71为什么要证明（课件）八年级数学上册（北师大版）

7.1为什么要证明主讲：北师大版

八年级

上册

第7章

平行线的证明学习目标1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点）2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点）新课导入观察下面两幅图中的中间圆，它们大小一样吗？新课导入线段AB和CD长度完全相等,

虽然它们看起来相差很大!柱子是圆的还是方的？有多少个黑点？线是直的还是弯曲的？新课导入平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!

通过观察、度量、猜测得到的结论都正确吗？如果不是，那用什么方法才能说明它的正确性呢？

本章我们将一起学习如何根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明与平行线的性质及判定有关的一些结论，证明三角形内角和定理，还将探讨三角形的内角与外角的关系.新课讲授

探究：为什么要证明ab（1）图①中两条线段a,b的长度相等吗？图②中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.

以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！a=b是正方形.仅通过观察得到的结论不一定正确.新课讲授（2）如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？所以它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.

解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：

根据感觉经验得到的结论不一定正确！新课讲授合作探究（1）代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试．你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，式子n2－n＋11的值都是质数吗？解：列表归纳为n01234567891011…n2-n+1111111317233141536783101121

是否为质数是是是是是是是是是是是不是答：当n＝0，1，2，3，4，5时，n2－n＋11的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝11,时，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112.所以对于所有自然数，式子n2－n＋11的值不都是质数．做一做根据不完全归纳得到的结论不一定正确.新课讲授欧拉

费马

费马的失误新课讲授知识归纳

这个故事告诉我们：1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.新课讲授合作探究（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．DE与BC有怎样位置关系和数量关系？请先猜一猜，在设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴交流．做一做根据测量得到的结论未必可信.

新课讲授

实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．

实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段．通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的?说说你的经验与困惑．议一议新课讲授先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.新课讲授检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论.检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明.知识归纳典例分析例1：当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1.典例分析例2：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.典例分析(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？解：(3)由(1)(2)可发现：∠AOB＝∠COD.(4)证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∴∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，

∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.学以致用1.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（）A.小华用的多 B.小明用的多C.两人用的一样多 D.不能确定谁用的多C2.下列说法中，①锐角都相等；②大于90°且小于平角的角是钝角；③互为相反数的两数和为0；④若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2⊥l3.其中正确的有（）A.①②

B.②③

C.③④

D.②④B学以致用3.下列结论中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人BA4.下列问题用到推理的是（）A.根据a=10，b=10,得到a=bB.观察得到三角形有三个角C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘D.由经验可知过两点有且只有一条直线学以致用5.下列推理正确的是（

）A.弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁到了明年，哥哥只比弟弟大5岁了B.如果a>b,b>c,则a>cC.∠A与∠B相等,原因是它们看起来大小也差不多D.因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角B6.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛,甲说:“只参加一项的人数大于14.”乙说:“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法,有下列四个说法中，其中正确的是（

）A.若甲对,则乙对C.若乙错,则甲错B.若乙对,则甲对D.若甲错，则乙对B学以致用7.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.则第二局的输者是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C8.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？解：不是，当n=6时，

n2+3n+1=55不是质数。学以致用9.观察下列等式：12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26，…以上等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”:①52×

=

×25;②

×396=693×

.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b，且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b)，并写出推理过程.2755726336(2)(10a+b)·[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]·(10b+a).推理过程：左边=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a)，右边=(110a+11b)(