新北师大版八年级下册数学教案

第一章三角形的证明

1.等腰三角形(一)

一、教学目标如：

1.知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等

腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2.能力目标：经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体

会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能

力;

3.情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理

与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；

二.教学重、难点

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和

方法；

难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表

达等。

三、教学过程分析

笫一环节：回顾旧知导出公理

请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下

三条：

两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

三边对应相等的两个三角形全等(SSS);

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.(推论)两角及其中一角的

本边对应相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行

证明；

2.回忆全等三角形的性质。A

己知：如图，NA=ND,NB=NE,BC=EF./\/\

求证：△ABCgZ\DEF.BCE---------

证明：:NA=ND,NB=NE(已知)，

又NA+NB+NC=180o,ND-NE+NF=180。(三角形内角和等于180°),

/.ZC=180o-(ZA+ZB),

ZF=18O°-(ZD+ZE),

/.ZC=ZF(等量代换)。

又BC=EF(已知)，I.AABC^ADEF(ASA)。

第二环节：折纸活动探索新知

提问：“等腰三角形有哪些性质？如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动

验证这些性侦吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”

第三环节：明晰结论和证明过程

让学生明晰证明过程。

(1)等腰三角形的两个底角相等；

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

第四环节：随堂练习巩固新知

第五环节：课堂小结

第六环节：布置作业

四、教学反思

1.等腰三角形（二）

一、教学目标：

1.知识目标：探索一一发现一一猜想一一证明等腰三角形中相等的线段，

进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

2.能力目标：①经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步

体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的

能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高

学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；

3.情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和

求知欲.

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

二.教学重、难点

重点：经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，能够用综合法证明

有关三角形和等腰三角形的一些结论.

三、教学过程分析

第一环节：提出问题，引入新课

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一

些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?

例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等

已知：如图，在AABC中，AB=AC,BD、CE是AABC的角平分线.

求证：BD=CE

证明：VAB=AC

・・・NABC=NACB（等边对等角）.

；Z1=|NABc,Z2=1ZABC

AZ1=Z2.

在△BDC和△CEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

△BDCdCEB(ASA).

・・・BD=CE(全等三角形的对应边相等)

第三环节：经典例题变式练习

活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可

以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

(1)如果/ABA：ZABCZACE=|NACB呢？由此，你能得到一个什么结论?

⑵如果AD4AC,AE二;AB,那么BD=CE吗?如果心端AB呢?由此你

得到什么结论？

第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质

活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形

的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：AABC中，AB=BC=AC.

求证：ZA=ZB=ZC=60°.

证明：在AABC中，TAB=AC,・・・NB=NC（等边对等角）.

同理：ZC=ZA,AZA=ZB=ZC（等量代换）.

又・・・NA+NB+NC=180°（三角形内角和定理），,NA=NB=NC=

60°•

第五环节：随堂练习及时巩固

第六环节：探讨收获课时小结

课外作业

四、教学反思

1.等腰三角形（三）

一.教学目标：

1.探索等腰三角形判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用，培养学生的逆向思维能力。

二.教学过程分析

第一环节：复习引入

活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求

学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是

什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有

两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

第二环节：逆向思考，定理证明

A

教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这A

是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”/\

思考问题，这也是获得数学结论的一条途径.例如“等边对等BLt

角”，反过来成立吗？在AABC中，ZB=ZC,要想证明AB=AC,只要构造两个全

等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构造的？

第三环节：巩固练习

例2已知：如图，ZCAE是ZXABC的外角，AD//BC且N1=N2.44

求证：AB=AC./\

证明：

第四环节：适时提问导出反证法

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题

也获得了一个数学结论.如果否定命题的条件，是否也可获1

得一个数学结论吗？我们一起来“想一想”：/\

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这/-----------1

两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

我们来看一位同学的想法：

如图，在AABC中，已知NBrNC,此时AB与Ac要么相等，要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得NC=/B,但已知条件是N

B于NC."NC=NB”与已知条件“NBrNC”相矛盾，因此ABrAC

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明aABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证

法，假设有两个角是直角，不妨设NA=9（r,NB=90。，可得/A+NB=180。，

但△ABNA+NB+NC=180。，“NA+NB=180。”与“NA+/B+NC=180。”相矛

盾，因此AABC中不可能有两个直角.

