求出QM，利用求出AM，最后通过，列式求解即可；(3)假设线段BC上存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，通过得到列式可求出的值，再推出的值，即可得到PQ≠PB判断出平行四边形PQGB不可能是菱形，即可得出结果．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，cm，由运动知，，以A、P、Q为顶点的三角形与△ACB相似，①当时，解得；②当时，解得，故答案为：或；（2）存在，如图，过P点作于M点，，PQ＝PC，，，（3）不存在，，假设线段BC上存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，平行四边形PQGB不可能是菱形，线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解本题的关键是用方程的思想解决问题．19．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t＝时，BP长为cm，AQ长为cm；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，当t=秒时，PQ平分∠APC；（3）t=或t=时，△PQE是直角三角形．【分析】（1）根据题意可直接写出；（2）根据角平分线性质，得出AP=AQ，运用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三种情况讨论：①当∠QEP=90°时，先证明△QDE∽△ECP，根据相似三角形性质建立方程求解即可；②当∠PQE=90°时，如图4，过点P作线段PI⊥AD于点I，根据△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；③当∠QPE=90°，不满足题意．【详解】解：（1）由题意知：vP=2cm/s，vQ=1cm/s且P、Q运动时间均为ts，∴BP=2t(cm)，DQ=tcm，∴AQ=AD-DQ=8-t，当时，故答案为：（2）如图1，当PQ平分∠APC，则有∠APQ=∠CPQ，∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴AD∥BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠B=90°，∴∠CPQ=∠AQP，∴∠APQ=∠AQP=∠CPQ，∴AP=AQ，∴AP2=AQ2，∵∠B=90°，∴AP2=AB2+BP2=62+（2t）2，∴62+（2t）2=（8-t）2，解得：t1=，t2=，∵0＜t＜4，∴t=，即：当t=秒时，PQ平分∠APC；（3）①当∠QEP=90°，如图，∵QE∥AC，∴△DQE∽△DAC，∴，当运动时间为ts时，QD=tcm，∴DE=t(cm)，EC=DC-DE=（6-t）cm，BP=2tcm，CP=（8-2t）cm，∵∠QED+∠EQD=90°，∠CEP+∠EQD=90°，∴∠CEP=∠EQD，又∵∠QDE=∠ECP=90°，∴△QDE∽△ECP，∴，即，解得：t=或t=0∵0＜t＜，故t=0舍去，∴t=；②当∠PQE=90°时，如图，过点P作线段PI⊥AD于点I，∵∠EQD+∠PQI=90°，∠QED+∠EQD=90°，∴∠PQI=∠QED，又∵∠QDE=∠PIQ=90°，∴△QDE∽△PIQ，当运动时间为ts时，QD=tcm，由（2）可知，DE=t(cm)，BP=AI=2t(cm)，∴QI=AD-QD-AI=8-t-2t=（8-3t）cm，PI=AB=6cm，∴，即，解得：t=或t=0，∵0＜t＜，故t=0舍去，∴t=；③当∠QPE=90°，不满足题意，综上所述，t=或t=时，△PQE是直角三角形．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用方程思想和分类讨论思想思考问题是解题关键．20．如图，已知矩形中，，．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（），连接BQ、AP，若，求t的值；（2）若点Q在对角线AC上，，动点P从B点出发，以每秒的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的t的值．【答案】（1）；（2）4或1.6或5.5．【分析】（1）根据，，可得；再根据得到，则有，即：，求得的值即可；（2）分为三种情况讨论：当时，当时，当时，分别根据等腰三角形的性质，求得的长，进而得到的值．【详解】解：如图示，∵，，∴当时，，∴，即：解之得：；（2）分为三种情况：①如图1所示，当时，，秒；②如图2所示，当时，过作于，则，，即，解得，，，，，秒；③如图3所示，当时，过作于，则，，，，，即，，，秒．综上所述，从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用是解决问题的关键．21．如图，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC．点F在AC上，点E在BF上，BE=2EF．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°．（1）证明：；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如图2，若，求的值（用含k的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据等角的补角相等证明即可；（2）如图2中，过点C做∠ACM=∠ABE，交AD于点M．证明△AEB∽△AMC，可得，因为AB=kAC，推出AM=AE，CM=BE，CM=FE，再证明△DCM∽△AFE，可得，求出DM即可解决问题；（3）如图3中，过点B做BN∥AC交AE延长线于点N．，证明△AHC∽DHA，推出AH2=HC•DH，，可得AD=AC，由AB=kAC，推出AD=AB，由，可得AE=AB，设AH=2a，AB=BC=b，推出DH=3a，AE=b，再证明△ADH∽△NBH’，推出，可得，推出9b2-12ab-20a2k2=0，求出b与k的关系，可得结论．【详解】（1）证明：如图1中，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：如图2中，过点C作，交于点M．