平面向量范围与最值问题（解析版）

第26讲平面向量范围与最值问题

【典型例题】

例1.已知正方形A5a>的边长为1,当每个4a=1，2,3,4,5,6)取遍±1时,

14A6+46C+4CO+4OA+4AC+48OI的最小值和最大值分别是()

A.。，加B.0,2>/5C.1,75D.1,2亚

【解析】解：正方形ABC。的边长为1，可得4B+4O=4C,BD=AD-AB,ABAD=0,

14A8+4BC+4cO+&OA+ZAC+yOI

=|4AB+%AD-4AB—AD+%AR+AD+AD—4AB|

=1(4—4+4-4)A/5+(4—4+4+4)4。।

=一4+4-4)+(%-4+4+4)2，

由于，(i=l,2,3,4,5,6)取遍±1,

可得4-4+4-4=o,%-4+4+4=0,可取4=4=1,4=4=1,=—1>a=1,

可得所求最小值为0：

由4一4+4-4，+4的最大值为4,可取4=1,i4=-i,4=4=i,4=1,

4=-],

可得所求最大值为26.

故选：B.

例2.已知在AABC中，|A3+4C|=|8C|=2,且|AC|=1,则函数/⑴=|/A8+(l—f)AC|的

最小值为()

A.1B.3C.空

223

【解析】解：AABC中，|A5+AC|=|BC|=2,且|AC|=1,

：.NBAC=巴,\AB\=y/3,

2

f2(t)=t2AB2+(\-t)2»AC

=3r+(l-r)2

=4r-2t+\

即函数f(t)=\tAB+(1-/)AC|的最小值为日.

故选：B.

例3.如图，在平面四边形AB8中，ABLBC,AD工CD,440=120°,AB=A£>=1.若

点E为边8上的动点，则AE8E的最大值为()

【解析】解：由题可知，AC和BD互相垂直平分，如图所示，分别以或＞、AC所在的直线

为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则4(0,」)，5(—,0),C(0,-),0(-—,0),

2222

设点E的坐标为(m,gm+-|),

AE-BE=(/«,+2)-(/n-+—)

22

=m（m—+（6m+2）（6，"+-1）=4m2+3\/5m+3,me[--,0],

开口向上，对称轴为m=-空，

8

.•.当/«=0时，AE・BE取得最大值,为3.

故选：。.

例4.如图，在A43C中，。是BC的中点，E、尸是AD上的两个三等分点，8A.e4=4,

BF・CF=-1,贝I」BECE的值是（）

73

A.4B.8C.-D.-

84

【解析】解：•。是8C的中点，E,尸是AD上的两个三等分点，

BF=BD+DF,CF=-BD+DF,BA=BD+3DF,CA=-BD+3DF,

BF・CF=DL-BD，=7,

BA»CA=9DF2-BD1=4,

又BE=BD+2DF,CE=-BD+2DF,

BE・CE=4DF?-=-,

8

故选：C.

例5.已知C,。是半径为1的圆O上的动点，线段AB是圆O的直径，则AC-8。的取值

范围是（）

c

D

A.[-2,-1B.[-2,0]C.[-4,-]D.[40]

22

则tana=—,a=2cos2a,Z?=2cosasina,

AC-BD=(a,份(cosJ-1,sin。)

=acos0+bsinO-a

=>Ja2+b2sin(。+<p)-a,

具甘卬rHt4an°a=—=l----,/.a+°=,——兀<(p<—兀,

btana22

从而--<O+(p<-,

22

二.BD=\la2+及sin(O+@)-a的最大值是:y/a2+b2-a,最小值是：-\]a2+b2-a,

最大值为：4cr+Z?2-a=y](2cos2a)2+(2cosa-sina)2-2cos2a

=2cosa-2cos2a

=-2(cosa-gy+g,

当a=C时，取最大值,：

32

最小值是：-Ja2+是a=-2cosa-2cos2a=-2(cosa+—)2+—,

22

当a=0时，取最小值-4；

故所求范围为：[Y,-].

2

故选：C.

例6.已知向量a,b满足：|d|=2,向量b与b夹角为至，则。小的取值范围

3

是.

