2023-2024学年广东省深圳市光明区李松萌学校九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题光明区李松蓢学校2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（共10小题）1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A.x=0 B.x=3 C.x≠0 D.x≠32.“琴棋书画”棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.若，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.4.下列从左到右的变形为因式分解的是（）A. B.C. D.5.如图：，，那么CE的长为（）A.3 B.4 C.5 D.66.下列说法错误的是（）A.对角线相等的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是菱形C.矩形的对角线互相垂直 D.菱形的对角线互相垂直7.如图，在中，，，请观察尺规作图痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（）A. B. C. D.8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且9.根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（）A B.C. D.10.如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（）A. B. C. D.二．填空题（共5小题）11.分解因式：__________．12.如图，菱形中，若AC=10，，则菱形面积为__________．13.已知a是方程的一个实数根，则的值为_________．14.如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则__________．15.如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为____________．三．解答题（共7小题）16.解下列方程：（1）；（2）．17.先化简，再求值：，其中．18.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）若和关于原点成中心对称，请画出；（2）将绕点逆时针旋转得到，请画出；（3）将进行平移得到，若的坐标为，则坐标为___________；（4）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是___________．19.如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长．20.某服装店老板用4000元购进了一批甲款恤，用8800元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵5元．（1）购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？（2）老板把这两种恤的标价都定为每件100元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？21.数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．请根据以下探究过程，回答问题．（1）作出函数的图象．①列表：…012……310123…其中，表格中的值为___________；②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，回答下列问题：①当___________时，函数有最小值，最小值为___________；②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大；（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________；（4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________．22.在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．

（1）【探索发现】如图①，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想之间的数量关系为（2）【拓展提升】如图②，若点在线段上（不与点重合），试猜想之间的数量关系，并说明理由；（3）灵活应用】当，时，直接写出线段的长为．

光明区李松蓢学校2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（共10小题）1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A.x=0 B.x=3 C.x≠0 D.x≠3【答案】D【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：由题意得，x﹣3≠0，解得，x≠3，故选D．【点睛】此题考查了分式有意义的条件，注意：分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零．2.“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3.若，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：∵，∴不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，∴，∴错误，故项不符合题意；∵，∴不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，∴，∴错误，故项不符合题意；∵，∴不等式的两边同时加，不等号的方向不变，∴，∴错误，故项不符合题意；∵，∴等式的两边同时乘以，不等号的方向变化，∴，∴正确，故项符合题意．故选：．【点睛】本题考查了不等式的性质，理解不等式的性质是解题的关键．4.下列从左到右的变形为因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【详解】解：是整式乘法运算，是整式乘法运算，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，从左到右的变形为因式分解，故符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练掌握：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫多项式的因式分解．5.如图：，，那么CE的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵，∴，，即，∴CE＝3，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．6.下列说法错误的是（）A.对角线相等的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是菱形C.矩形的对角线互相垂直 D.菱形的对角线互相垂直【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定和性质即可求解．【详解】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；、四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；、矩形的对角线相等且相互平分，故选项错误，符合题意；、菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查特殊四边形的判定和性质，掌握相关知识的判定方法及性质是解题的关键．7.如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，由作图方法可知是的中垂线，则，可得，进而求出，由作图方法可知是的角平分线，则．【详解】解：∵，，∴，由作图方法可知是的中垂线，∴，∴，∴，由作图方法可知是的角平分线，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，解得：且，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．9.根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建盲道米，根据实际比计划提前2天完成任务列出方程即可．详解】解：设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建盲道米，由题意得，，故选A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．10.如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长，交于E，证明是等边三角形，进而得出，，最后根据勾股定理求出即可．【详解】解：延长，交于E，∵，∴，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理求解．二．填空题（共5小题）11.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12.如图，菱形中，若AC=10，，则菱形的面积为__________．【答案】120【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，∴菱形的面积=，故答案为：120．【点睛】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．13.已知a是方程的一个实数根，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a的值代入已知方程，即可求得的值，从而求得的值．【详解】解：∵a是方程的一个实数根，∴，即，∴．故答案为：2023．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．14.如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则__________．【答案】【解析】【分析】根据题意易得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，∠C=40°，然后根据等腰三角形的性质及领补角、三角形的外角性质可进行求解．【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转到的位置，，，∴∠B=∠ADE=65°，AB=AD，∠C=40°，∴∠B=∠ADB=∠ADE=65°，∴∠EDC=180°-65°-65°=50°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=40°+50°=90°；故答案为．【点睛】本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解题的关键．15.如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为____________．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，证明得到，，利用勾股定理求出，从而得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即可利用勾股定理得到．【详解】解：如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题）16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴，解得；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先对括号里进行通分，再利用分式的乘除法法则进行计算，化简后代入数值计算即可．【详解】解：原式；当时，原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）若和关于原点成中心对称，请画出；（2）将绕点逆时针旋转得到，请画出；（3）将进行平移得到，若的坐标为，则坐标为___________；（4）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是___________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（4）【解析】【分析】（1）分别找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点，连接即可；（2）分别将的三个顶点绕点逆时针旋转得到，连接即可；（3）由A及的坐标变化判断平移方式，进而确定点的坐标；（4）满足以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点共有三个，由图可知，在轴上只有一个，且，可得D点坐标为．【小问1详解】如图所示，即为所求．【小问2详解】如图所示，即为所求．【小问3详解】由及的坐标变化判断平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得；故答案为：．【小问4详解】以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点在轴上，即，由平行特性及点的坐标，可得D点坐标为；故答案为：．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转、中心对称的变化规律，熟练掌握图形变化及变化过程中点的坐标变化是解题的关键，本题的难点是由已知三点确定平行四边形存在性．19.如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证．（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴四边形平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【小问2详解】解：∵四边形菱形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．20.某服装店老板用4000元购进了一批甲款恤，用8800元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵5元．（1）购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？（2）老板把这两种恤的标价都定为每件100元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？【答案】（1）甲款恤单价为50元，乙款恤单价为55元（2）40件【解析】【分析】（1）设甲款T恤单价为元，则乙款T恤单价为元，根据所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，列出方程进行求解即可；（2）设销售乙款T恤件，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可．【小问1详解】解：设甲款T恤单价为元，则乙款T恤单价为元依题意得：解得：经检验，是原方程的解∴答：甲款恤单价为50元，乙款恤单价为55元；【小问2详解】解：依题意得：甲售价（元/件）设销售乙款T恤件依题意得：解得：∴乙款T恤至少要销售40件答：乙款恤至少要销售40件．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键的读懂题意，正确的列出分式方程和一元一次不等式．21.数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．请根据以下探究过程，回答问题．（1）作出函数的图象．①列表：…012……310123…其中，表格中的值为___________；②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，回答下列问题：①当___________时，函数有最小值，最小值为___________；②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大；（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________；（4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________．【答案】（1）①2；②见解析（2）①，0；②（3）（4）【解析】【分析】（1）根据解析式即可求出的值；（2）观察函数图象，即可得出相应结论；（3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解；（4）绕点旋转形成的直线簇，找到满足条件的临界位置即可求解．【小问1详解】解：①当时，故的值为，故答案为：2；②函数图象如图所示：【小问2详解】解：由图象可知：①当时，函数有最