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图3中，过点B作BN∥AC交延长线于点N．∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，设，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴由（2）知，，∵，∴∴，∴，∴（舍），，∴．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：EQF是等腰直角三角形．（2）连接EP，当EPC的面积为3cm2，求t值．（3）当EF⊥AC时，求运动时间t．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）通过计算发现EQ=FQ=6即可证明；（2）由题意可分别得到BE、DF、CQ的长，再易得△CPQ∽△CAB，从而可求得PQ的长，则由面积关系可得关于t的方程，解方程即可；（3）设AC、EF交于点G，可分别得到△CGE∽△CBA及△AGF∽△ADC，从而可分别求得CG、AG，再由AG+CG=AC建立方程，即可求得t的值．【详解】（1）由题意得：，∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠B=∠D=∠BCD=90゜∵FQ⊥BC∴∠FQC=90゜∴∠D=∠BCD=∠FQC=∠DFQ=90゜∴四边形CDFQ为矩形∴即EQ=FQ，且FQ⊥BC∴△EQF是等腰直角三角形（2）由题意及（1）知，BE=2tcm，DF=CQ=tcm∴CE=BC-BE=(8-2t)cm∵∠B=∠FQC=90゜∴FQ∥AB∴△CPQ∽△CAB∴∴∵∴化简得:解得：即当当EPC的面积为3cm2，t的值为2（3）如图，设AC与EF交于点G∵EF⊥AC∴∠CGE=∠AGF=90゜∴∠CGE=∠B=90゜∵∠GCE=∠BCA∴△CGE∽△CBA∴由题意得：BE=2tcm，DF=tcm∴CE=BC-BE=(8-2t)cm，AF=(8-t)cm由勾股定理得：∴同理：△AGF∽△ADC∴∵AG+CG=AC∴解得：即当EF⊥AC时，运动时间为秒【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，解一元二次方程等知识，把问题转化为方程解决是本题的关键．23．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：（1）当为___________时，？（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE=，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE=6-，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t=，∴当t=时，PQ∥AB；故答案为：；（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴，即，∴，∵PE∥BD，∴，即，∴，∴y=S四边形APQB-S△BEQ=；（3）如图：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴，即，∴，∵点E在线段PQ的垂直平分线上，∴EQ=，由（2）得，∴，∴，Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴，即t2+2t-4=0，解得：（舍去），∴当t=时，点E在PQ的垂直平分线上；（4）连接FF'交AB于点N，∵点F关于AB的对称点为F′，∴∠FEB=∠F′EB，FN⊥EB，∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴，∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴，∴，解得：t=，∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．24．如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形，为的中点，将沿直线对折，使点落在处，连接，过点作于．（1）写出点、、的坐标；（2）判断与是否相似，若是，请给出证明；（3）求点的坐标．【答案】（1）、、；（2），见解析；（3）【分析】（1）因为正方形的四边都相等，所以，，点的坐标结合图很好写出；（2），由于和关于对称，故有．再根据同角的余角相等，可得，再加上一对直角，那么两个三角形相似．（3）先利用勾股定理求出，即是，再利用相似比可求出，，的值，故可求出的坐标．【详解】解：（1），、、．（2），证明：如图：四边形是正方形，．又，．．又根据对称性质可知：于点，在中，．在中，，．，（3）是的中点，．在中，．又是斜边上的高，．．又，．．，．．【点睛】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．25．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．（1）用含的代数式表示；（2）当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值；（3）如图（2），延长，，两延长线相交于点．当为直角三角形时，求的值．【答案】（1）；（2）s或s；（3）或【分析】（1）作于，可得四边形是矩形，根据矩形性质和勾股定理求解即可；（2）根据相似三角形的性质分①当时；②当时分别求解即可；（3）分两种情况求解：①当时，即为直角三角形，作于，于，根据相似三角形的判定证明和，由相似三角形的性质列方程求得t值；②当时，即为直角三角形，根据相似三角形的判定证明，根据相似三角形的性质列方程求解t值即可解答【详解】解：（1）如图（1），过D作于，则四边形是矩形，∴，，∴，，由题意，．（2）①当时，得，解得：，∴当时，以点，，为顶点的三角形与相似．②当时，，解得：，∴当时，以点，，为顶点的三角形与相似．综上所述，当s或s时，以点，，为顶点的三角形与相似．（3）①当时，即为直角三角形．如图（2），过作于，过D作于，∴，∵当时，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∴，∴，解得：，经检验：是分式方程的解，∴当时，，即为直角三角形．②当时，即为直角三角形，如图（3）所示，作于，∴=90°，又，∴，∴，∴，解得，经检验：是分式方程的解，∴当时，，即为直角三角形．