【解析】解：不妨设1=(%,0)(/..0),<a,b>=B,

OA=a,OB=bta—b=BA.

•.•向量b与d-5夹角为生，

3

/.408=He(0,争.

/.(2^+-)esin(219+-)e[-l,1].

6626

在AOS中，由正弦定理可得：_2_=1±±1=_纠----

sin|sin®点吟-仍

竽sin(等一阴，"一力|=竽0116=522—勿动+上|2,

.8.,,2/r8.2/)

a»b=2+-sin~(----&n)——sm6

333

44万

=-[cos2<9-cos(——2<9)]+2

33

4\/3\/5,1./

=-----(——cos2夕+—sm2。)+2

322

4x/3•/“冗、c-4石64心

=-----sin(26H—)+2€[2---------,2H--------].

3633

・•・a-b的取值范围是[2-竽,2+苧].

故答案为：[2-竽,2+竽].

例7.已知A/WC是边长为2的等边三角形，M为AABC内部或边界上任意一点，则

MA^MB+MC)的最大值为.

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，

AABC中，A(0,x/3),B(-1,O),C(1,O),

-1瓢1

0缴x/3

设M(x,y),则，工+-^”1:

x丫----)]’1

MA=(-x,百—y)，MB=(-1—x9-y)»MC=(1-x,-y)；

MB+MC=(-2x,-2y)i

/.MA・(MB+MC)=2x2+2y2-2岳=2[x2+(y-与丫]-1；

由图形知，当x=0,y=—M，MA・(MB+MC)取得最小值一3：

22

当％=±1,y=0时，M4YMB+MC)取得最大值2；

.,.最大值为2,最小值为-3.

2

故答案为：2,

2

【同步练习】

一.选择题

1.在平面直角坐标系中，已知点4-1,0)、B(2,0),E、尸是)，轴上的两个动点，且|七尸|=2,

则4E・8户的最小值为()

A.-2B.0C.-3D.-4

【解析】解：设点E(0,y),点尸(0,y+2),yeK,则4E=(l,y),BF=(-2,y+2),

AE*BF=1*(-2)+y»(y+2)=y2-2y-2=(y+1)2-3；

当y=—l时，AE・8户的最小值为-3,

故选：C.

2.设心b,W为平面向量，|。|二2|=。力=2,若(23—d)・(d-万)=0,则c•力的最大值是

)

A.x/7+百B.-+75C.—D.-

244

【解析】解："41=161=45=2,「.cosvd,b>==—»即得<&,/?>=—»

1111同x|H23

设右=(x,y),a=(2,0),则b=(1,75),

因为(2c-aA(c、-b)=0,

整理得(x-l)2+(y-3)2=3,

二.向量d的终点的轨迹是以(1,3)为圆心，立为半径的圆.

设z=c•方=(x,y)•(1,G)=x+V5y,

当直线x+石y-z=0与圆相切时，z取得最大值或最小值，

I+—X>/3-z—

此时有-------------解得z=9+V5或』一途，

2222

c・b的最大值为3+6.

2

故选：B.

3.设a,b,c为平面向量，|。|=|切=2,若(2d-a)-(c-b)=0,则的最大值为()

917

A.2B.-C.—D.5

44

【解析】解：根据题意不妨设人=(2,0),a=(2cosa,2sina),ae[0,2^-]»c=(x,y),

则d力=2x,.•.求c・〃的最大值，即求x的最大值.

/.2c-a=(2x-2cosay2y-2s\na),c-b=(x-2,y),

(2c-£7)(c-Z>)=0»

(2x-2cosa)(y-2)+(2y-2sina)y=0,

/.y2-ysina+x2-x(cosa+2)+2cos«=0

•.,关于y的方程有解，「.A=(sina)2-4x2+4x(cosa+2)-8cosa..O,

☆E=COSQ(-啜11),贝ij4x，-4x(f+2)+产+8f-L,0，

t+2-\/5-4tj,,.r+2+75-4;

22

令=M啜63),则上"旦=卫旦士1Z,

28

t+2+yJ5-^t17

工当加=2时,

2"T

17.,-17

—,cb=zx,——，

84

•力的最大值为：—.

