2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：函数概念与性质（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：函数概念与性质（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•安溪县校级模拟）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=c(exc+e-xc)2，其中c为参数．当c＝1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为coshx=ex+e-x2，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx；②二倍角公式：cos2x＝2cos（1）写出sinhx，coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；（2）任意x＞0，恒有sinhx﹣kx＞0成立，求实数k的取值范围；（3）正项数列{an}（n∈N*）满足a1＝a＞1，an+1＝2an2-1，是否存在实数a，使得a2024=2．（2024•昔阳县校级模拟）已知函数f（x）=4-（1）求f（f（3））的值；（2）当﹣4≤x＜3时，求f（x）的值域．3．（2024•昔阳县校级模拟）在①函数f（x）＝ax﹣（b﹣1）a﹣x是定义域为R的奇函数且f(1)=83，②函数f（x）＝xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线方程为y＝4x+1，③f（x）＝（a﹣2）2x+2﹣已知函数g（x）＝loga（b+x）+loga（b﹣x）（a＞0，且a≠1，b＞0）．（1）试确定g（x）的奇偶性；（2）已知_____，求不等式g（x）≤1的解集．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2024•昔阳县校级模拟）对于函数f1（x），f2（x），如果存在实数a，b，使得函数F（x）＝a•f1（x）+b•f2（x），那么我们称F（x）为f1（x），f2（x）的“HC函数”．（1）已知f1（x）＝x﹣3，f2（x）＝﹣2x+1，试判断F（x）＝5x﹣5是否为f1（x），f2（x）的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由；（2）已知f1（x）＝2x，f2（x）＝4x，F（x）为f1（x），f2（x）的“HC函数”且a＝2，b＝1．若关于x的方程F（x）＝m•f2（x）+1有解，求实数m的取值范围；（3）在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b都有a+b2≥ab，当且仅当a请利用“基本不等式”解决下面的问题：已知f1（x）＝x，f2（x）=1x，F（x）为f1（x），f2（x）的“HC函数”（其中a＞0，b＞0），F（x）的定义域为（0，+∞），当且仅当x＝2时，F（x）取得最小值4．若对任意正实数x1，x2，且x1+x2＝2，不等式F（x1）+F（x2）≥m恒成立，求实数5．（2024•红谷滩区校级模拟）若存在x0∈D使得f（x）≤f（x0）对任意x∈D恒成立，则称x0为函数f（x）在D上的最大值点，记函数f（x）在D上的所有最大值点所构成的集合为M．（1）若f（x）＝﹣x2+2x+1，D＝R，求集合M；（2）若f(x)=(2x（3）设a为大于1的常数，若f（x）＝x+asinx，D＝[0，b]，证明，若集合M中有且仅有两个元素，则所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列．6．（2024•潮阳区校级三模）已知函数f(x)=lnx-（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值．7．（2024•自贡二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）且f（1）＝﹣3．（1）求f(12)（2）当x＞0时，有f（x）＜0恒成立，求证：a+b＜0时，有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．8．（2024•闵行区校级三模）设t＞0，函数y＝f（x）的定义域为R．若对满足x2﹣x1＞t的任意x1、x2，均有f（x2）﹣f（x1）＞t，则称函数y＝f（x）具有“P（t）性质”．（1）在下述条件下，分别判断函数y＝f（x）是否具有P（2）性质，并说明理由；①f(x)=3②f（x）＝10sin2x；（2）已知f（x）＝ax3，且函数y＝f（x）具有P（1）性质，求实数a的取值范围；（3）证明：“函数y＝f（x）﹣x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”的充要条件．9．（2024•格尔木市模拟）已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x﹣2m|．（1）当m＝1时，求不等式f(x)≤（2）若f（x）≤m2﹣m﹣3恒成立，求实数m的取值范围．10．（2024•凉山州模拟）已知函数f（x）＝|1﹣2x|+|2x|的最小值为a．（1）求实数a的值；（2）求12x