综上所述，当或时，为直角三角形．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解分式方程等知识，解答的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，注意分类讨论的思想的应用．26．如图，在中，，P，D分别是BC，AC边上的点，且．若，，当为直角三角形时，求BP的长．【答案】或8【分析】方法1：要使为直角三角形，有两种情形可证，利用“一线三等角”结构，证明△PAD∽△CEA．方法2：识别“母子型相似”结构．由，可得．则，即；要使为直角三角形，有两种情形．方法3：先作于点E．①如图，∠PAD=90°，由，，利用等腰三角形性质求出，勾股定理求出，证明△APE∽△CAE，可得，根据比例设，代入比例式求，②当∠ADP=90°时，证点P与点E重合即可．【详解】妙解1如图2，要使为直角三角形，有两种情形：①当时，如答图1，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PAD=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CEA，∴在中有，故有，则，从而；②当时，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PDA=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CAE，∴如答图，在中有，故有，则，从而；综上所述，当为直角三角形时，或8.妙解2由，可得．则，即；①当时，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PAD=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CEA，∴如答图，“眼中有角心中有比”，可设，．则有，解得（舍去），故．再由，易得．从而有；②当时，如答图，作AE⊥BC于E，由不变角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PDA=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CAE，∴∴PD·AC=AP·CE，又∵∠PAC=∠PAD，∠APD=∠C，∴△APD∽△ACP，∴∴AP2=AD·AC，如答图，在中有可设，．AP=5t,则有，解得，（舍去），故．再由，．从而有；综上所述，当为直角三角形时，或8.妙解3①如图4，∠PAD=90°，先作于点E．由，∴，∴.∵∠PAD=90°；∴∠PAE+∠CAE=90°，∵，∴∠APE+∠PAE=90°，∠AEP=∠AEC=90°，∴∠APE=∠CEA，∴△APE∽△CAE，∴设，∴∴∴BP=8-．②当∠ADP=90°时，作AE⊥BC于E，∵∠ADP=∠AEC=90°，∠APD=∠C，∴△APD∽△ACP，∴∠PAD=∠EAC，∴点P与点E重合，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=CE=BP=综上所述，当为直角三角形时，或8.【点睛】本题属直角三角形存在性问题，需狠抓其不变角，以直角为标准，分两类情形考虑，巧施三角比，结合“一线三等角”结构的相似比来解决．27．已知：如图，在中，，，，点P从A点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为．设运动时间为．解答下列问题：（1）当t为何值时，？（2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）时，；（2）存在，当时，；（3）存在，当t等于2或或时，为等腰三角形．【分析】（1）在中，由勾股定理得：，再根据得出即，求解即可；（2）作于点D，由，，得，所以，即，求得：，面积为，根据，则，即：，整理得：，求解即可；（3）需要进行分类讨论：当时，；当时，作于点D，先证明，所以，即，根据，得出，求解即可；当时，作于点E，证明，所以，即，解得，再根据，，解得．【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：∵∴即，解得；（2）作于点D，∵，，∴，所以，即，解得：，所以，是面积，∵，则，即：，整理得：，解得，∴当时，；（3）当时，，∴；当时，作于点D，∵，∴所以，即∵，，解得；当时，作于点E，∵，∴，所以，即，，∵，，解得；所以，当t等于2或或时，为等腰三角形．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，利用分类讨论的思想进行求解．28．在中，，E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，当时，将绕点C逆时针旋转90°得到，点E的对应点F落在BC延长线上，求证：；（2）过点C作，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q．①如图2，若，求证：；②如图3，若，，，求AP的长（用含a、k的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②【分析】（1）延长交于点，根据互余得出角的关系，再利用垂直的定义解答即可；（2）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答即可；（3）根据相似三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）如图1，延长交于点，由题可得：，，，，，，；（2）过点作交的延长线于点，如图2，，，，，，，，在与中，，，，，，，；（3）过作于，，，，，，，，，，【点睛】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答．29．如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC为边作正方形BCDE，点P从点A出发，沿ABE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）如图2，连接PQ，交BC于点F，是否存在某一时刻t，使△BFP与△QFC相似？