4

故选：C.

4.记/nar{a,A}=,已知向量a,b»c满足|a|=1,|=2,aS=O,c=Aa+jLth(A,

\h,a<b

〃..O,且4+〃=l,则当cM取最小值时，©=()

A2。a2及

A•-----・-----C.1

53T

【解析】解：如图，

设OA-a,O8-Z>,则d=(l,0),〃=(0,2),

•.2,;z..O,4+〃=1,1.

又d=入。+"b，

/.c»a=(Za+b-Ab)»a=A,；

c・b=(Aa+/?-2Z>)«Z?=4-42.

4

由2=4-42,得2=—.

5

4

1

:.max{c^a,

4

4—42,0”^<—

4

2,-^R1

令/⑷={5/

4

4-4A,0„2<-

则/(团£[([

44i

fWmin=-»此时义=g,〃=m：

故选：A.

5.已知平面向量a,6,c满足=b=-1,|。|=1,|..2,=xa+yb,x,

yeR,则x+y的取值范围是()

7777

A.[--,-1)B.C.[--,0)D.[--,0)

4343

【解析】解：设。=(1,0),

由〃•，•=〃•/?=-1.可设b=(-l./力)，c=(—l,n),

­.UI..2,

1+〃P.4,即加..3,

Vc=xa+yb=(x-y,my)=(-l,〃)，

[my=n

：./?-c=1+nm=-1»解得mn=-2f

..n,4

,-.x4-y=-l+2x—=-1----,

mnr

,/m..3，

7

x+yef——,—1).

故选：B.

6.已知平面向量d,b,d满足|a|=l,|力|=2,|c|=3,且a_L6,则|a+匕一c|的取值范

围是()

A.[3-逐，3+右]B.(3,6)C.(3,3+行]D.[3-6，6)

【解析】解：不妨以向量6,6的方向分别作为x,y轴建立平面直角坐标系，则a=(L0),

匕=(0⑵，

因为我1=3,所以设1=(3cos，,设in。),^e[0,24],

所以a+5-(!=(l+3cose,2+3sin9)，

所以|a+b-c|=J(l+3cos6)2+(2+3sin④2=j2(6sine+3cos6+7)，

设/(0)=6*in〃+3ccs〃+7,2TT],

则/(e)=3x/5sin(e+0)+7，其中tan>=Le(O,立),所以6w(0二)，

236

所以sin(e+Q)e[-l,lb

故f(8)e[7-36,7+375],

所以|4+。一右怕[收行三万，,2(7+3面,即|a+b-c月3—逐，3+75],

故选：A.

7.已知O为A4BC的外心，A为锐角且sinA=2f,AO=aAB-/3AC,则a+6的最

大值为()

A.-R.-C.-D.-

3234

【解析】解：如图所示，以3c边所在直线为x轴，

BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(。为边的中点).

由外接圆的性质可得ZBOD=Z.COD=ABAC.

由A为锐角且sinA=2包，

3

不妨设外接圆的半径R=3.则。1=O8=OC=3.

cosZCOD=^^-=cosA=-，

OC3

..8=1,DC=>JOC2-OD2=272.

/.B(-2y/2,0),C(2&,0),0(0,1),A(m,〃)，

则A$C外接圆的方程为：x2+(y-l)2=9.(*)

AO=aAB+pAC,

{-m，1-〃)=a(-2\f2-m,-〃)+-m,-n),

-m-a(-2\f2-m)+0Qa-ni)

・・'，

\-n=-an-pn

•a+夕工1时，否则CO=aC8,由图可知是不可能的.

2&(夕-a)

m=----------

可化为，a+'T

-1

n=--------

a+fi-\

代入（*）可得8（夕—a）2（-a-2）；，以

（a+/一I）?（a+fi-1）2

化为18（a+尸）=9+32的，

利用基本不等式可得18（a+伊,,9+32（4芋尸,

化为8（。+夕）2-18（。+夕）+9..0,

解得a+B，,1或a+?.；1.

又。+6<1,故a+尸.」应舍去.