引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢？引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或己证明过

的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我

仅把它叫做反证法.

第五环节：拓展延伸

现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块

等腰三角形纸片，问此时的等腰三角形的顶角的度数？

第六环节：课堂小结

课外作业

教学反思：

1.等腰二角形（四）

一、教学目标：

1.知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30。角的直

角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2.能力目标：①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程

②经历实际操作，探索含有30。角的直角三角形性质及其推理证明过程，发

展合情推理能力和初步的演绎推理的能力;

3.情感与价值观要求：①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知

欲.

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

二.教学重难点

重点：①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的

性质定理的发现与证明.

难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

三、教学过程

第一环节：提问问题，引入新课

回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作

为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角

形呢？从而引入新课。

第二环节：自主探索

活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流各自的

结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，

并引导学生总结出下表：

性质判定的条件

等腰三等边对等角等角对等边

角形“三线合一”即等腰三角形顶角平有一角是60°

（含等分线，底边上的中线、高互相重合

边三角等边三角形三个角都相等，且每个角三个角都相等的三角形是等边

形）都是60°三角形

第三环节：实际操作提出问题

提出问题：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出

一个等边三角形吗？在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有

哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于

斛边的一半.

已知：如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

A

求证：BC=；AB./I

证明：在aABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°./

延长BC至D,使CD=BC,连接AD（如图所示）.nL---------J.-------

ZACB=90°AZACB=9O°

AC=AC,AABC^AADC（SAS）

/.AB=AD（全等三角形的对应边相等）.

・・・Z\ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.

ABC=1BD=1AB.

第四环节：变式训练巩固新知D

［例题］等腰三角形的底角为15°,

腰长为2a,求腰上的高CD的长.B

解：VZABC=ZACB=15°

:.ZDAC=ZABC+ZACB=150+15°=30°

：CI＞；AC=1X2a=a（在直角三角形中,如果一个锐角等于30。，那么它所

对的直角边等于斜边的一半).

第五环节：畅谈收获课时小结

第六环节：布置作业

四、教学反思

2.直角三角形(一)

一、教学目标

1.知识目标：

(1)掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。

(2)会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.

2.能力目标：

(1)进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步

的符号感，发展抽象思维.(2)进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能

力.

3.教学重点、难点

重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法.②了解逆命题的概念，识别两

个互逆命题.

难点：勾股定理及其逆定理的证明方法.

二、教学过程

1：创设情境，引入新课

请同学们打开课本P18,阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理

和推导出的定理，证明勾股定理的方法.

2:讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第

二种方法请有兴趣的同学课后阅读.

(1).勾股定理及其逆定理的证明.

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们

曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗？

己知：如图：在△ABC中，AB+AC2=BC2

求证：AABC是直角三角形.

证明：作RtZXA'B，C,,使NA'=90°,A'B'=AB,A'C'、AC(如图),

贝I」A'B'z+A'C'z.(勾股定理).

A1

VAB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C'

.•.BC2=B'C'2/

w-----------------c

ABC=B,C,

.-.△ABC^AA,B'C(SSS)

・・・ZA=ZA*=90°(全等三角形的对应角相等).

因此，AABC是直角三角形.

勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直

隹三角形.

(2).互逆命题和互逆定理.

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？通过观察，学生会

发现:

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的

结论，结论是第二个定理的条件.

3:议一议：观察下面三组命题：：

如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论

是第一个命题的条件.

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，

那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于

逆命题来说，另一个就为原命题.

请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢？

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.在第二组中，原命题是

真命题，而逆命题是假命题.在第三组中，原命题和逆命题都是真命题.

由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题.