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：函数概念与性质（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•安溪县校级模拟）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=c(exc+e-xc)2，其中c为参数．当c＝1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为coshx=ex+e-x2，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx；②二倍角公式：cos2x＝2cos（1）写出sinhx，coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；（2）任意x＞0，恒有sinhx﹣kx＞0成立，求实数k的取值范围；（3）正项数列{an}（n∈N*）满足a1＝a＞1，an+1＝2an2-1，是否存在实数a，使得a2024=【考点】函数恒成立问题；正弦函数的单调性；数列的应用；数学归纳法；类比推理．【专题】新定义；函数思想；转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）①导数，②二倍角公式，③平方关系；证明见解析；（2）（﹣∞，1]；（3）存在实数a=12(【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；（2）构造函数F（x）＝sinhx﹣kx，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求k的取值范围即可；（3）方法一、求出a1，a2，a3，猜想an，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列{xn}，根据an＝cosh（xn），利用递推公式求解即可．【解答】解：（1）①导数：（sinh（x））′＝cosh（x），（cosh（x））′＝sinh（x），证明如下：(sinh②二倍角公式：cosh（2x）＝2（coshx）2﹣1，证明如下：2(cosh③平方关系：（coshx）2﹣（sinhx）2＝1，证明如下：（coshx）2﹣（sinhx）2=(e（2）令F（x）＝sinhx﹣kx，x∈（0，+∞），F′（x）＝coshx﹣k，①当k≤1时，由coshx=ex+e-x2≥ex⋅所以F′（x）＝coshx﹣k＞0，即F（x）为增函数，此时F（x）＞F（0）＝0，对任意x＞0，sinhx＞kx恒成立，满足题意；②当k＞1时，令G（x）＝F′（x），x∈（0，+∞），则G′（x）＝sinhx＞0，可知G（x）是增函数，由G（0）＝1﹣k＜0与G(ln2k)=14k＞0可知，存在唯一x0∈（0，ln2k），使得G（x所以当x∈（0，x0）时，F'（x）＝G（x）＜G（x0）＝0，则F（x）在（0，x0）上为减函数，所以对任意x∈（0，x0），F（x）＜F（0）＝0，不合题意；综上知，实数k的取值范围是（﹣∞，1]；（3）方法一、由a1＝a＞1，函数coshx=ex+对于任意大于1的实数a1，存在不为0的实数m，使得coshm＝a1，类比双曲余弦函数的二倍角公式cosh（2x）＝2（coshx）2﹣1，由coshm＝a1，a2=2(coshm)2-1=cosh(2m)由数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a1②假设当n＝k（k为正整数）时，猜想成立，即akak+1综上知，an若a2024=cosh(22023m)=178，设t＝22023m，则cosh即t＝±ln4，所以m=±ln22综上知，存在实数a=12(方法二、构造数列{xn}（xn＞0），且an＝cosh（xn），因为an+1=2an2-1，所以an+1=2(coshxn)2-1=cosh(2xn)，则因为cosh（x）在（0，+∞）上单调递增，所以xn+1＝2xn，即{xn}是以2为公比的等比数列，所以x2024=x12又因为a2024=cosh(x2024)=所以a=a综上知，存在实数a=12(【点评】本题考查了函数与数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．2．（2024•昔阳县校级模拟）已知函数f（x）=4-（1）求f（f（3））的值；（2）当﹣4≤x＜3时，求f（x）的值域．【考点】函数的值域；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可得f（3），然后再代入符合条件的解析式即可；（2）分别求得函数每段解析式的值域，最后取并集即可．【解答】解：（1）由题意可得f（3）＝4﹣32＝﹣5，所以f（f（3））＝f（﹣5）＝1﹣2（﹣5）＝11；（2）由分段函数可知：当﹣4≤x＜0时，函数的解析式为y＝1﹣2x∈（1，9]；当x＝0时，y＝2；当0＜x＜3时，函数的解析式为y＝4﹣x2∈（﹣5，4）；故当﹣4≤x＜3时，求f（x）的值域为：（﹣5，9]【点评】本题为分段函数的考查，分别代入和求解是解决问题的方法，属基础题．