2024-2025学年广东省广州市部分学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市部分学校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x∈N∗|x≤7}，集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5}，则∁A.{1,2,3,4,5} B.{0,1,3,5,6,7} C.{0,6,7} D.{6,7}2.设x∈R，则“1<x<2”是“x2−2x−3<0”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)与g(x)的对应关系如下表.则g[f(−1)]的值为(

)x−101f(x)132x123g(x)0−11A.0 B.3 C.1 D.−14.下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(

)A.对于实数a，b∈R，有a2+b2−2a−2b+2<0

B.幂函数的图象过定点(1,1)和点(0,0)

C.存在幂函数的图象过点(2,4)

D.当n<05.若函数f(x)=(2−3a)x+1,x≤11x−1,x>1是R上的减函数，则aA.[23,+∞) B.(23,+∞)6.若x，y均大于零，且x+y=2，则1x+4yA.5 B.4 C.9 D.97.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Diricℎlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：f(x)=1,x∈Q,0,x∈Qc(其中Q为有理数集，Qc为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：D(x)=a,x∈Q,b,x∈Qc(其中A.定义域为R

B.当a>b时，D(x)的值域为[b,a]；当a<b时，D(x)的值域为[a,b]

C.D(x)为偶函数

D.D(x)在实数集的任何区间上都不具有单调性8.已知函数f(x)=x2−2tx+1在区间(−∞,1]上递减，且当x∈[0,t+1]时，有f(x)max−f(xA.[−2,2] B.[1,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有(

)A.f(x)=x2−1与g(x)=x+1⋅x−1

B.f(x)=|x|与g(x)=10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则A.a<0

B.不等式bx−c>0的解集为{x|x<6}

C.4a+2b+c>0

D.不等式cx211.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，则A.f(x)的最小值为−1 B.f(x)在(−2,0)上单调递减

C.f(x)≤0的解集为[−2,2] D.存在实数x满足f(x+2)+f(−x)=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则集合A真子集个数为______13.命题p：∀x>2，x2−1>0，则命题p的否定是______．14.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)a−b>1，则不等式f(x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知f(x)=3−x+1x+2的定义域为集合A，集合B={x|−a<x<3a−6}．

(1)求集合A；

(2)若16.(本小题15分)

已知f(x)是定义在[−1,1]上的偶函数，且x∈[−1,0]时，f(x)=xx2+1．

(1)求f(0)，f(−1)；

(2)求函数f(x)的表达式；

(3)17.(本小题15分)

设函数y=ax2+x−b(a∈R,b∈R)．

(1)若b=1，且集合{x|y=0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；

(2)解关于x的不等式18.(本小题15分)

某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目．该项目的月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y=13x3−80x2+5050x,120≤x<150,12x2−200x+80000,150≤x<500．19.(本小题17分)

已知幂函数f(x)=(p2−3p+3)xp2−32p−12，满足f(2)<f(4)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数ℎ(x)=n−f(x+3)，是否存在实数a，参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.C

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.BD

11.ACD

12.511

13.∃x>2，x214.(−1,2)

15.解：(1)要使函数有意义，则有3−x≥0x+2>0，解之可得：−2<x≤3，

所以集合A={x|−2<x≤3}．

(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，

因为B={x|−a<x<3a−6}，所以分B=⌀和B≠⌀两种情况，

若B=⌀，则−a≥3a−6，解得：a≤32；

若B≠⌀，要使B⊆A成立，则有3a−6>−a−a≥−23a−6≤3，解得：32<a≤2，16.解：(1)当x=0，x=−1时，f(0)=0,f(−1)=−12;

(2)设x∈[0,1]，则−x∈[−1,0]，则f(−x)=−xx2+1，

因为函数f(x)为偶函数，所以有f(−x)=f(x)，即f(x)=−xx2+1，

所以f(x)=−xx2+1,x∈[0,1]xx2+1,x∈[−1,0);

(3)设0<x1<x2<117.解：(1)若b=1，{x|y=0}有且只有一个元素，

所以ax2+x−1=0有且仅有一个根，

当a=0时，x−1=0，即x=1，则{x|y=0}={1}，满足题设；

当a≠0时，Δ=1+4a=0，即a=−14，则{x|y=0}={2}，满足题设；

所以a的取值集合为{−14,0}．

(2)由ax2+x−b<(a−1)x2+(b+2)x−2b，得x2−(b+1)x+b=(x−b)(x−1)<0，

当b<118.解：(1)当x∈[200,300]时，该项目的利润ω=200x−(12x2−200x+80000)=−12(x−400)2，

∵x∈[200,300]，则ω<0，故该项目不能获利，

当x=200时，ω取到最小值−20000，

故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损．

(2)当12≤x<150时，平均处理成本yx=13x3−80x2+5050xx=13(x−120)2+250，

当19.解：(1)由幂函数f(x)=(p2−3p+3)xp2−32p−12，满足f(2)<f(4)