。3

,・a+仇,-9

8.正三角形ABC内一点M满足CM=〃7c4+〃CB,ZA/C4=45°则巴的值为（）

n

D.包

A.6-1B.G+lC.^-―

22

【解析】解：如图，设正三角形的边长为a,由CM=mCA+nCB得：

CM.CA=mC^+〃CA・CB

CM・CB=mCA^CB+〃CB，

“八。M。、\&g近叵+娓

cos15<o=cos(60°-45°)=—•——+——>——=-----------:

22224

^-^CM^a=nia2+-^-O

・«•

走捶威|0=皿+而②’

I4।।2

42

...鬲=2z4

2

_G-1

"~n~2

故选：D.

9.已知共面向量力,h,d满足|a|=3,b+C=2a,且|A|=|b—c|.若对每一个确定的向

量入记的最小值d-则当方变化时，d”珈的最大值为()

4

A.-B.2C.4D.6

3

【解析】解：如图，设AM=a,AD=b,AB=c,

b+c=2af

.•.M为皮>的中点，

,/|a\=3,/?+c=》z,且|力|=|b-d|.若对每一个确定的向量b,记-/aI(zwR)的最小值

4.，

/.5&犯0=—«3t/*2=3d：>

•••/1=111,

:.AD=BD^

设AB=c,AD=b,

.•.在oA4C£>中，”(AB)?+(AD)2]=AC2+BD2,

.\Z?2+2c2=36,①，

iL?

•••S^BD=%；一空=—・c・Jb-----,

2V4

c»^36-cVl6-c2,

将①代入可得，S婀=；・

/.3J=-cV16-c2,

4

=咯=2,当且仅当c?=8时，取等号,

44V2

故选：B.

10.已知向量a,人满足：|«|=2,<a,力>=60。，Kc=--a+e/?)»则|c|+|W-a|

2

的最小值为()

A.x/13B.4C.2GD.—

4

【解析】解：由题意可知，把4看作(2,0),

<a»b>=60°»

则方可表示为30,点B在直线7=瓜上，

设C(T,0),2X3,0),

1

c=—a+tb,twR、

2

3

.'.Ic|=BC>c—ci=—a+ib,

2

:\c-a\=\BD\,

则|c|+1c-a|的最小值可转化为在直线y=限

取一点B，使得3c最小，

作点。关于y=岳的对称点C,

则比)+8。最小值即可求出DC,

设C(x,y)，

3二1

“+16,解得x=Ly=-—,

由

工❷口22

22

则CD=出+3）2+（—亭-0）2=713,

故忖l+M-川的最小值为岳.

故选：A.

11.已知A、B、C、。是单位圆O:/+y2=i上的相异的四个点，且4、8关于原点对

称，则ACB。的取值范围是（）

A.（-4,1]B.L-4,1）C.（-4,>/2]D.[-4,扬

【解析】解•：如图所示，因为A、B、C、。是单位圆0:r+y2=i上的相异的四个点,

且A、8关于原点对称，

当点A与点。重合，点8与点C重合时，AC-BD=\AC\\BD\cos\SO°=-4,

由于A、B、C、。是相异的四个点，

所以AC3O>T；

当点E,D,尸三点分别为C,A,。的投影点，

则所产，EF,,R,

所以AC8O=3OOE=2O广•。磁20尸（1一。尸）

2

当且仅当叨//OC且。尸=OE时取等号.

综上所述，AC的取值范围是（-4」].

2

故选：A.

12.边长为2的正三角形ABC内(包括三边)有点尸，PB・PC=1,则AP・A8的范围是(

)

A.[2,4]B.[土诙，4]C.[3-75,2]D.[土诙，3-45]

22

t解析】解：以6C中点O为原点，6c所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

/.B(-I,O),A(O,G),C(UO),

设尸的坐标为(x,y),

PB=(-1-x-y),PC=(\-x-y)t

PB»PC=x2-\+y2=\,

即点P在/+丁=2的圆弧即MN上,

Qd丸.A3g-MQS/30+76

p=^--,sinp=---------,cosp=---------,

设ZAOP=Q,则一像I切p>P(夜sin夕，夜cose),

AP=(Vising,0cos@-上),

XAB=(-1,-73),

所以ARAB=-&sin8->/^cos9+3,—户软步。,

当0=一万时，AP.A8最大，舒・.钻=(_扬《3夜—啊—底而+#+3=3—逐；

88

当*=/时，AP.A8最小，AP・AB=(-五)「五;而一巫X而;屈+3=^^~；

所以AP.A8的范围是［三普，3-小］.