3．（2024•昔阳县校级模拟）在①函数f（x）＝ax﹣（b﹣1）a﹣x是定义域为R的奇函数且f(1)=83，②函数f（x）＝xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线方程为y＝4x+1，③f（x）＝（a﹣2）2x+2﹣已知函数g（x）＝loga（b+x）+loga（b﹣x）（a＞0，且a≠1，b＞0）．（1）试确定g（x）的奇偶性；（2）已知_____，求不等式g（x）≤1的解集．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【考点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的概念；导数与切线的斜率；函数的单调性；函数的奇偶性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）偶函数；（2）（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【分析】（1）由已知结合函数奇偶性定义，只要检验g（﹣x）与g（x）的关系即可判断；（2）结合所选条件求出b，进而可求g（x），然后结合对数函数的性质即可求解．【解答】解：（1）∵g(x)=loga(b+x)+loga(b-x)=loga(∴g(-故函数g（x）为偶函数；（2）若选择①，∵函数f（x）＝ax﹣（b﹣1）a﹣x是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝a0﹣（b﹣1）a0＝1﹣（b﹣1）＝0，∴b＝2，又∵f(1)=a-∴a＝3，g(x)=log故g（x）≤1可化为log3(4-x2)≤1，即0＜4﹣x2≤3，故﹣2＜x≤﹣1或∴不等式g（x）≤1的解集为（﹣2，﹣1]∪[1，2）；若选择②，∵f（x）＝xlnx+ax+b，∴f'（x）＝lnx+1+a，∴k＝f（1）＝1+a＝4，即a＝3，∵f（1）＝3+b＝5，∴b＝2，g(x)=log故g（x）≤1可化为log3(4-x2)≤1，即0＜4﹣x2≤3，故﹣2＜x≤﹣1或∴不等式g（x）≤1的解集为（﹣2，﹣1]∪[1，2）；若选择③，∵f（x）＝（a﹣2）2x+2﹣b是指数函数，∴a-2=12-b=0∴g(x)=log3(4-x2)，故g（x）≤1可化为log3（4﹣x2）≤1，即0＜4故﹣2＜x≤﹣1或1≤x＜2，∴不等式g（x）≤1的解集为（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．4．（2024•昔阳县校级模拟）对于函数f1（x），f2（x），如果存在实数a，b，使得函数F（x）＝a•f1（x）+b•f2（x），那么我们称F（x）为f1（x），f2（x）的“HC函数”．（1）已知f1（x）＝x﹣3，f2（x）＝﹣2x+1，试判断F（x）＝5x﹣5是否为f1（x），f2（x）的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由；（2）已知f1（x）＝2x，f2（x）＝4x，F（x）为f1（x），f2（x）的“HC函数”且a＝2，b＝1．若关于x的方程F（x）＝m•f2（x）+1有解，求实数m的取值范围；（3）在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b都有a+b2≥ab，当且仅当a请利用“基本不等式”解决下面的问题：已知f1（x）＝x，f2（x）=1x，F（x）为f1（x），f2（x）的“HC函数”（其中a＞0，b＞0），F（x）的定义域为（0，+∞），当且仅当x＝2时，F（x）取得最小值4．若对任意正实数x1，x2，且x1+x2＝2，不等式F（x1）+F（x2）≥m恒成立，求实数【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）若F（x）＝5x﹣5是f1（x），f2（x）的“HC函数”．则F（x）＝5x﹣5＝（a﹣2b）x﹣3a+b，列出方程组，能求出a，b．（2）由题意知：F（x）＝2•2x+4x＝m•4x+1有解，令2x＝t＞0，则方程化为：2t+t2＝mt2+1，从而关于t的方程（m﹣1）t2﹣2t+1＝0有正根，根据m＝1，m≠1，分类讨论，能求出m的取值范围．（3）F（x）＝ax+bx，a＞0，b＞0，x∈（0，+∞），由基本不等式知：F（x）＝ax+bx≥2ab，列方程组求出a＝1，b＝4，从而F（x）＝x+4x，则F（x1）+F【解答】解：（1）若F（x）＝5x﹣5是f1（x），f2（x）的“HC函数”．则F（x）＝5x﹣5＝a（x﹣3）+b（﹣2x+1）＝（a﹣2b）x﹣3a+b，∴a-2b=5-3a+b=-5，解得a＝1，b（2）由题意知：F（x）＝2•2x+4x＝m•4x+1有解，令2x＝t＞0，则方程化为：2t+t2＝mt2+1，∴关于t的方程（m﹣1）t2﹣2t+1＝0有正根，①m＝1时，t=1②m≠1时，Δ＝8﹣4m≥0，解得m≤2，设其根为t1，t2，1°m∈（1，2]时，t1+t2=2m-1＞0，t1t2则t1，t2＞0，符合题意，2°m＜1，t1t2=1m-1＜0，则t1，∴m≤2，且m≠1，符合题意．