第6讲一元二次方程2025年九年级中考数学人教版（内蒙古）一轮复习课件

第6讲一元二次方程知识框架思维导学教材整合夯实基础考向导引考点突破知识点1一元二次方程的定义及一般形式1.定义只含有

未知数,并且都可以化成ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的形式的

方程.

2.一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且

).

一个整式a≠0知识点2一元二次方程的解法1.直接开平方法形如(x+m)2=n的方程,当n≥0时,方程的解为x=

.

2.配方法将一元二次方程化成(x+m)2=n的形式,当n≥0时,用直接开平方法求解.3.公式法ax2+bx+c=0(a

0),当b2-4ac

0时,方程有实数根x=

.≠≥知识点3根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,通常用符号“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)b2-4ac>0⇔方程有

实数根;

两个不相等的(2)b2-4ac=0⇔方程有

实数根;

(3)b2-4ac<0⇔方程

实数根.

2.根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ≥0)有两个实数根x1,x2,则x1+x2=

,x1·x2=

.

两个相等的没有a(1+m)na(1-m)n3.面积问题(1)如图(1)所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分的宽为x,则阴影部分的面积表示为(a-2x)(b-2x);(2)如图(2)所示的矩形ABCD长为b,宽为a,阴影部分的宽为x,则空白部分的面积为(a-x)(b-x);(3)如图(3)所示的矩形ABCD长为b,宽为a,阴影部分的宽为x,则空白部分的面积为(a-x)(b-x).考点突破考点1一元二次方程的概念(易错点)例1(2024南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为

.

考向训练1-1(2023枣庄)若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2023-6a+2b的值为

.

-42019考向训练1-2(2024深圳)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a=

.

考向训练1-3(2024巴中)已知方程x2-2x+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为

.

考向训练1-4若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2023的值为

.

242026考点2一元二次方程的解法例2解方程:x2-2x=4.B考向训练2-2(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是()A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1D考向训练2-3解方程:3(x-1)2-12=0.解:∵3(x-1)2-12=0.∴3(x-1)2=12.则(x-1)2=4,∴x-1=±2.解得x1=3,x2=-1.考向训练2-4(2024齐齐哈尔)解方程:x2-5x+6=0.解:∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0.则x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2=3.考点3根的判别式、根与系数的关系例3已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;(1)证明:∵Δ=b2-4ac=16+4m2>0恒成立,∴方程x2-4x-m2=0有两个不相等的实数根.(2)若该方程的两个实数根x1,x2满足x1+2x2=9,求m的值.考向训练3-1(2024自贡)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根AC考向训练3-3一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是()A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3D考向训练3-4(2024黑龙江)关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实数根,则m的取值范围是()A.m≤4 B.m≥4C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2考向训练3-5

关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.-2 B.3C.3或-2 D.3或2DAAAA考点4一元二次方程的应用例4某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.求该种商品每次降价的百分率.注意:①按格式书写.②注意验根,舍去不符合题意的根.考向训练4-1目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2020年底有5G用户2万户,2022年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x的值为()A.20% B.30% C.40% D.50%C考向训练4-2(2024眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了水稻亩产量,水稻亩产量从2021年的670kg增长到了2023年的780kg,该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列方程为()A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780考向训练4-3有一个人患了病毒性感冒,经过两轮传染后共有169人患了病毒性感冒,每轮传染中平均一个人传染了

个人.

B12例5(2023东营)如图所示,老李想用长为70m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料).(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640m2的羊圈解:(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意,得x(72-2x)=640,化简,得x2-36x+320=0,解得x1=16,x2=20,当x=16时,72-2x=72-32=40;当x=20时,72-2x=72-40=32.答:当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时,能围成一个面积为640m2的羊圈.(2)羊圈的面积能达到650m2吗如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.解:(2)不能.理由如下:由题意,得x(72-2x)=650,化简,得x2-36x+325=0,Δ=(-36)2-4×325=-4<0,∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到650m2.考向训练5-1如图所示,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35m,宽20m的矩形,为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600m2,则小道的宽为多少米若设小道的宽为xm,则根据题意,列方程为()A.35×20-35x-20x+2x2=600B.35×20-35x-2×20x=600C.(35-2x)(20-x)=600D.(35-x)(20-2x)=600C考向训练5-2如图所示,是一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2

的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为

cm.

2考向训练5-3如图所示,一农户要建一个矩形羊圈,羊圈的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形羊圈的长、宽分别为多少时,羊圈面积为80m2解:设矩形羊圈垂直于住房墙的一边长为xm,可以得出平行于墙的一边长为(25-2x+1)m.由题意,得x(25-2x+1)=80,化简,得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,当x=5时,26-2x=16>12(舍去),当x=8时,26-2x=10<12.答:所围矩形羊圈的长为10m,宽为8m时,羊圈面积为80m2.考向训练5-4(包头样题)如图所示,某小区有一块长为24m,宽为8m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为72m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.解:设人行通道的宽度是xm.由题意,得(24-3x)(8-2x)=72,解得x=2或x=10(不符合题意,舍去).答:人行通道的宽度为2m.例6一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为

件.

解:(1)26(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元解:(2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,即x=10.答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.考向训练6-1端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:小王:该水果的进价是每千克22元;小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160kg;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120kg.根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的销售价为每千克多少元考向训练6-2某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品解:(1)(14-10)÷2+1=3.答:此批次蛋糕属第三档次产品.(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品解:(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品.根据题意,得[10+2(x-1)][76-4(x-1)]=1080,整理,得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不符合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.感悟中考A2.(2024赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为()A.17或13 B.13或21C.17 D.13CA4.(2024通辽)