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文档简介

山东省济宁第二中学2025届高三第二次联考数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数为纯虚数,则()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i2.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()A. B.2 C. D.3.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示,俯视图中的两个小三角形全等,则()A.PA,PB,PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为4.已知函数(,且)在区间上的值域为,则()A. B. C.或 D.或45.对于任意,函数满足,且当时,函数.若,则大小关系是()A. B. C. D.6.若,则,,,的大小关系为()A. B.C. D.7.已知集合,则等于()A. B. C. D.8.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()A. B.C. D.9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.10.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为()A. B.0 C. D.11.已知集合,,若,则()A. B. C. D.12.已知的展开式中的常数项为8,则实数()A.2 B.-2 C.-3 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在的零点个数为_________.14.已知(为虚数单位),则复数________.15.已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.16.已知过点的直线与函数的图象交于、两点,点在线段上,过作轴的平行线交函数的图象于点,当∥轴,点的横坐标是三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在多面体中,四边形是正方形,平面,,,为的中点.(1)求证:;(2)求平面与平面所成角的正弦值.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系.(1)设直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C交于两点A.B,求AB的长;(2)设M、N是曲线C上的两点,若,求面积的最大值.19.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,其短半轴长为1,一个焦点坐标为,点在椭圆上,点在直线上,且.(1)证明:直线与圆相切;(2)设与椭圆的另一个交点为,当的面积最小时,求的长.20.(12分)已知函数.(1)若函数不存在单调递减区间,求实数的取值范围;(2)若函数的两个极值点为,,求的最小值.21.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.求的值;设的平分线与边交于点,已知,,求的值.22.(10分)已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,求函数的极值;(2)设函数的导函数为,求证:函数有且仅有一个零点.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【详解】∵为纯虚数,∴,解得..故选:.【点睛】本题考查复数的分类,属于基础题.2、D【解析】

将多项式的乘法式展开,结合二项式定理展开式通项,即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为,∴解得.故选:D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.3、C【解析】

根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图,然后再计算可得.【详解】解:根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示,其中D为AB的中点,底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为,,,,,、不可能垂直,即不可能两两垂直,,.三棱锥P-ABC的侧面积为.故正确的为C.故选:C.【点睛】本题考查三视图还原直观图,以及三棱锥的表面积、体积的计算问题,属于中档题.4、C【解析】

对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知,.讨论:当时,,所以,,所以;当时,,所以,,所以.综上,或,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.5、A【解析】

由已知可得的单调性,再由可得对称性,可求出在单调性,即可求出结论.【详解】对于任意,函数满足,因为函数关于点对称,当时,是单调增函数,所以在定义域上是单调增函数.因为,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小,解题的关键要掌握函数对称性的代数形式,属于中档题..6、D【解析】因为,所以,因为,,所以,.综上;故选D.7、C【解析】

先化简集合A,再与集合B求交集.【详解】因为,,所以.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.8、C【解析】

对选项逐个验证即得答案.【详解】对于,,是偶函数,故选项错误;对于,,定义域为,在上不是单调函数,故选项错误;对于,当时,;当时,;又时,.综上,对,都有,是奇函数.又时,是开口向上的抛物线,对称轴,在上单调递增,是奇函数,在上是单调递增函数,故选项正确;对于,在上单调递增,在上单调递增,但,在上不是单调函数,故选项错误.故选:.【点睛】本题考查函数的基本性质,属于基础题.9、D【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.10、D【解析】

运用辅助角公式,化简函数的解析式,由对称轴的方程,求得的值,得出函数的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案.【详解】由题意,函数为辅助角,由于函数的对称轴的方程为,且,即,解得,所以,又由,所以函数必须取得最大值和最小值,所以可设,,所以,当时,的最小值,故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.11、A【解析】

由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.12、A【解析】

先求的展开式,再分类分析中用哪一项与相乘,将所有结果为常数的相加,即为展开式的常数项,从而求出的值.【详解】展开式的通项为,当取2时,常数项为,当取时,常数项为由题知,则.故选:A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题,其中对所取的项要进行分类讨论,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

本问题转化为曲线交点个数问题,在同一直角坐标系内,画出函数的图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】问题函数在的零点个数,可以转化为曲线交点个数问题.在同一直角坐标系内,画出函数的图象,如下图所示:由图象可知:当时,两个函数只有一个交点.故答案为:1【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题,考查了转化思想和数形结合思想.14、【解析】

解:故答案为:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,属于基础题.15、【解析】

由题意可知:为上的单调函数,则为定值,由指数函数的性质可知为上的增函数,则在,单调递增,求导,则恒成立,则,根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围.【详解】若方程无解,则或恒成立,所以为上的单调函数,都有,则为定值,设,则,易知为上的增函数,,,又与的单调性相同,在上单调递增,则当,,恒成立,当,时,,,,,,此时,故答案为:【点睛】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,正弦函数的性质,辅助角公式,考查计算能力,属于中档题.16、【解析】

通过设出A点坐标,可得C点坐标,通过∥轴,可得B点坐标,于是再利用可得答案.【详解】根据题意,可设点,则,由于∥轴,故,代入,可得,即,由于在线段上,故,即,解得.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)首先证明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量,带入公式求解即可.【详解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四边形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,为的中点,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.如图所示:则,,,.∴,,.设为平面的法向量,则,得,令,则.由题意知为平面的一个法向量,∴,∴平面与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题第一问考查线线垂直,先证线面垂直时解题关键,第二问考查二面角,建立空间直角坐标系是解题关键,属于中档题.18、(1);(2)1.【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(2),,由(1)通过计算得到,即最大值为1.【详解】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为,即;再将,,代入上式,得,故曲线C的极坐标方程为,显然直线l与曲线C相交的两点中,必有一个为原点O,不妨设O与A重合,即.(2)不妨设,,则面积为当,即取时,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,三角形面积的最值问题,是一道容易题.19、(1)见解析;(2).【解析】

(1)分斜率为0,斜率不存在,斜率不为0三种情况讨论,设的方程为,可求解得到,,可得到的距离为1,即得证;(2)表示的面积为,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)由题意,椭圆的焦点在x轴上,且,所以.所以椭圆的方程为.由点在直线上,且知的斜率必定存在,当的斜率为0时,,,于是,到的距离为1,直线与圆相切.当的斜率不为0时,设的方程为,与联立得,所以,,从而.而,故的方程为,而在上,故,从而,于是.此时,到的距离为1,直线与圆相切.综上,直线与圆相切.(2)由(1)知,的面积为,上式中,当且仅当等号成立,所以面积的最小值为1.此时,点在椭圆的长轴端点,为.不妨设为长轴左端点,则直线的方程为,代入椭圆的方程解得,即,,所以.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了直线和圆的位置关系判断,面积的最值问题,考查了学生综合分析,数学运算能力,属于较难题.20、(1)(2)【解析】分析:(1)先求导,再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到,再求得,再构造函数再利用导数求其最小值.详解:(1)由函数有意义,则由且不存在单调递减区间,则在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有两个极值点故为方程的两根,,,则由由,则上单调递减,即由知综上所述,的最小值为.点睛:(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个,其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.21、;.【解析】

利用正弦定理化简求值即可;利用两角和差的正弦函数的化简公式,结合正弦定理求出的值.【详解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,为三角形内角,故,,则,故,;(2)平分,设,则,,,,则,,又,则在中,由正弦定理:,.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的

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