综上，m∈（﹣∞，2]．（3）F（x）＝ax+bx，a＞0，b＞0，x∈（0，由基本不等式知：F（x）＝ax+b当且仅当ax=bx，即x=解得a＝1，b＝4，∴F（x）＝x+4x，则F（x1）+F（x2）=又x1，x2＞0，x1+x2＝2，则F（x1）+F（x2）＝x1+x2＝2+8x由基本不等式知：x1+x2=2≥2x1∴x1x2≤1，则F（x1）+F（x2）＝2+8x∴m≤10，即m的最大值为10．【点评】本题考查实数的取值范围、最大值的求法，考查函数性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（2024•红谷滩区校级模拟）若存在x0∈D使得f（x）≤f（x0）对任意x∈D恒成立，则称x0为函数f（x）在D上的最大值点，记函数f（x）在D上的所有最大值点所构成的集合为M．（1）若f（x）＝﹣x2+2x+1，D＝R，求集合M；（2）若f(x)=(2x（3）设a为大于1的常数，若f（x）＝x+asinx，D＝[0，b]，证明，若集合M中有且仅有两个元素，则所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列．【考点】函数恒成立问题；函数的最值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）M＝{1}．（2）M＝{1，2}．（3）证明见解答．【分析】（1）配方得到当且仅当x＝1时，f（x）＝﹣x2+2x+1取得最大值，得到M＝{1}；（2）求导，得到函数单调性，求出当x＝1或2时，f（x）取得最大值，故M＝{1，2}；（3）求导，得到函数单调性，并得到f′（x+2π）＝f′（x），得到f(bk)=f(2kπ-π-arccos1a)，结合f（bk+1）﹣f（bk）＝2π，得到bk+1【解答】解：（1）f（x）＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当且仅当x＝1时，f（x）＝﹣x2+2x+1在R上取得最大值，故M＝{1}；（2）f(x)=(2xf'=(令q（x）＝2x﹣2x，则q′（x）＝2xln2﹣2，令q′（x）＝0得x=logx(-∞，log(logq′（x）﹣0+q（x）↘极小值↗其中ln2∈(lne，lne)=(可以看出q（1）＝0，q（2）＝0，故q（x）有且仅有2个零点，分别为1和2，令f′（x）＝0得x=1ln2∈(1，2)x（﹣∞，1）1(1，1ln2(12（2，+∞）f′（x）+0﹣0+0﹣f（x）↗极大值↘极小值↗极大值↘其中f(1)=f(2)=1故当x＝1或2时，f（x）取得最大值，故M＝{1，2}；（3）f（x）＝x+asinx，D＝[0，b]，a＞1，f′（x）＝1+acosx，D＝[0，b]，a＞1，令f′（x）＝0得x=2kπ±arccos(-1a当0＜x＜π-arccos1a时，f′（当π-arccos1a＜x＜π+arccos1a时，当π+arccos1a＜x＜3π-arccos1a时，f′（当3π-arccos1a＜x＜3π+arccos1a时，当3π+arccos1a＜x＜5π-arccos1a，f′（……，由于f′（x+2π）＝1+acos（x+2π）＝1+acosx＝f′（x），故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，要想集合M中有且仅有两个元素，则需要f(b1)=f(π-arccos或f(b3)=f(5π-arccos其中f（x+2π）＝x+2π+asin（x+2π）＝x+2π+asinx，f（x+2π）﹣f（x）＝x+2π+asinx﹣x﹣asinx＝2π，又f(b所有的bk均处在单调递增区间上，所以bk+1﹣bk为定值，故所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列．【点评】本题主要考查函数的最值和恒成立问题，属于中档题．6．（2024•潮阳区校级三模）已知函数f(x)=lnx-（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值．【考点】函数恒成立问题；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），没有单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为(0，1a（2）2e【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a＞0与a＜0分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解．