（3）用含t的代数式表示出五边形PEDCQ的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意得，，由勾股定理求出AC=13cm，则，再证明，得到即，由此求解即可；（2）先根据相似三角形的判定条件得到∠FQC=∠FBP=90°，从而证明△APQ∽△ACB，即，由此求解即可；（3）过点Q作QM⊥AB于M，则可证△AMQ∽△ABC，得到即，则，再由进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得，，∵在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，∴，∴，∵，∴，∴即，解得；（2）∵∠BFP=∠QFC，∴要使得△BFP与△QFC相似，那么必有另一组对应角相等，∵∠ABC=∠PBF=90°，∠QCF≠90°，∴∠FQC=∠FBP=90°，∴∠FCQ=∠FPB，∠AQP=∠ABC=90°∴△APQ∽△ACB，∴即，解得；（3）过点Q作QM⊥AB于M，∴∠AMQ=∠ABC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMQ∽△ABC，∴即，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．30．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，【分析】（1）当四边形为矩形时，，利用相似三角形的性质求出，，构建方程求解即可；（2）证明，由相似的性质得出，，由此构建方程求解即可；（3）根据矩形的面积是四边形面积的，构建方程求解即可．【详解】解：（1），，，由题可得：，，，四边形是矩形，，，，，，，即，，，当四边形为矩形时，，，解得：，当时，四边形为矩形；（2）存在一个时刻，使，当时，，，，，，，即，，解得：，当时，；（3）存在，由题意得：，解得：或（舍去），当时，矩形的面积是四边形面积的．【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键．31．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；（2）求证：△ABF∽△CEB；（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析．【分析】（1）根据BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，进而得出∠AEB=∠BFC，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS证明两个三角形全等；（2）根据正方形的性质和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA证明两个三角形相似；（3）根据已知和正方形的性质，对顶角的性质得出△BEF∽△CGF，得出边的比例关系，根据边的比例关系转换和对顶角的性质得出△EFG∽△BFC，进而得出∠BGE=45°，得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．∴∠AEB=∠CFB．∴△ABE≌△CBF．∴AE=CF．（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=+∠ABE，∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，∴∠BEC=∠ABF．∵∠BAF=∠BCE=，∴△ABF∽△CEB．（3）答：EB=EG，BE⊥EG理由如下：如图.∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，∴△BEF∽△CGF∴.即.∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC.∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF=∠EGF=45°.∴EB=EG，∠BEG=90°∴EB=EG，BE⊥EG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，根据三角形相似得出的比例关系的转换关系和题中的图中的条件，判定另一组三角形相似，灵活运用相关知识进行解答．32．（感知）小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：如图，在中，，D为BC上一点，过点D作，交AC于点E．求证：∽．小明同学分析后发现，是的外角，可得，再结合已知条件可以得到∽．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．（探究）在中，，，D为BC上一点．（1）如图②，过点D作，交AC于点E．当时，AD的长为______．（2）如图③，过点D作，分别交AB、AC于点F、E．当时，BF的长的取值范围为______．【答案】[感知]见解析；[探究]（1）；（2）【分析】[感知]根据题意，证明，结合已知条件，即可得证；[探究]（1）由可得，进而由已知条件，可得，根据等角对等边可得设，则，，根据，可得，列出比例式求得，由，列出比例式求得，进而可得方程，解方程求解即可；（2）根据题意，当与点重合时，证明，列出比例式求得，即求得的最小值，当当与点重合时，即可求得的最大值，进而求得的取值范围．【详解】[感知]证明：，是的外角，[探究]（1）设，则，即即解得故答案为：（2）当与点重合时，如图，解得当与点重合时，，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．33．已知，在ABC中，D是BC上一点，AB＝AD．（1）如图1，当BD＝CD，F是AD中点时，连BF并延长交AC于E．①判断ABC与BFD是否相似，并说明理由．②连接DE，求证：DE⊥BC．（2）在（1）的条件下，当时，求∠BAC的度数．（3）如图2，当BD＝2CD时，作DE⊥BC交AC于E，连BE交AD于F，求AF：FD的值．【答案】（1）①相似，见解析；②见解析；（2）∠BAC＝90°；（3）【分析】（1）①利用两组边对应成比例且夹角相等即可证明；②根据可得，由此可得，再根据等腰三角形的三线合一即可证得DE⊥BC；（2）由可得，，由此可证得，由此可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后再根据即可得证；（3）过点A作AH⊥BD，垂足为点H，交BF于点G，先证明BH＝DH＝CD，再根据相似三角形的判定与性质即可求得，，由此即可求得答案．