冶金过程数值模拟-Numerical-Modelling-of-Metallurgical-Processing

2025/1/39:36冶金过程数值模拟

NumericalModellingofMetallurgicalProcessing控制体与坐标系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制体与坐标系1电磁流体力学5相间传输6什么叫“数学描述”？用数学要素“数值、变量、方程（包括方程组）”来说明实际物理过程的实质！控制体：建立衡算方程时的衡算单元（对象）。一般对于黑箱模型，取研究对象整体作为衡算体，而对于白箱和灰箱模型，最重要的是需要知道其内部不同空间、不同时间的具体信息，所以控制体一般都取微元体。微元体：形状与取法决定于选定的坐标系，以便于衡算。坐标系：确定坐标系和空间维数。xyz△x△y△z控制体微元体拉格朗日法：同步运动的移动坐标系。欧拉法：固定坐标系。变量f

可以表示压力、温度、速度、密度等。一般采用欧拉法较多，因为质点流动状况是我们的主要考察内容。质点导数斯托克斯导数哈密顿算子（Hamiltonoperator）：▽，又称微分算符。对于标量T有：对于矢量A有：梯度算符作用于标量梯度算符作用于矢量控制体与坐标系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制体与坐标系1通量微分2电磁流体力学5相间传输6xyz△x△y△z控制体（微元体）通量：在空间任意位置上，单位时间内通过垂直于运动方向上单位面积的物理量。其本身是矢量性质，单位是“物理量单位/(m2·s)”。通量传输的表达xyz△x△y△z设某一物理量的通量矢量J(J=(Jx,Jy,Jz))，该通量因扩散或对流所致净流入速度为Q：x方向y方向z方向整理于是，对于单位体积控制体，有式中的“通量浓度”分别代表c(或者ρ，传质)、cpρT(传热)、

ρu(传动量)。通量传输之质量传输涡流扩散分子扩散世界气体液体流体层流，laminarflow流速小，流层不混湍流，turbulentflow流速大，流层混合剧烈，微团运动极不规则雷诺数Reynoldsnumber流速/粘度/空间2025/1/39:36通量传输之质量传输涡流扩散分子扩散有效扩散系数＝分子扩散系数+涡流扩散系数固体或层流：湍流：除上述扩散型通量，流体流动时同样存在对流型通量：u——流体运动速度菲克第一定律2025/1/39:36通量传输之动量传输涡流扩散分子扩散有效粘度＝分子粘度+涡流粘度固体或层流：湍流：除上述扩散型通量，流体流动时同样存在对流型通量：u——流体运动速度2025/1/39:36通量传输之能量传输涡流扩散分子扩散有效导热系数＝分子导热系数+涡流导热系数固体或层流：湍流：除上述扩散型导热，流体流动时同样存在对流换热：u——流体运动速度；cp——恒压热容；T——温度；H——单位体积热焓2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分通量传输之小结扩散型：对流型：单位：单位：2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分源项钢铁冶金过程可能的源项：质量传输：化学反应的质量生成速率；能量传输：反应热、相变热、感应热；动量传输：体积力和表面力。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分源项之质量生成速率对于化学反应式：某个组元（包括反应物和生成物）的生成（或消失）速度是以单位时间、单位容积内改组元生成（或消失）的摩尔数来表示，有：上式中的k1、k2及幂次a、b、c、d一般均由试验测出，而且反映常数是温度的函数。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分源项之热量生成速率A：化学反应热单反应：多反应：B：相变热Lf——单位质量钢的相变潜热；ρ——钢的密度；R——凝固前沿推进速度C：感应热σe——电导率，Ω-1·m-1；J——电流密度，A/m2。E——电场强度，V/m。欧姆定律2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分源项之体积力体积力作用于整个微元体之中的力，通常有重力和电磁场下的洛仑兹力，且以单位质量物体受力表示。