41同角三角函数的基本关系课件-高一下学期数学北师大版

4.1同角三角函数的基本关系北师大版（2019）必修第二册第四章

三角恒等变换

学习目标利用同角三角函数的基本关系解决sinα，cosα，tanα三者中知一求二问题，以及相关的化简与恒等式的证明.02通过任意角的三角函数的定义，结合图形掌握同角三角函数的基本关系01通过本节的学习，能把方程的思想、代数变换、分类讨论的逻辑方法融入到解题中.03思考：若直角三角形斜边为1，锐角

α的对边为

sinα、邻边为

cosα，在这个直角三角中，你能得出什么关系？sinαcosαα1根据勾股定理有sin2α＋cos2α＝12，即sin2α＋cos2α＝1，另外还有tanα＝

．

知识回顾我们是如何在单位圆中定义三角函数的呢？

如图，角

α的终边与单位圆交于点P(u,v)，xOMyP(u,v)1αxyOA(1，0)PαM思考：观察单位圆，利用三角函数分析角

α的正弦、余弦和正切之间存在什么关系？yxOP(cosα,sinα)α1M综上可知：sin2α＋cos2α＝1和

tanα＝

．

所以

sin2α＋cos2α＝1．总结：至此，我们得到了同角三角函数的基本关系式问题1

同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝

仅对α≠

＋kπ（k∈Z）成立．

问题2

“sin2α”的含义是什么？sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα”的平方，不能将sin2α写成sinα2．前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的总结：至此，我们得到了同角三角函数的基本关系式问题3

“同角”的含义是什么？这里“同角”有两层含义，一是“角相同”．如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关．思考：同角三角函数基本关系式的变形有哪些？sin2α＋cos2α＝1sin2α＝1－cos2αcos2α＝1－sin2α

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．tanα＝(α≠

＋kπ(k∈Z))

sinα＝cosαtanαcosα＝

例1

已知sinα＝

，角

α的终边在第二象限，如何求cosα与tanα的值？

又角

α的终边在第二象限

解：例2已知cosα＝

，求sinα，tanα的值．

解：

例3已知tanα＝m（m≠0），求sinα和cosα的值．解：根据题意可得方程组

方法总结（1）已知tanθ求sinθ（或cosθ）常用以下方式求解．（2）当角

θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题，而对角

θ分区间（象限）讨论．例4

若已知sinα－cosα＝

，π＜α＜

，如何求tanα呢？

sinα－cosα＝

＜0①

将①式两边平方得sinαcosα＝

，

所以sinα＜0，cosα＜0，又因为π＜α＜

，

故sinα＋cosα＜0，所以sinα＋cosα＝

②

所以tanα＝

．

由①＋②式得，

例5

已知tanα＝3，求.

解：因为tanα＝

，

所以

思考：本例的解法比较巧妙，并不需要求得sinα和cosα的值.但如果题目换成求

呢？

由tanα＝3，知

α在第一象限或第三象限.

则

则

方法总结已知tanα＝m，可以求

或

的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．

例6

求证：

分析等式的左右两端，发现利用平方关系可以证明．因为sin2α＋cos2α＝1，由已知可知cosα≠0，且1－sinα≠0，把①式的两端同除以cosα(1－sinα)，所以cos2α＝1－sin2α＝(1－sinα)(1＋sinα)①得

．

证明等式有哪些常用方法？（1）证明一边等于另一边，一般是由繁到简（2）证明左、右两边等于同一个式子（左、右归一）（3）差比法：证左边－右边＝0或

＝1(右边≠0)