4:想一想

请学生写出“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都

是真命题吗？

5:随堂练习

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假；

(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；

6:课时小结

7:课后作业

四、教学反思

2,直角三角形（二）

一、教学目标：

1.知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解

证明的必要性

②利用"HU'定理解决实际问题

2.能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

二、教学过程

1：复习提问

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互

交流。

3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个

角是直角呢？请证明你的结论。

2:引入新课

（1）.“HL”定理.由师生共析完成

已知：在RtAABC和RtAAB'C'中，ZC=Z

C'=90°,AB=AB,BC=B'C'.

求证：RtAABC^RtAA'BV

证明：在RtZXABC中，AC=AB2—BC2（勾股定理）.

又•・•在RtAA'B'C'中，A'C'=AC=ABz—

Be%（勾股定理）.

AB=A'B;BC=B'C;AC=A'C'

・•・RtAABC^RtAA'B'CXSSS).

定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.

3:例题学习

如图，在aABC丝△ABC'中，CD,C°D'

分别分别是高，并且AC二A，C,CD=CD.N\\

ACB=ZA,C,B,.ADBAi)fB

求证：△ABCgZ\A'B'C"

证明：VCD>CD'分别是△ABCZXABC'的高(已知)，

.*.ZADC=ZA*D,C=90°-

在RtZ\ADC和RtAA'D'C'中，

AC=A'C°（已知），

CD=C'D'（已知），

RtAADC^RtAA,D,C,（HL）.

ZA=ZA;（全等三角形的对应角相等）.

在aABC和△ABC'中，

NA=NA'（已证），

AOA'C'（已知），

ZACB=ZA'C'B'（已知），

・・・Z\ABC义△ABC'（ASA）.

6:课时小结

7:课后作业

四、教学反思

3.线段的垂直平分线（一）

一、教学目标：

1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对

几何图形的认识。

3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果

二.教学重点、难点

重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂

直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

三、教学过程

第一环节：性质探索与证明

定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

己知：如图，直线MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.

求证：PA=PB,

证明：,ZMN1AB,M

:.ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,Aq力

•••△PCA经△PCB（SAS）.

・•.PA=PB（全等三角形的对应边相等）.

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

己知：线段AB,点P是平面内一点且PA二PB.।

求证：P点在AB的垂直平分线上.为\

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,A/»、B

RtAPAC^RtAPBC（HLjgS）.

/.AC=BQ

即P点在AB的垂直平分线上.

第四环节：巩固应用

例1已知：如图1-18,在4ABC中，AB=AC,0是ZXABC内一点，且0B

=oc.

求证：直线A0垂直平分线段BCo.\

证明：VAB=AC,/\

・•・点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个B4二

端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.I

同理，点0在线段BC的垂直平分线上.

・・,直线A0是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.

第五环节：随堂练习课本P23;习题：第1、2题

第六环节：课堂小结：通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

第七环节：课后作业

四、教学反思

3.线段的垂直平分线（二）

、教学目标:

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点

2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形.

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体

验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

二.教学重点、难点

重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论.

②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形.

难点：证明三线共点。

三、教学过程分析

1：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点

的距离相等。

已知：在AABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点

P,连接AP,BP,CP.

求证：P点在AC的垂直平分线上.

证明：・・•点P在线段AB的垂直平分线上,

・・・PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的

距离相等）.

同理PB=PC,

APA=PC.

・・・P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直

平分线上).

・・・AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.

2.引申拓展

(1)己知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形

吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗？

(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等

腰三角形吗？能作几个？

3例题学习

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

己知：线段a、h

求作：△ABC,使AB=AC,BC=a，高AD=h

作法：1.作BC二a;

2.作线段Be的垂直平分线MN交BC于D点;

3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点;

4.连接AB、AC

・•・AABC就是所求作的三角形(如图所示).

3.动手操作

(1):已知直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P.

学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。

(2)拓展：如果点P是直线1外一点，那么怎样用尺规作1的垂线，使

它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.