对于重力：对于洛仑兹力：其中，B表示磁通密度，T。式中J×B表示两者的矢量叉积，即：式中，nJB是垂直于包含向量J和B的平面的单位矢量，其方向是J以最短路线转向B时的右手螺旋的运动方向。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分源项之表面力表面力是指控制体外表面上的力，通常表示成单位面积上的力，最具代表性的表面力便是流体中的压强。压强是流体动量传输方程中源项的一部分。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——通量微分控制体内通量浓度的净积累率＝控制体内通量浓度Φ的净积累率δΦ/δt的具体形式质量传输动量传输热量传输2025/1/39:36冶金数值——数学描述——目录控制体与坐标系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制体与坐标系1通量微分2电磁流体力学5相间传输6控制方程32025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之连续性方程(质量守恒)流体作为连续体处理，必须首先满足连续性方程——流体质量守恒方程。流体质量积累率与净流入速率相等，于是：对于直角坐标系对于稳定流条件δρ/δt＝0，流体密度为常数（所谓流体为不可压缩流体），则上述公式虽然同样适用于层流和湍流，但需要说明的是在湍流条件下，公式中的u所代表的是时均速度?等效2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之运动方程(动量守恒)运动方程的物理意义是在控制体内动量通量守恒，按照矢量式表达：说明如下：运动方程必须与连续方程同时求解；该方程在湍流条件下，u代表时均流速，而μ为有效粘度μeff(μeff=μ+μt)，必须与相应的湍流模型同时求解，后续；上式中▽·(ρuu)取的是散度的形式但并非散度，因为ρuu是一个并矢积，它有9个分量▽()代表梯度而▽·()取代表散度；体积力Fb由于代表单位质量所受的力，因此作衡算时要转化为单位体积的受力ρFb。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之运动方程(动量守恒)纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程运动方程的物理意义是在控制体内动量通量守恒，按照矢量式表达：针对上式转化为质点导数的表达形式，则：针对笛卡尔坐标系x、y、z轴继续分解得到：式中且Fx、Fy、Fz分别为体积力Fb在x、y、z方向上的分量。作业：从通量控制方程的通式推导如下完整的三维纳维尔－斯托克斯方程。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之运动方程(动量守恒)纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程运动方程的物理意义是在控制体内动量通量守恒，按照矢量式表达：如果流体为粘度不变的不可压缩流体，则：针对笛卡尔坐标系x、y、z轴继续分解得到：2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之能量方程(能量守恒)热能守恒方程的一般形式为：直角坐标系下，不可压缩流体的能量守恒方程为：如果考虑流体粘性作用所导致部分流体动能耗散而形成的热能，则：2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之能量方程(能量守恒)热能守恒方程的一般形式为：如果流体流动状态是湍流，则热导率应为有效热导率：式中：PrN——静态液相普朗特数，对于钢液，PrN≈0.2，对于气体PrN≈1；PrT——湍流下的普朗特数，对于钢液，PrT≈1。求解流体温度场必须首先已知速度场。求解自然对流条件下的速度场时，对流传热方程、流体运动方程和连续性方程要同时求解，因为温差是自然对流产生的原因所在。求解固体内部温度场时，以上诸式同样适用，所不同的是所有的速度项均为零。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之溶质守恒方程流体中的质量传输方程的一般形式：直角坐标系下：式中，质量浓度cA（单位为kg/m3）亦可由组分A的质量分数wA表示（cA=ρwA）。