故选：。.

二.填空题

13.如图，在直角梯形A5CD中，ADA.AB,AB//DC,AD=DC=\,AB=2,动点P

在以点C为圆心，且与直线8。相切的圆上或圆内移动，设AP=/LAD+/MB(4〃£R),则

4+〃取值范围是

B

【解析】解：以A为坐标原点，A3、4)所在直线为x轴、)，轴，建立平面直角坐标系如

图所示.

则40,0),0(0,1),C(l,l),5(2,0)

直线处的方程为介:=1,化简得x+2y-2=0,

|1+2-2|二逐

点。到皮)的距离d=75=T

M得以点C为圆心，且与直线8。相切的圆方程为

(x-l)2+(y-l)2=l.

设尸(x,y),则/户=®y),AD=(0,1),AB=(2,0),

AP=AAD+eR),

/.(x,y)=2(0,l)+〃(2,0)=(2〃，2),

可得x=2〃且y=4,P的坐标为(2〃,4).

••尸在圆内或圆上，

..(2〃-I)2+(A-1)2„(，

设义+//=，，得〃=£—4,

0

代入上式化简整理得522-⑹-2)4+4/-4/+1,,0,

若要上述不等式有实数解，

q

则△=(81—2尸-4x5x(4r-4r+-)..O,

化简得产-3r+Z,0,

解得啜I2,

即啜Jl+〃2,

.•.丸+〃取值范围是[1,2].

故答案为：[1,2]

14.在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB//DC,AD=DC=1,AB=2,动点P在以点

C为圆心，且与直线用)相切的圆上或圆内移动，设AP=/iAO+〃A8Gl.〃eR),则万十1切

AD所在直线为x轴、)，轴，建立平面直角坐标系如

图所示.

则A(0,0),8(2,0),WM),

则直线3。的方程为x+2y-2=0,

则点C(l,l)到直线班＞的距离为粤二a=J=

V5V5

可得以点C为圆心，且与直线如相切的圆方程为

(x-l)2+(j-l)2=1.

设尸(x,y),则4P=*,y),AD=(0,1),AB=(2,0),

y.AP=AAD+juAB(Z^eR),

/.(x,y)=A(0,1)+〃(2,0)=(2幺，A),

可得x=2〃且y=4,尸的坐标为(2〃,4).

一尸在圆内或圆上，

.\(2//-1)2+(2-1)2„.-.l-yiljl[+《，

设2+//=r»得〃=z-A，

代入上式化简整理得522-(St-2)Z+4r-4r+-„0,

若要上述不等式在九6[1-q，1+g]上有实数解,

Q

对于函数g(x)=5储-(St-2)2+4r-4/+-„0.

S

o

g(l-5，

g

5o

则需g(l+9

.=(8/—2-,一4x5x(4,r-4r+j9)..O

解得啜I2,

A2+-^=^+-A(t-A)=^--X1+-At=--A2+-At=--(A2--U)

22222225

又二小二，3,

10105

故当人看时，储+加取得最大值青，又倒2,

4=(,/=2时，分+1办取得最大值需.

故答案为：—

10

15.已知AA5C中，AB=2,AC=l,当2x+)，=r(l>0)时，|x43+)，AC|..乎，恒成立,

则AABC的面积最大值为L

【解析】解：不等式|"8+)，AC|..

两边平方可得，x2AB2+y2AC2+2外A8・AC.J产,

由A8=2,AC=1,2x+y=t,可得

4x2+/+4A)<2COSA-1)..O,

由判别式16y2(2cos4-T-16媒0,

即为cosA(cosA—1\,0,

可得cosA.0,即A的最大值为X，

2

当cosA=0时，|xAB+yAC|=y]4x2+y2..(2x+y)»

则A4BC的面积为S=LA8・AC・sinA=—x2x1=1；

22

在直角三角形ABC中，取BC的中点。，连接PD,

则尸8+尸。=2尸。，

则PA・(PB+PC)=2PA・PD,

当月，P，。三点共线时，PA.PD<0,

又此时AD=-BC=—,

22

即有2PA・P£>=-2\PA\-\PD|

5

..2・(IM+g工

2168

故答案为：1,—3.

