新教材高中数学第七章统计案例达标检测北师大版选择性

第七章达标检测时间：120分钟分数：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)满足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1B．y＝x－1C．y＝x＋1D．y＝－x22．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得χ2＝4.435，下列结论正确的是()A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握认为患肺病与吸烟有关D．有5%的把握认为患肺病与吸烟有关3．对四组数据进行统计获得的散点图如图所示，则关于其线性相关系数的比较正确的是()A.r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r34．登山族为了了解某地的海拔y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了该地不同的海拔与相应的气温，并制作了对照表：x181310－1y2.43.43.86.4由表中数据，得到线性回归方程y＝a－0.2x.由此估计海拔为7.2km时的气温为()A．－10℃B．－8℃C．－6℃D．－4℃5．下列说法中正确的个数为()①在对分类变量X和Y进行独立性检验时，统计量χ2的值越大，则“X与Y相关”可信程度越小；②在回归方程y＝0.1x＋10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.1个单位；③两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.A．0B．1C．2D．36．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()A.成绩B．视力C．智商D．阅读量7．两个相关变量满足如下关系：x23456y25●505664根据表格已得回归方程为y＝9.5x＋8.8，表中有一数据模糊不清，推算该数据是()A．37B．38.5C．39D．40.58．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．如图，5个数据(x，y)，去掉D(3，10)后，下列说法正确的是()A．相关系数r变大B．误差变大C．两个变量呈正相关D．解释变量x与预报变量y的相关性变强10．已知变量x，y之间的线性回归方程为y＝7.6－0.4x，且变量x，y的数据如表所示，则下列说法正确的是()x681012y6m32A．变量x，y之间呈负相关关系B．m的值等于5C．变量x，y之间的相关系数r＝－0.4D．由表格数据，知该回归直线必过点(9，4)11．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，得到如下的列联表．40岁以下40岁以上合计使用微信支付351550未使用微信支付203050合计5545100附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，则所得到的统计学结论正确的是()A．有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关联”B．有99.5%的把握认为“使用微信支付与年龄有关联”C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“使用微信支付与年龄有关联”D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“使用微信支付与年龄有关联”12．设某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若该中学某个女生的身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某个女生的身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一次独立试验中，有200人按性别和是否色弱分类如下表所示(单位：人).男女正常73117色弱73你能有________的把握认为“是否色弱与性别有关”．14．已知变量x与y的取值如下表：x2356y78－a9＋a12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必经过的定点为________．15．两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法，其中正确的序号有________．①若r>0，则x增大时，y也增大；②若r<0，则x增大时，y也增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点都在同一条直线上；④若两个变量x，y的回归方程为y＋2x＋1＝0，则y与x正相关．16．某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：万辆)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据作了初步处理，得到年销售量y与年宣传费x具有近似关系：y＝beq\r(x)＋a以及一些统计量的值如下：eq\i\su(i＝1,8,)xi＝372.8，eq\i\su(i＝1,8,)yi＝4504，eq\i\su(i＝1,8,)eq\r(xi)＝54.4，eq\i\su(i＝1,8,)eq\r(yi)＝76.2.已经求得近似关系中的系数b＝68，请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费x＝100(万元)时，年销售量y＝________(万辆).四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某商城在2020年前7个月的销售额y(单位：万元)的数据如下表，已知销售额y与月份t具有较好的线性关系．月份t1234567销售额y5866728896104118(1)求y关于t的线性回归方程；(2)分析该商城2020年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附：b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（ti－\x\to(t)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（ti－\x\to(t)）2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).18．(本小题满分12分)已知某地区居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份201420152016201720182019时间代号x123456储蓄存款y(千亿元)3.556789.5(1)求y关于x的回归方程y＝bx＋a，并预测该地区2021年的人民币储蓄存款(用最简分数作答)；(2)在含有一个解释变量的线性模型中，当相关系数的绝对值|r|>0.75时，认为线性回归模型是有效的，请计算r并评价模型的拟合效果(计算结果精确到0.001).19．(本小题满分12分)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？20．(本小题满分12分)一台机器由于使用时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷的零件的个数，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x/(转/秒)1614128每小时生产有缺陷的零件数y/件11985(1)对变量y与x进行相关性检验；(2)假设y与x有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10件，那么机器的运转速度x(x∈N＋)应控制在什么范围内？21．(本小题满分12分)如图是某地区2005年至2021年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2023年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2005年至2021年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2015年至2021年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2023年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．22．(本小题满分12分)“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量(万台)810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30(1)求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；(2)请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差．参考公式及数据：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.eq\r(635)≈25，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．第七章达标检测1．解析：∵这组样本数据的相关系数为－1，∴这一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关，∴可排除B，C，D.故选A.答案：A2．解析：因为χ2＝4.435>3.841，所以有95%的把握认为患肺病与吸烟有关，故选C.答案：C3．解析：由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3中x与y正相关，所以r1>0，r3>0，题图2和题图4中x与y负相关，所以r2<0，r4<0.题图1和题图2的点相对更集中，所以x与y的相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1.