在求解湍流流动下的溶质浓度分布时，上两式中的扩散系数D应由有效扩散系数Deff代替：2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之小结回过头来看看前面所述的控制方程，无论是连续性方程、运动方程、能量方程或者溶质方程，他们的形式非常类似，于是我们自然想到建立一个控制方程通式，这样既帮助我们记忆、理解相关原理（比如三传现象的相似性），而且可以通过设计通用的求解程序让工作变得更加简单且移植性较强。用Φ表示通量，则通用的微分方程为式中，Γ——通用扩散系数；S——源项。“div”表示散度，对应前面所述的哈密顿算符作用于矢量，“grad”表示梯度，对应哈密顿算符作用于标量或者矢量。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之小结控制方程ΦΓS备注连续性方程100溶质守恒方程ci(wi)DiRi质量浓度(质量分数)运动方程uμeffρFb-

▽pμeff=μ+μt热量方程cpTλeffqλeff=λ+λt湍流动能κμeff/PrκG-ρεPrκ=1.0湍流动能耗散速度εμeff/PrεC1εG/κ-C2ρε/κPrε=1.3;C1=1.44;C2=1.922025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之边界条件及初始条件只有具备足够数量的赋值（或关系式），微分方程才能有特解。一般非稳态方程要求有一个初始条件。方程数目根据变量个数确定，而边界条件数目则由方程中变量的导数阶次和个数共同决定，每个n阶导数需要n个边界条件。一般边界条件取决于局部条件，边界条件的典型类别有：一类边界条件：直接给定边界上因变量的数值。如研究流体流动时常设流体与固体边界无相互滑移，即固－液界面处u=0。二类边界条件：边界上存在通量连续条件。如分析钢锭模向外散热时有式中，ε——锭模表面发射率；σ——斯芯藩－玻尔兹曼常数；T0——环境温度；Ta——模表面温度。三类边界条件：直接给定边界传输通量。如钢包中心线两侧钢液的动能耗散通量为零。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——控制方程控制方程之边界条件及初始条件边界条件的具体形式质量（动量、能量）衡算具体表达举例（1）边界上浓度（速度、温度）一定C=C0;u=0;Tx=0=T0（2）边界上质量（动量、热量）通量连续[Ni]x=0-=[Ni]x=0+;液液界面τ连续;[q]x=0-=[q]x=0+（3）边界两侧浓度（速度、温度）有函数关系[Ci]x=0-=f([ci]x=0+);[u]x=0-=[u]x=0+;[T]x=0-=[T]x=0+;（4）边界上质量（热量）通量可由试验确定[Ni]x=0=k(ci-ci*);;[q]x=0=h(Ti-Ti*)（5）边界上质量（动量、热量）通量一定[Ni]x=0=0;气液界面动量通量近似为零;[q]x=0=q0第四条中试验确定只能针对质量通量和热量通量，动量通量无法测量。除上述边界条件和初始条件外，还有几何条件和物理条件。几何条件是指传输空间的几何形状和大小；物理条件是指传输介质的物性参数（如流体密度、粘度值及热容－温度关系等）。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——目录控制体与坐标系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制体与坐标系1通量微分2电磁流体力学5相间传输6控制方程3湍流模型42025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型对钢铁冶金而言，湍流特征的描述应当摆在突出位置，因为钢铁冶金过程所涉及的流动问题大多数是湍流问题，一是因为钢液、熔渣等高温流体都是高粘度流体，二是这些流体（包括很多气体）的流动都是高速流动，从它们的粘度和速度计算得到的雷诺数都非常高。描述这些湍流的目的就是为了求解速度场，确切地说，就是通过给定适当的系数来描述湍流条件下的混合效果，以便进一步利用纳维尔－斯托克斯方程求解湍流速度场。从模型设计者的角度，就是找到湍流条件下有效传输系数的途径。