3

16.在四边形ABC。中，々=60°,AB=3,BC=6,AD=ABC,ADAB=~,则实

2

数4的值为-___________.

-6

【解析】解：•AOn/iBC，.•.AD//8C,

•・・N3=60°,.-.ZZMB=120°,

4D-4fi=62-3cosI20°=--.

过A作AO_LBC,垂足为O，则OB='A8=3,OC=~,AO=—,

2222

以O为原点，以5C,04所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示:

则。(1,竽)75

设”(x,0),N(x+2,0),—三皴k

22

3H

：.DMDN=(x+l,—

2

7723

DMDN=x2-1+—=^+—,

44

.•.当x=0时，力M•力N取得最小值一.

故答案为：.

64

17.设正A4BC的边长为1,f为任意的实数，则IA8+MCI的最小值为

【解析】解：.，正AA3C的边长为1,/为任意的实数,

：iAB+(AC|2=AB+12AC~+2tAB»AC=1+/2+2zxlxlxcos60°=r24-r+l,

当仁」时，/+/+1取到最小值3,

24

/.|A3+/AC|的最小值为且，

2

故答案为：B.

2

18.已知向量。，。满足|。|=3,|b|=4,则|。+方|+|a-b|的取值范围为

【解析】解：设向量。，6的夹角为。，\d+b\+\a-b\=yl(a+b)2+yl(a-b)2,

=\la2+b2+2ab+y/a2+b2-2ab=j25+24cos®+j25-24cos8,

令y=J25+24cos6+,25-24cos6,/=50+27252-242cos20,

vee[0,乃]，cos28e[0,1],

即〉2村64,100],JG[8,10],

故答案为：[8,10].

19.已知向量d=(3,4),向量b满足|〃-切=3,则|8的取值范围是

【解析】解：设b=(x,y),

/.a-b=(3-jf,4-y),

a-b\=3,

：.V(3-^)2+(4-y)2=3,

化为(x-3)2+(y-4)2=9.圆心C(3,4),半径r=3.

...|0C|=V32+42=5.

.\|切=1f+与的取值范围是[5一3,5+3],即。，8J.

故答案为：[2,81.

20.已知向量为力满足|8|=1,。2-12。/+]=0,则力・(2。+㈤的取值范围是________.

3

【解析】解：由/一史夕。+1=0,

3

贝I」a2—^\a\\b\cos<a,h>+1=0,

又|白1=1,cos<a,b>€[-1,1],

则3/-10|a|+3”0,

即4a|3.

3

Q3

贝4岳(24+。)=2向。+62=-+-t?2,

又如d|3,

3

则b.(2a+b)w2,7],

3

故答案为：g,7].

21.已知向量a,b满足|a-b|=2且0融为1,则|a+0|的取值范围是

[2,2①.

【解析】解：•」|〃一人|=2,

二.|肝-2a-b+\bf=4,

laf+\bf=4+2a-b,

又|a+1l=J|a|2=\l4+4ab,

,OMib1,

4^+4a-b8,

••.2别|。+力|2A/2,即伍+人的取值范围是[2,20]；

令OA=a,OB=b,AB中点为M,AM中点为N,则

\3a+b\=\3OA+OB\=l2OA+OA+OB\=2\OA+OM\=4\ON\,

又|。+力|=|OA+OB|=2|OM|c[2,2Vi],

|0AY|e[l,V2],

又ON=OM+MN,

.♦.当OM与MN共线时，|ONJ=Vi+；x2=x/i+g,

|3tz+Z>|ww=4x(V2+1)=4x/2+2.

第2小问另解：

|3«+Z>H2(a+b)+(d-b)\^\a-b\+\a-b\=2\a+b\+24忘+2.

故答案为：［2,2>/2］；4夜+2.