5.随堂练习：：习题第1、2题。

6.课时小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直

平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结

论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”.

7.课后作业

四、教学反思

4.角平分线(一)

一、教学目标：

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.

2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言.转化为

符号语言、图形语言的能力.

3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。

二.教学难点：

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。

三、教学过程

1：情境引入

提问：还记得角平分线上的点的性质吗？你是怎样得到的？

即角平分线上的点到角两边的距离相等.

你能证明它吗？

2:探究新知

(1)定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

己知：如图，0C是NAOB的平分线，点P在0C

上，PD±OA,PE±OB,垂足分别为D、E.

求证：PD=PE.

证明：♦・・N1=N2,0P=0P,

ZPDO=ZPEO=90°,

.,.△PDO^APEO(AAS).

.♦.PD=PE（全等三角形的对应边相等）.

⑵你能写出这个定理的逆命题吗？

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.

它是真命题吗？你能证明它吗？

已知：在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PEJLOB,D、E为垂足且PD二PE,

求证：点P在么AOB的角平分线上.

证明：PD±OA,PE±OB,

JZPDO=ZPEO=90°.

在RtZ\ODP和RtAOEP^

OP=OP,PD=PE,/.RlAODPgRlZ\OEP（HL定理）.

・・・N1=N2（全等三角形对应角相等）.

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题

叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。

（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。

3.巩固练习

例题：在4ABC中，ZBAC=60°,点D在BC上，AD=10,DE±AB,

DF±AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.

4:随堂练习课本第29页1、2题。

5:课堂小结

这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是

角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用弟平分线的判定或性

质则使问题迅速得到解决。

6:课后作业

四、教学反思

4.角平分线（二）

一、教学目标：

1.知识目标：（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.

2.能力目标：（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力.

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.

（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力.

3.情感与价值观要求：①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求

知欲.

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

二.教学重点、难点

重点：①三角形三个内角的平分线的性质.

②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题.

难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.

三、教学过程

第一环节：设置情境问题，搭建探究平台

问题1习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？

能证明自己发现的结论一定正确吗？

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”

当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导

学生进行逻辑上的证明。

第二环节：展示思维过程，构建探究平台4

定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这

一点到三条边的距离相等.

己知：如图，设AABC的角平分线.BM、CN相交于B2

点P,

求证：P点在NBAC的角平分线上.

证明：过P点作PD_LAB,PF_LAC,PE_LBC,其中D、E、F是垂足.

・・・BM是aABC的角平分线，点P在BM上，

・・・PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

同理：PE=PF.

.•・PD=PF.

・••点P在NBAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在

这个角的平分线上）.

•••△ABC的三条角平分线相交于点P.

下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条带平分线的性质定理

三边垂直平分线三条角平分线

锐角三角形交于三角形内一点

三角

钝角三角形交于三角形外一点交于三角形内一点

形

直角三角形交于斜边的中点

到三角形三个顶点的距到三角形三边的距离

交点性质

离相等相等

笫三环节：例题讲解

［例1］如图，在AABC中.AC=BC,ZC=90°,AD是aABC的角平分线，DE

1AB,垂足为E.

（1）已知CD=4cm,求AC的长；

⑵求证：AB=AC-KD.

证明：（1）解：・・・AD是AABC的角平分线，

ZC=90°,DE±AB.

・・・DE=CTMcm（角平分线上的点到这个角两边的距离相

等）.

・・・ZAC=ZBC.•・NB=NBAC（等边对等角）.

ZC=90°,

AZB=1X90°=45°

乙

・・・ZBDE=90°^5°=45°.

・•・BE=DE（等角对等边）.

在等腰直角三角形BDE中

BD=2DE2=42cm（勾股定理），

・•・AC=BC=CD+BD=（4+42）cm.

（2）证明：由（1）的求解过程可知，

RtAACD^RtAAED（HL定理）

AAC=AE.

VBE=DE=CD,

AAB=AE+BE=AC+CD.