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之湍流特性及其描述雷诺数：衡量作用于流体上的惯性力与黏性力相对大小的一个无量纲相似参数，用Re表示，即式中ρ—流体密度；v—流场中的特征速度；L—特征长度；μ——流体的动力粘度。一般管道Re＜2000为层流状态，Re＞4000为紊流状态，Re＝2000～4000为过渡状态。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之湍流特性及其描述tui湍流流动的随机脉动粘性流体以高雷诺数流动时会产生湍流，而湍流会导致流体中各个质点流速的三维随机脉动。如果我们取时均速度，则某一点的瞬时速度就可以表示成时均速度和脉动速度之和：压力也有类似分解。代入到不可压缩且粘度恒定的纳维尔－斯托克斯方程，并将方程两边对时间取平均，得到雷诺应力2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之湍流特性及其描述雷诺应力可以通过剪切力的表达进行转换求解：其中，μt为涡流粘度或表观湍流粘度。前面已经介绍过，流体的有效粘度、有效扩散系数以及有效热导率都是由两部分组成：分子传输系数和涡流传输系数。而其中的涡流扩散系数和涡流热导率可以分别表示成：其中，ScT、PrT分别为湍流施密特数和湍流普朗特数。显然，一旦涡流粘度知道，涡流扩散系数和涡流热导率就可求。这些有效传输系数知道，流场自然可求。求μt一般采用的有三种方法：普朗特混合长理论（零方程模型）、κ方程模型（单方程模型）和κ－ε双方程模型，以及后一种方法的变体。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之普朗特混合长模型对于粘性流体，如果湍流微团从某一层中由于脉动的作用而到达速度不同的另一层，微团运动过程中经历了lm距离，且这一运动导致目标层的扰动，则随机湍流速度ut可表达为：其中，为x方向时均速度在y方向上的速度梯度的绝对值，lm为特征混合长度。该模型被称为零方程模型，因为它是以代数方程表示特征量的。混合长模型的一大特点是不必求解与μt有关的微分方程，只需要确定混合长（但相当困难），但该模型仅限于简单流场的描述，复杂流场（如环流）无能为力。进而，普朗特提出涡流粘度可以表达为2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之κ方程模型我们已知μt=ρlmut，而湍流流动速度与湍流动能的平方根成正比，及湍流脉动速度ut有式中κ为湍流脉动动能，，于是，涡流粘度可以表达为：式中Cμ为经验常数，κ的数值由湍流能量衡算得到。例如，在x方向流动的湍流边界层中，如假设流动属稳态，其湍流能量守恒方程为(κ的对流传递)(湍流扩散)

(生成)(耗散)式中CD——流量系数，Prκ——湍流动能的普朗特数。与零方程一样，κ方程模型同样需要首先确定混合长度，这就对研究诸如气体搅拌钢铁等环流过程构成了障碍。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之κ－ε双方程模型这一模型的基本出发点是以特征能量和特征耗散速率来表示对特征长度的函数关系，即：式中κ——湍流脉动动能；ε——湍流脉动动能的耗散率。只要确定湍流脉动动能κ和耗散速率ε，则涡流粘度有解。由脉动动量方程推导可以得到描述κ和ε的偏微分方程为式中Gκ为湍流脉动动能κ的产生速率，Cμ、C1及C2都是经验常数，Prκ、Prε分别为湍流动能和动能耗散速率的普朗特数。一般取2025/1/39:36冶金数值——数学描述——湍流模型湍流模型之κ－ε双方程模型将κ－ε方程写成张量分量形式，则有在κ－ε方程中包含速度项，可见湍流条件下求解速度场需要将连续性方程、运动方程及湍流κ－ε方程联立求解。求解运动方程获得速度场求解κ、ε方程获得涡流粘度分布收敛？结束YesNo……以涡流粘度为前提求解速度场、温度场等2025/1/39:36冶金数值——数学描述——目录控制体与坐标系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制体与坐标系1通量微分2电磁流体力学5相间传输6控制方程3湍流模型4电磁流体力学52025/1/39:36冶金数值——数学描述——电磁流体力学对钢铁冶金而言，电磁场的应用由来已久。