统考版2024高考数学二轮复习板块1命题区间精讲精讲11空间几何体的三视图表面积体积学案含解析理VIP

PAGE1-空间几何体的三视图、表面积、体积命题点1空间几何体的三视图、绽开图、截面图三视图、绽开图、截面图中的几何度量(1)空间几何体的三视图：①在长方体或正方体中依据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系；②依据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量．(2)空间几何体表面距离最短问题：其解题思路经常是将几何体绽开．一般地，多面体以棱所在的直线为剪开线绽开，旋转体以母线为剪开线绽开．(3)空间几何体的三类截面：轴截面、横截面与斜截面．利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．[高考题型全通关]1．(2024·全国卷Ⅱ)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．E B．FC．G D．HA[该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，明显选A．]2．[高考改编]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(3,2)D[在棱长为2的正方体中还原该四面体P­ABC．如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC．因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为eq\f(3,2)，故选D．]3．圆锥的母线长为l，过顶点的最大截面的面积为eq\f(1,2)l2，则圆锥底面半径与母线长的比eq\f(r,l)的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D[设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝eq\f(1,2)l2sinθ，而0＜sinθ≤1，所以当sinθ＝1，即截面为等腰直角三角形时取得最大值，故圆锥的轴截面的顶角必需大于或等于90°，得l＞r≥lcos45°＝eq\f(\r(2),2)l，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,l)＜1.]4．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝eq\r(3)，AA1＝4，若点P从点A动身，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为()A．5 B．eq\r(31)C．4eq\r(2) D．6B[将三棱柱绽开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1D⊥AB交A1B1于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝eq\f(\r(3),2)，两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1Q＝A1C1×sin60°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，所以C1D＝eq\f(3,2)＋4＝eq\f(11,2)，AD＝eq\f(\r(3),2)，所以AC1＝eq\r(AD2＋C1D2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up7(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))\s\up7(2))＝eq\r(31).]命题点2空间几何体的表面积、体积求解几何体的表面积或体积的策略(1)干脆法：对于规则几何体可干脆利用公式计算；(2)割补法：对于不规则几何体，可采纳“分割、补体”的思想，采纳化整为零或化零为整求解．(3)轴截面法：对于旋转体的表面积问题，经常借助轴截面求解．(4)等体积转化法：对于某些动态三棱锥的体积问题，干脆求解不便利时，可采纳转换底面的方式求解；尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采纳等体积转换法求解．[高考题型全通关]1．[高考改编]榫卯(sǔnmǎo)是两个木构件上所采纳的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为()A．8＋16π，2＋8π B．9＋16π，2＋8πC．8＋16π，4＋8π D．9＋16π，4＋8πA[由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体(底面为边长是1的正方形，高为2)，下方为圆柱(底面圆半径为2，高为2)．其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×2))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×2))＝8＋16π.其体积为圆柱与长方体体积之和，所以V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))×2＋1×1×2＝8π＋2.故选A．]2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB11∶eq\r(3)[设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1­AB1C为正四面体，每个面都是边长为eq\r(2)的正三角形，其表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶eq\r(3).]3．[高考改编]已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3.eq\f(7π,3)[依据三视图可知几何体下部是一个高为1，底面半径为1的圆锥．上部是一个高为3的圆柱被一个斜平面所截后的一部分，底面半径是1.法一：(分割法)几何体的体积是eq\f(1,3)×π×12×1＋π×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)×2))＝eq\f(7π,3).法二：(补体法)几何体的体积是eq\f(1,3)×π×12×1＋eq\f(1,2)×π×12×(1＋3)＝eq\f(7π,3).]4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F①AE∥平面C1BD；②四面体ACEF的体积不为定值；③三棱锥A­BEF的体积为定值；④四面体ACDF的体积为定值．其中结论正确的有________(填序号)．①③④[对于①，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD．同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，①正确．图1图2对于②，如图2，S△AEF＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up7(2))＝eq\f(3\r(6),4)，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA­CEF＝VC­AEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(6),4)×d＝eq\f(\r(6),4)d为定值，所以②错误；对于③，如图3，S△BEF＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d′为定值，所以VA­BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×d′＝eq\f(1,2)d′为定值，③正确；图3图4对于④，如图4，四面体ACDF的体积为VA­CDF＝VF­ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×3＝eq\f(9,2)为定值，④正确．][老师备选]1．若正三棱锥A­BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A­BCD的高为()A．eq\f(\r(6),6)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(6),3)A[设三棱锥A­BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝eq\f(\r(2),2)BC＝eq\f(\r(2),2)，△BCD的面积为eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).由VA­BCD＝VB­ACD得eq\f(1,3)S△BCD·h＝eq\f(1,3)S△ACD·AB，即eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up7(2)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝eq\f(\r(6),6)，即三棱锥A­BCD的高h＝eq\f(\r(6),6).]2．已知一个三棱锥的全部棱长都是eq\r(2)，则该三棱锥的体积为________．eq\f(1,3)[记全部棱长都