【详解】解：（1）①，理由如下：∵AB＝AD，∴，∵F是AD中点，∴，∴，∵BD＝CD，∴，∴，又∵，∴；②如图，连接DE，由①得：，∴，∴，又∵BD＝CD，∴DE⊥BC；（2）∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵，BD＝CD，∴DE平分∠BEC，∴，∴，∵DE⊥BC，∴，∴，∴，∴；（3）如图，过点A作AH⊥BD，垂足为点H，交BF于点G，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝DH，又∵BD＝2CD，∴BH＝DH＝CD，∵AH⊥BD，DE⊥BC，∴，∴，，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴AF：FD的值为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等相关知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．34．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．【答案】（1）证明见解析，（2）作图见解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．【详解】（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m(a-an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F为AD的中点，∴即．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题35．（1）（问题背景）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN（A，M，N按逆时针方向排列），连接CN，求证：AC=CM+CN（2）（变式探究）如图2，已知△ABC∽△ADE，请指出图中的另外一对相似三角形并进行证明；（3）（拓展应用）如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数．【答案】（1）见解析；（2）△ABD∽△ACE，理由见解析；（3）=∠DCE=90°【分析】（1）由△ABC与△AMN均为等边三角形可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，再证△BAM≌△CAN（SAS），可得BM=CN即可；（2）△ABD∽△ACE理由如下由△ABC∽△ADE，可得，可证即可；（3）由∠BAC=∠DAE=90°，利用30°角直角三角形的性质与勾股定理，BC=2AC，AB=，DE=2AE，AD=，可得，再证△BAD∽△CAE，即可．【详解】（1）证明：∵△ABC与△AMN均为等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM+∠MAC=∠CAN+∠MAC=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM=CN，∵BC=BM+MC=CN+MC，∴AC=CN+MC；（2）△ABD∽△ACE理由如下证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴，∴△ABD∽△ACE；（3）解：∵∠BAC=∠DAE=90°，在Rt△BAC中，∠ABC=30°，∴BC=2AC，AB=，，在Rt△DAE中，∠ADE=30°，∴DE=2AE,AD=，，∴，∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠DCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=90°．【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握等边三角形性质，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．36．在平行四边形中，，，的顶点在上，交直线于点．（1）如图1，若，，则_______．图1（2）如图2，在上取点，使，连接，若，求证：．图2（3）如图3，若，点关于的对称点为点，交于点，对角线、交于点，连接交于点，求的长．图3【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）证明△EBF∽△DCE，可得，由此可得结论；（2）先证明△BGE是等边三角形，再证△CDE∽△GEF，利用相似三角形的性质，即可证明；（3）先证明，从而易证明，用等积法求出CM的长，再由三角形中位线定理求得的长，根据相似三角形的性质得出，从而可得结果．【详解】（1）∵∠B=90°∴平行四边形ABCD是矩形∴∠C=∠B=90°，BC=AD=8∴∠FEB+∠BFE=90°∵∠FED=90°∴∠FEB+∠DEC=90°∴∠DEC=∠BFE∴△EBF∽△DCE∴∵CE=BC－BE=8－5=3∴∴故答案为：（2）∵BG=BE，∠B=60°，如图∴△BGE是等边三角形∴∠BGE=∠BEG=60°，GE=BE∴∠GFE+∠GEF=∠BGE=60°，∠FGE=180°－∠BGE=120°∵∠BEG+∠FED+∠GEF+∠CED=180°∴∠GEF+∠CED=60°∴∠CED=∠GFE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠C=180°－∠B=120°∴∠C=∠FGE∴△CDE∽△GEF∴∵GE=BE∴（3）∵点与C点关于BD对称∴，，∴∵∠ABC=90°∴平行四边形ABCD是矩形∴BC=AD=8，∠BCD=90°，OA=OC∴∴∵∴∴∴∥BD∴∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴OC=DO=∵∴在Rt△CMO中，由勾股定理得：∵，OA=OC∴OM是的中位线∴∴即∴【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似三角形解决问题，属于中考常考题型．37．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，点Q也