本质上，冶金过程应用电磁技术主要目的是利用电磁场来控制流体流动或供给电能并将电能转化为热能。电磁场应用领域的不同决定了所选定的电磁场具有不同的性质。目前主要的电磁应用领域（钢铁冶金范畴）及电磁特性列于下表。目的场特性工艺过程利用磁场移动交流磁场(几个Hz~60Hz)连铸电磁搅拌;ASEA-SKF炉;水口流速控制交流磁场(60Hz~MHz)无芯感应炉;电磁铸机(无模铸造)直流磁场电磁制动;液态金属流动变形;薄箔边缘形状控制利用电场交流电场电渣重熔;电弧炉直流电场电渣重熔;电弧炉利用磁场和电场耦合直流－直流电磁搅拌;电渣炉内搅拌;凝固结构控制直流－交流抑制电渣炉中流动;控制气泡生成交流－交流凝固结构控制;电渣炉电磁搅拌2025/1/39:36冶金数值——数学描述——电磁流体力学麦克斯韦(Maxwell)方程和欧姆(Ohm)定律麦克斯韦方程：欧姆定律：其中，B——磁通密度；E——电场强度；J——电流密度；u——流体速度；μm——磁导率；σe——电导率。驱动流体的电磁力（洛仑兹力）为电磁场同样可以起到加热作用，考虑其加热效果时要在能量方程中附加J2/σe这一热源项，即运动方程：能量方程：上两式表明，流场和磁场是相互耦合的。一般认为，电磁场影响速度场，而许多场合速度场几乎对电磁场没有影响，意味着磁雷诺数Rem=μmσeuL《1（其中u、L分别为特征速度和特征长度）。法拉第定律安培定律高斯定律2025/1/39:36冶金数值——数学描述——电磁流体力学举例1：直流磁场的作用OxyzJzByfxux如图，在y方向施加直流磁场By，流体沿x方向流动而在z方向感应出感生电流Jz：磁场继续作用于感生电流在x方向上产生洛仑兹力fx：两次作用的方向判断都用到右手螺旋定则。利用直流磁场的这种定向作用可以有效地用到冶金过程中的许多地方：比如连铸水口处针对钢铁的电磁制动作用，比如针对钢铁内的夹杂物的加速上浮作用等。对于钢铁内的夹杂物的加速上浮作用，可以看成对钢液施加直流电、磁场从而改变重力加速度（由g变为g’）2025/1/39:36冶金数值——数学描述——电磁流体力学举例2：交变磁场的作用对麦克斯韦方程组中的感生电流方程进行变换和变量替代，可以获得所谓感应方程（或称扩散方程）实际上就是关于磁场的控制方程：又因为冶金过程中应用的电磁场的磁雷诺数远小于1，因此上式左侧第二项可以忽略。于是xyzOBx导电材料内部外部取x-y面作为金属界面，z轴指向金属内部。高频磁场在金属界面的x方向上振荡，于是，x方向磁场Bx可以表示为其中，ηm为磁扩散系数，ηm＝1/(σeμm)。振荡磁场的表达式Bx=μmhx(z)ejωt代入上式，可以得到：其中，hx是磁场强度H在x方向分量值；ω是角频率。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——电磁流体力学举例2：交变磁场的作用进一步取边界条件：代入上式最终得到xyzOBx导电材料内部外部并据此得到电流密度的表达式：这种振荡磁场在冶金中的应用非常普遍。比如磁场在金属界面处的生热。再比如振荡磁场对流体形状和流体混合效果的控制，高频磁场有利于控制流体形状，低频磁场则有利于液相的混合。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——目录控制体与坐标系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制体与坐标系1通量微分2电磁流体力学5相间传输6控制方程3湍流模型4电磁流体力学5相间传输62025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输冶金过程实质就是一个多相反应的复杂过程，其中包括气－固、气－液、液－液、液－固、气－液－固等之间的反应。而多相化学反应是传质、传热和界面反应的综合过程，作为源项的化学反应速率应该考虑传质阻力和界面反应阻力等，热量传输也要采用综合传热系数——有效换热系数来反映。下面简单介绍气－固相间传输模型和流－流传输模型。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述填充床模型特性参数定义公式固体颗粒特征参数当量直径(dp)形状系数(ψp)平均直径()