答案：A4．解析：因为eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝4，所以样本点的中心为(10，4).由回归直线过样本点的中心，得4＝－2＋a，求得a＝6.于是线性回归方程为y＝6－0.2x，由此估计海拔为7.2km时的气温为－6℃.故选C.答案：C5．解析：根据χ2的值越大，分类变量的相关关系的可信度就越大，所以①是错误的；根据回归方程中回归系数的含义，可知在回归方程y＝0.1x＋10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.1个单位，②是正确的．根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的相关性越强，所以③是正确的．故选C.答案：C6．解析：因为χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(52×（6×22－14×10）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×82,16×36×32×20)，χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(52×（4×20－16×12）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×1122,16×36×32×20)，χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝eq\f(52×（8×24－12×8）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×962,16×36×32×20)，χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝eq\f(52×（14×30－6×2）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×4082,16×36×32×20)，所以χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))>χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))>χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))>χeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，所以阅读量与性别关联的可能性最大．答案：D7．解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，∴eq\x\to(y)＝9.5×4＋8.8＝46.8.设模糊不清的数据为a，则25＋a＋50＋56＋64＝5eq\x\to(y)＝234，解得a＝39.故选C.答案：C8．解析：由表中数据得eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝80，由(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回归直线y＝－4x＋a上得a＝106，即线性回归方程为y＝－4x＋106.经过计算只有(5，84)和(9，68)两个点在直线的下方，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故选B.答案：B9．解析：由散点图知，去掉D(3，10)后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，所以r变大，误差变小，故选ACD.答案：ACD10．解析：由题意，可知eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(6＋m＋3＋2,4)＝eq\f(11＋m,4)，即样本点的中心为(9，eq\f(11＋m,4))，由回归直线经过样本点的中心，可得eq\f(11＋m,4)＝7.6－0.4×9＝4，解得m＝5，则样本点的中心为(9，4)；由表中的数据，知变量y随着x的增大而减小，所以呈负相关关系．由表中数据可得相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－4\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－4\x\to(y)2))＝eq\f(－14,\r(20)×\r(10))＝－eq\f(7\r(2),10)≈－0.99，所以C错误．故选ABD.答案：ABD11．解析：由列联表中的数据计算χ2＝eq\f(100×（35×30－15×20）2,50×50×55×45)≈9.09>7.879，所以有99.5%的把握认为“使用微信支付与年龄有关联”．故选BD.答案：BD12．解析：因为回归直线经过本中心点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，因此B正确；由x的系数0.85>0可知变量y与x具有正的线性相关关系，因此A正确；由x的系数为0.85可知，若某个女生的身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，因此C正确；当某个女生的身高为160cm时，体重约为50.29kg，不是一定为50.29kg，因此D不正确．故选ABC.答案：ABC13．解析：由题意得列联表为男女合计正常73117190色弱7310合计80120200由列联表中的数据可得χ2＝eq\f(200×（73×3－117×7）2,190×10×80×120)≈3.947>3.841，所以有95%的把握认为“是否色弱与性别有关”．答案：95%14．解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(7＋8－a＋9＋a＋12,4)＝9，∴样本点中心为(4，9)，方程必过定点(4，9).答案：(4，9)15．解析：根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示两个变量x，y正相关，说明y随x的增大而增大；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关，说明y随x的增大而减小．|r|越接近于1，相关程度越高：|r|越接近于0，相关程度越低．回归方程中b<0，则y与x负相关．故可知①③正确．答案：①③16．解析：由a＝eq\x\to(y)－beq\r(x)得a＝100.6，∴y＝68eq\r(x)＋100.6，当x＝100时，y＝780.6，∴预测年销售量为780.6万辆．答案：780.617．解析：(1)由所给数据计算得eq\x\to(t)＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)(58＋66＋72＋88＋96＋104＋118)＝86，a＝eq\x\to(y)－eq\x\to(bt)＝86－10×4＝46.故所求回归方程为y＝10t＋46.(2)由(1)知，b＝10>0，故前7个月该商城月销售额逐月增加，平均每月增加10万元．将t＝8代入(1)中的回归方程，得y＝10×8＋46＝126.故预测该商城8月份的销售额为126万元．18．解析：(1)由题意得eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝eq\f(7,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(3.5＋5＋6＋7＋8＋9.5)＝eq\f(13,2)，故b＝eq\f(8,7)，a＝eq\f(5,2)，故回归方程为y＝eq\f(8,7)x＋eq\f(5,2).2021年对应的x＝8，当x＝8时，y＝eq\f(163,14)，故预测该地区2021年的人民币储蓄存款是eq\f(163,14)千亿元．(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))≈0.997>0.75，所以该回归模型是有效的，且拟合效果较好．19．解析：(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为eq\f(40,50)＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8；女顾客中对该商场服务满意的比率为eq\f(30,50)＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)χ2＝eq\f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．20．解析：(1)利用上述数据计算得eq\x\to(x)＝12.5，eq\x\to(y)＝8.25，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝438，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝660，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝291，则得r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－4\x\to(x)2))\r(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－4\x\to(y)2)))≈0.995.由此可以得出，y与x之间有较强的线性相关关系．(2)利用(1)中的数据可得：b＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－4\x\to(x)2)≈0.7286，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－0.8575，则可得线性回归方程为y＝－0.8575＋0.7286x.(3)由y＝－0.8575＋0.7286x≤10，可得x≤14.9019，而x的取值为整数，所以x≤14，x∈N＋，故机器的运转速度应当不超过14转/秒．21．解析：(1)利用模型①，该地区2023年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).利用模型②，该地区2