第四环节：课时小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于

一点，且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理

等解决了几何中的计算和证明问题.

第五环节：课后作业

四、教学反思

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

1.不等关系

教学目标：

1、知识与技能目标

①理解不等式的意义。②能根据条件列出不等式。③能用实际生活背景和数

学背景解释简单不等式的意义。

2、过程与方法目标经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展

学生的符号感与数学化的能力。

3、情感与态度目标感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解

决实际问题，使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学

的信心和兴趣。

教学重点：①通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。

②根据实际问题建立合理的不等关系。

教学难点：对不等式意义的理解及根据实际问题建立合理的不等关系。

教学过程

1、创设情景，引入新课

寻找相等的量和不等的量

师：我们学过等式，等式的定义是什么？

生：表示相等关系的式子叫等式。

师：我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时，我们也知道现实生

活中还存在许多反映不等关系的量。

师：比如，研究表明同学们每天睡觉的时间耍不少于9小时；体育考试中合

格的分数要不低于60分。请同学们也举一些不等关系的例子。

生1:每天我都比他早起5分钟。

生2:我的年龄不小于13岁。

生3:我的体重不低于30公斤

2、讲述新课

师：如何用式子来表示不等关系呢？

师：展示投影片A

(1)某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%,如果明年

的产值是b元，那么b和a满足的关系式是

（2）如果某等腰三角形的底边用acm表示，这边上的高为4cm,如果这

个三角形的面积不大于8cm2,那么a应该满足的关系式为。（注

意：不大于的含义）

（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高

三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为acm^bcm、ccm,请

你列出行李的长、宽、高满足的关系式。

3、议一议

某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm（x<5）的装潢条镶

嵌（不计接缝），现有两种设计方案。如下图：（一、

方案一方案二（J

师：下面请大家讨论，按题意进行解答。（学生讨论、解答后，教师根据情

况进行点评）

（1）问题:

d2）探究:通风口规格X满足的关系式

过测量棵树里古树于的册：）可建通实出它的村龄垂常规定以树干

料正阳

离地面.5米的他方•.为.测最部位某树裁种时的树围为5cm,以后树围每';增

cml2这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4h?（只列关系式）

加约为B

师!请太家互相讨论后列出关系式

生：设这棵树至少生长X年其树围才能超过2.4m,得3x+5>240

4、归纳定义观察由上述问题得到的关系式，比如：—^\1L>!1

16毓4n16；

3x+5>240,它们的共同特点：都是用连接的式子。

生：不等号

等式与等式的异同。

②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不

等式转化为“x>a”或“x〈a”的形式。

(2)过程与方法目标：①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形

式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比

的数学方法。

③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的

能力。

(3)情感与态度目标：①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提

高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。

②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。

教学重点：不等式的基本性质。

教学难点：不等式的基本性质的实际运用。

教学过程：

1、创设情景，引入新课

利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时

站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼“三种不同

的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？

2、讲述新课

参照教材与多媒体课件提出问题：还记得等式的基本性质吗?请用字母表示

它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。

(1)用等号或不等号完成下面的填空。如果2<3;那么

2><5---------3X5；2翼13X2;2X(-1)3

2X(-5)3X(-5);