，dpi－颗粒直径;wi－直径为dpi的颗粒的质量分数散料床(层)特性参数空隙度(ε)(有效通道面积比α)

，V散－散料堆体积比表面积(s)

，散料体积中料块的表面积与料块本身的体积之比。气体的空炉速度(Vg)

，qv－气体的体积流量；A－料层的截面积气体的实际速度(ug)水力学直径(d水)2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述填充床内流体与固体的运动高炉、烧结、石灰窑等都是典型的填充床，其中包括气、固、液、粉等多相。针对填充床内气体运动可以用连续流体的纳维尔－斯托克斯方程求解，但仍有困难，目前更倾向于半理论的厄根（Ergun）方程来描述。从流体力学中的直线管流体压降计算式移植到散料层气体运动的动量传输，可以得到：式中，Δp为流体的动压头损失；H为散料高度；f和fc分别为与雷诺数有关的阻力系数和料层的阻力系数；ρg为气体密度；Vg为空炉速度；s为比表面积；ε为空隙度。其中阻力系数fc与散料层中的修正雷诺数Rec有关，厄根将Rec定义为式中，μg为气体的动力粘度；Rn为水力学半径，Rn=d水/4，即气体流动的横截面积与横截面周长之比。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述填充床内流体与固体的运动通过试验发现高炉条件下Rec大于2，于是这就是著名的厄根公式，第一项为摩擦阻力损失，它是由气体的粘滞性引起的，第二项为形状阻力损失，它是由气体的运动动能引起的。前一项适用于层流，后一项适用于湍流，这时迄今为止解析散料层动能传输时应用最广泛的公式。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述填充床内流体与固体的运动高炉炉料下降到中下部的软融带，炉料开始软融，厄根公式中的阻力系数开始变化，可以采用范宁公式进行计算：式中，εb为软融带的空隙度；fb为气体在软融带中的阻力系数；sr为软融带的收缩率；L0、L为收缩前后软融层的高度；ρb为软融层填充密度。从式中可以看到，范宁公式实际上是厄根公式的变形，当fb=3.5时，范宁公式就是厄根公式的第二项。除了上述散料层和软融层的公式，还有针对焦炭夹层的公式和针对滴落带的相关公式，这里不一一介绍，请参考教科书。固相的运动解析比较困难，一般将固相视为势流体（potentialflow），其特点就是速度场的旋度为零：2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述填充床内流体与固体的连续方程针对单位体积控制体内的气相和固相分别进行总质量衡算，得到连续方程分别为式中，ρg、ρs－分别为气相、固相密度；ε为填充床层空隙度；Ri*为第i个化学反应的综合反应速度即单位时间、单位体积内参加反应的量(mol)，且式中，nki－第i

个反应中k成分的化学当量数；Mk－k成分的分子量。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间的热量传输以热量衡算方式写出气－固间热量守恒控制方程，气相和固相方程分别为：式中，cp,s、cp,g分别为气、固相横压热容；λeff,g、λeff,s分别为气、固相的有效热导率；hp为颗粒与流体间的换热系数；s为料床比表面积；φ为反应热（在气、固间）的分配系数；ΔHi为第i个反应摩尔放热（吸热）量。上式中等号右侧第一项为对流换热项，第二项为传导传热项，第三项为气、固间热交换项，第四项为化学反应热释放速率项。式中颗粒－流体间换热系数hp需要通过试验确定，也可以通过下述准数方程得到：其中，Nu=hpdp/λg，为努赛尔数；Pr=cp,gμg/λg，为普朗特数；Re=dpugρg/μg，为雷诺数。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间的质量传输以质量衡算方式写出气－固间组元的质量守恒控制方程，气相和固相方程分别为：式中，ck为组元k的浓度；Deff,g、Deff,s分别为气、固相的有效扩散系数。在气－固或液－固界面处由于浓度边界层的存在，该层内主体流动所造成的组分传递可以忽略，这时的传质通量主要取决于分子扩散系数即一定主体流速下的有效边界层厚度，即其中，Nk为k组元的气－固相间传输通量；δe为有效边界层厚度；ck,s为k组元在固相界面处的浓度；ck,s为k组元在气相主体中的浓度；km为传质系数。