【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx﹣ax，x＞0，所以f'(x)=1x-a=当a＜0时，由于x＞0，所以f′（x）＞0恒成立，从而f（x）在（0，+∞）上递增；当a＞0时，当0＜x＜1a时，f′（x）＞0；当x＞1从而得f（x）在(0，1a综上，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），没有单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为(0，1a（2）令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax-2ax，要使只要使h（x）≤0恒成立，也只要使h（x）max≤0．h'(x)=若a＞0，x＞0，所以ax+1＞0恒成立，当0＜x＜2a时，h′（x）＞0，当2a＜可知h（x）在(0，2a所以h(x)max=h(可知a的最小值为2e若a＜0，x＞0，所以ax﹣2＜0恒成立，当0＜x＜-1a时，h′（x）＜0，当-1a可知h（x）在(0，-1a所以h（x）在（0，+∞）内无最大值，且当x趋近于+∞时，h（x）趋近于+∞，不合题意；综上所述：a的最小值为2e【点评】本题考查了导数的综合运用及分类讨论思想，属于中档题．7．（2024•自贡二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）且f（1）＝﹣3．（1）求f(12)（2）当x＞0时，有f（x）＜0恒成立，求证：a+b＜0时，有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（1）f(12（2）证明见解析．【分析】（1）根据题干已知关系式代数求解即可．（2）通过已知关系式推导出要证明a+b＜0时，f（a+b）＞0即可．【解答】解：（1）因为f（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝﹣3，令x＝y=12，有：f（1）＝f（12+12）＝f（12）+f（所以f（12）=令x＝y＝0，有：f（0）＝2f（0），所以f（0）＝0．令y＝﹣x，有：f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）＝﹣f（﹣x），即f（x）为R上的奇函数．令x＝y=13，有：f（23）＝2f令x=-23，y＝1，有：f（13）＝f（1）+又因为f（-23）＝﹣f（即：f（13）＝﹣2f（13）﹣所以f（13）＝﹣1（2）因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（﹣a）+f（﹣b）＝﹣（f（a）+f（b））＝﹣f（a+b）．即证：a+b＜0时，有f（a+b）＞﹣f（a+b）即可，即证a+b＜0时，f（a+b）＞0即可，因为当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则令t＝﹣x（t＜0），所以x＝﹣t＞0，于是f（x）＝f（﹣t）＝﹣f（t），因为此种情况f（x）＜0，即﹣f（t）＜0，所以f（t）＞0，即当t＜0时，f（t）＞0，从而当x＜0时，f（x）＞0恒成立，取x＝a+b＜0，此时有f（a+b）＞0，即a+b＜0时，有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．【点评】本题考查抽象函数以及函数恒成立问题，属于中档题．8．（2024•闵行区校级三模）设t＞0，函数y＝f（x）的定义域为R．若对满足x2﹣x1＞t的任意x1、x2，均有f（x2）﹣f（x1）＞t，则称函数y＝f（x）具有“P（t）性质”．（1）在下述条件下，分别判断函数y＝f（x）是否具有P（2）性质，并说明理由；①f(x)=3②f（x）＝10sin2x；（2）已知f（x）＝ax3，且函数y＝f（x）具有P（1）性质，求实数a的取值范围；（3）证明：“函数y＝f（x）﹣x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”的充要条件．【考点】由函数的单调性求解函数或参数；充分条件与必要条件．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）①是，②不是（2）a≥4．（3）见解析．【分析】（1）代入P（2）性质直接计算即可．（2）将原式等价与当m＞1时，am（3）由充要条件的概念以及函数单调性的性质判断即可．【解答】解：（1）①是，因为对任意x2﹣x1＞2，f(x所以符合定义；②不是，学生只需举一组反例；（2）显然a＞0，所以设x2﹣x1＝m＞0，则f（x2）﹣f（x1）＝ax2，当x1=-m2时，取f（x2）﹣f（x原问题等价于当m＞1时，am即a＞4m3恒成立，所以得（3）证明：充分性：如果函数y＝f（x）﹣x为增函数，则对任意的x2＞x1，均有f（x2）﹣x2≥f（x1）﹣x1，即f（x2）﹣f（x1）≥x2﹣x1，因此，对任意t＞0，若x2﹣x1＞t，则f（x2）﹣f（x1）＞t，函数y＝f（x）具有P（t）性质，充分性得证；必要性：若对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质，假设函数y＝f（x）﹣x不是增函数，则存在x2＞x1，满足f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1，即f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，取t0则显然f（x2）﹣f（x1）＜t0＜x2﹣x1，即对于t0，存在x2﹣x1＞t0，但是f（x2）﹣f（x1）＜t0，与“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”矛盾，因此假设不成立，即函数y＝f（x）﹣x为增函数，必要性得证．