22.已知向量内力满足»|=|a+3bl=2,则-b|的取值范围是

32

a=一〃+一〃

55

【解析】解：令加=〃—2Z>.〃=〃+乂，反解得，

,11

b=—m+—n

55

由已知|欣m=2,令己=(2cosa,2sina),h=(2cos/?,2sin0),

所以d-b=1比+g”=G8sa+1cos/7,1sina+[sin〃)，

所以I'gcosa+gcos尸f+(gsina+]sin力了,

A父a,

=—+—cos(a-p)cos(a-/?)G[-1,1],

所以史效jd-W4,

25

所以《剌〃-加2.

故答案为：g,2].

23.已知向量a,h,满足|a|=l,〃与b的夹角为工，若对一切实数尤，\xa+2b\..]a+b\

3

恒成立，则|的取值范围为.

【解析】解：ah=—\h\,«2=1»

2

\xa+2b\..]a+b\恒成立，

.•.丁+(24-1)|力|+3|b|2-1..0恒成立，

即d+2闻》+3闻2-闻一1..0恒成立，

,4|b『-4(3|^|2-|^|-1)„0,

解得|见」或仍|”一工(舍)，

2

故答案为：[1,-H»).

24.已知平面向量。、b、[满足|a|=4,\b\=3,|c|=2,bc=3,则

(a-b)2(a-c)2-[(a-b)\a-c)]2最大值为.

【解析】解：设。4=〃,。8=〃,0。=°,。一6与4-右所成夹角为6,

则(d-b)2(a-c)2-[(a-b)(d-c)f=\ABf\ACf-\AB|2|ACfcos20

=|AB|2|ACI2sin20^AB^\AC^sin2ZCAB=45^^,

lil:7y/・d=6cos〈〃,c〉=3,cosS,c〉=,，所以瓦c的夹角为60。，

2

设5(3,0),C(1,b)，则|BC|=卜+2?一2x3x2xg=",

所以&瓯=、3x2xsin60o=地，设。到BC的距离为八

则』-3。/?=5.如=延，所以卜=岑~,

因为|a|=4,所以点A落在以点O为圆心，以4为半径的圆上，

所以A到5c的距离最大值为4+6=4+酒，

7

所以心.的最大值为gx/x(4+券)=2"+孚，

所以(a-b)2(a-c)2-[(a-b)(a-c)f的最大值为

4(2/+—)2=(4x/7+3百丫=139+24历.

故答案为：139+24⑸

..

25.已知平面向量。，〃，。满足|b|=2|a|=l,|c|=5/2,(c-4d)»(c-4b)=0,则|2d-b|

的取值范围是.

【解析】解：\2a-bf=4a2+b2-4a*b=2-4a^b,

(c-4o),(c-4b)=0,

c2—4c(a+Z?)+16a•b=0,

/.1+8a$=2c(a+h)„2\c\^a+h\=2\/2»\la2+2a^h+b2=2&聆+2"2,

当且仅当3+。)//时取等号.

..二鼬力

88

,,17

12a—力|=2—4〃4)€［―,—］?

二•日效］2。一力|半.

故答案为：［孝，半］.

26.已知共面向量可Re•满足|d|=3,Z?+c=2a,且|方若对每一个确定的向量b,

记|bTal(feR)的最小值为d*,则当b变化时，d.的最大值为.

【解析】解：设QA=a,OB=b,OC=c,以OB,0C为邻边作平行四边形。麻)C,

由题意可知00=204,04=3,

\jb\=\b-c\;.OB=BC，AB=-OB^

f2

过B作BEJLQD,则Ib-Sl(rwR)的最小值为4M加=8E,

2cfrr3〃P八

nr+9----------+9

设=ZAOB=a,则cosa="--------4----4

2X77?x36/n

小6>_(型+9)2J-<-加一15尸+144

BE=OBsina=C---------------------=2,------------------

6〃？6

故答案为：2.

27.在边长为1的等边三角形中，O为线段8c上的动点，£应_£4?且交至于点£,

。产//A8且交AC于点尸，则|25七+。产|的值为1.

【解析】解：设8E=x,xe(0,g),

因为AABC为边长为1的等边三角形，DE±AB^

所以4BDE=3U;BD=2x,