求解上述方程，必须首先确定传质系数km和有效扩散系数Deff,g。2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间的质量传输传质系数km的求解有三种方法：理论求算；利用准数方程；利用类似法由动量及热量传递的参数来推算。考虑准数方程，对于球状固体颗粒与气相间传质的准数方程为式中，Sc=μg/(ρgD)，为施密特数；Sh=kmdp/D，为舍伍德数。若固相不是单一颗粒而是填充床，气体的实际流速比表观空炉速度大，有人认为前者是后者的9倍，因此可将上式修正为同时，固体颗粒与液相间的传质可以采用的准数方程或采用兰兹－马歇尔（Ranz-Marshall）公式2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间的质量传输气－固传输往往涉及到气体在固体空隙内的扩散，气体在多孔介质中的扩散机制不同，有效扩散系数Deff,g表达式不同。式中，DAB为双组分混合物的分子扩散系数；ε为多孔介质的孔隙度；τ为曲折因子（对不固结粒料，取1.5~2.0；压实粒料取7~8）；ξ为迷宫度系数。普通扩散（分子扩散）这时的固相毛细孔径远大于气体分子平均自由程，扩散阻力主要由分子间碰撞决定，此时的有效扩散系数为式中，r为平均孔半径；T为绝对温度；Mk为组分k的分子量。修正后的有效扩散系数为Deff=εξDk。如果是合成效果，则合成关系为(1/Deff)=(1/Deff,1)+(1/Deff,2)。努森扩散（Knudsendiffusion）这时气体分子平均自由程远大于孔径，扩散阻力主要取决于分子对孔壁的碰撞，努森扩散系数为2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间化学反应之铁矿石气体还原一界面未反应核模型模型分成三层：边界层、反应完全的Fe层、未反应核（完全Fe2O3）层；还原气体的扩散也按照这三层进行描述，对应的三层边界气体浓度由外到内分别是气相空间浓度c0、半径r＝r0的矿球表面浓度c1、内核界面（也是化学反应界面）浓度c，另外还有针对内核界面的平衡浓度ce；反应发生在内核界面，属于一级可逆反应：cc1c0H2(CO)的浓度变化Fe2O3Fe层rr0边界层ce恒温横压条件下，Fe2O3被CO(或H2)还原，反应进行在气－固界面上，可用一界面未反应核模型描述。模型说明：整个还原过程及各环节的数学描述如下…2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间化学反应之铁矿石气体还原一界面未反应核模型边界层气体扩散还原气体分子在边界层的扩散符合菲克第一定律。cc1c0H2(CO)的浓度变化Fe2O3Fe层rr0边界层ce式中，R1－扩散速度；A－矿球外层表面积；δ－边界层厚度；c1、c0－气体在矿球表面及气相本体的浓度；D－扩散系数；km－传质系数，=D/δ。Fe层气体扩散还原气体分子在Fe层的扩散同样符合菲克第一定律。式中，R2－扩散速度；Deff－有效扩散系数。准稳态扩散条件下，R2为常数，于是对上式积分得到得到2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间化学反应之铁矿石气体还原一界面未反应核模型界面化学反应一般铁氧化物还原反应中，氧化亚铁的还原是限制性环节cc1c0H2(CO)的浓度变化Fe2O3Fe层rr0边界层ce式中，k、k’－分别为正逆反应速度常数。当反应平衡时，kcCO,e=k’cCO2,e，k/k’=K(K为反应平衡常数)。于是按照质量守恒可以得到还原速度方程视铁矿石还原过程为准稳态，即传输及反应的各个环节中没有物质积累，总反应速度R整理得到反应速度为2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间传输的数学描述气－固间化学反应之铁矿石气体还原一界面未反应核模型cc1c0H2(CO)的浓度变化Fe2O3Fe层rr0边界层ce边界层传质阻力Fe层传质阻力化学反应阻力按照控制方程中源项单位，将化学反应速度处理成单位体积的生成速度R’，则式中r无法直接测量，为此我们定义一个还原度f式中W0为r=r0时的球中的氧重；W为r时球中的氧重。于是最后得到2025/1/39:36冶金数值——数学描述——相间传输气－固相间