所以“函数y＝f（x）﹣x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”的充要条件．【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，应注意充要条件的概念，属于中档题．9．（2024•格尔木市模拟）已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x﹣2m|．（1）当m＝1时，求不等式f(x)≤（2）若f（x）≤m2﹣m﹣3恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；对应思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】（1）（﹣∞，74]（2）(-∞，-【分析】（1）将m＝1代入，去绝对值求解即可；（2）由三角绝对值不等式可得f（x）≤|m|，将问题转化为|m|≤m2﹣m﹣3，即有m2【解答】解：（1）由题意可知，当m＝1时，原不等式即为|x-当x≤1时，不等式为1-x-(2-x)≤当1＜x＜2时，不等式为x-1-当x≥2时，不等式为x-1-综上，不等式f(x)≤12的解集为（﹣∞，（2）因为|x﹣m|﹣|x﹣2m|≤|x﹣m﹣（x﹣2m）|＝|m|，所以|m|≤m2﹣m﹣3，可得m2可得m≥1+132或m≤1-所以m的取值范围是(-∞，-【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、转化思想及三角绝对值不等式的应用，属于中档题．10．（2024•凉山州模拟）已知函数f（x）＝|1﹣2x|+|2x|的最小值为a．（1）求实数a的值；（2）求12x【考点】函数的最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】（1）1；（2）252【分析】（1）利用绝对值的三角不等式计算即可；（2）法一、利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；法二、利用柯西不等式配凑即可；法三、利用权方和不等式计算即可．【解答】解：（1）f（x）＝|1﹣2x|+|2x|≥|1﹣2x+2x|＝1，当0≤∴a＝1；（2）法一：由（1）可知a＝1，原式=1当且仅当2-2x2x=32x所以12x+8法二：由柯西不等式得，1=1当且仅当12x=2所以12x+8法三：由权方和不等式得，12当12x=4所以12x+8【点评】本题主要考查了绝对值不等式性质的应用，还考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．3．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．4．函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1-x2f(x1)-f(x2)x1-x2②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．5．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．6．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．8．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）=a-2x2x解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）=a-2x2x+1=-f【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．9．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．10．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）=x+2，x＜0x2，0≤x解：f(-f(3f(9故f（f（f（-12）））11．指数函数的概念【知识点的认识】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x=14，x如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．12．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．13．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．14．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”