(2)验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。

(3)与同伴交流你的结论，并展示。

生1：等式的基本性质1用字母可以表示为：。a=b/.a±c=b±c,

类似地得到，如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果不等号

方向不变。

字母表示为：Va>b,.*.a±c>b±c;或Va>b,.*.a±c<b±Co

生2:对于等式的基本性质2,用字母可以表示为：

Oa=b,axc=bxc,a+c=b—c,其中c#)。经过前面的探索，可类似地

得到：如果不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；如果

不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要发生改变。字母表

示如卜.：

3、练习巩固：

1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长1取何值，圆的面积总大于正方形的

面积，即你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结

4n16

论吗？

2、将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：

(l)x-5>-l(2)-2x>3

3、将下列不等式化成“x>a”或“xva”的形式：

(Dx-1>2⑵(3)皋软

4、已知x>y,下列不等式一定成立吗？

(l)x-6<y-6(2)3x<3y(3)-2x<-2y(4)2x+l>2y+l

5、小明做这样一题：己知2x>3x,求x的范围。结果小明两边同时除以x,

得到2>3。你知道他错在哪？

4、课堂小结活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班

说出，与全班同学讨论交流。

5、布置作业

教学反思

3.不等式的解集

教学目标：

(1)知识与技能目标：

①能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义。②能在数轴上表示不等式

的解集。

(2)过程与方法目标：

①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。

②经历求不等式的解集的过程，通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出

来，引导学生体验用数轴表示不等式解集具有直观的优越性，增强学生数形结合

的意识。

(3)情感态度与价值观目标：

通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程，让学生认

识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满了探究性和创造性。

教学重点：（1）理解不等式的解与解集的概念。（2）探索不等式的解集并能在数

轴上表示出来。

教学难点：不等式解集的数轴表示。

教学过程

1、创设情景，引入新课

师：我们已学习了不等式的基本性质，不等式的基本性质有哪些？它与等式

的性质有何异同点？

生：答（略）。（多媒体呈现）

师：我们已学习了不等式的基本概念和性质。这节课我们来研究不等式的解

的相关知识。

师：方程的解的定义是什么？

生：使得方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

师：换句话说，方程的解是使得方程成立的未知数的值。

师：类似地，你认为什么是不等式的解？

生：能够使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。

师：确实，“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。”

2、讲述新课

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到

10m以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02m/s,燃放者离开的速度为

4m/s,那么导火线的长度应为多少厘米？

引导分析•：设导火线长度为xcm,燃放者转移到安全区域需要的时间最少为，蚂

(s),导火线燃烧的时间为——S，要使燃放者转移到安全地带，必须有：

0.02x100

x、10

0.02x100

解：设导火线的长度为xcm,则_,根据不等式的基本性

0.02xHX)4

质，可得x>5

3、想一想：

(l)x=・2、1、5、6、8是不等式x>5的解么？

(2)你还能说出几个不等式x>5的解吗？你认为不等式x>5的解有几个？

它们有什么特点？

(3)不等式xzWO的解有哪些？不等式xzW-2呢？

生1:x=6、8是不等式x>5的解。x=-2、1、5不是不等式x>5的解。

生2:x=12、、20是不等式x>5的解。不等式x>5的解有无数个。它们都

比5大。

生3:不等式xWO的解是x=0;不等式X2W—2无解。

通过对以上问题情境的探究，引导学生认识到：不等式的解一般有无数个，

但有时只有有限个，有时无解。在此基础上，给出不等式的解集和解不等式的定

义：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解

集的过程叫做解不等式。

4、做一做：

(1)不等式x+l>5的解集是;(2)不等式xz>0的

解集是__________________

5、议一议:

既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一

种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见

解。

请同学们用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5^-1的解集

x<4分别表示在数轴上，并与同伴进行交流。

在小组展示、交流质疑的基础上，引导学生掌握在数轴上表示不等式的解集

的正确方法，并提醒学生注意：

1)指示线的方向，“>”向右，“<”向左.2)有“二”用实心点，没有“二”

用空心圈.

以上两个解集正确的表示方法为：

-2-1a12

62例题讲解1234—567-

根据不等式的基本性质求不等式的解集，附皤嬴在辅

(l)x-2>-4(2)2x<8(3)—2x-2>-10

解：(1)定-2

(2)x<4

(3)x<4

随堂练习

1、判断正误：

(1)不等式x-l>0有无数个解

②不等*3a拗葆为-I

2、将下列不等式的解集分别表示在数轴上:

(l)x>4(2)x<-l(3)x>-2(4)x<6

3、填空：

1）方程2x=4的解有（）个，不等式2x<4的解有（）个

2）不等式5xN-10的解集是（）

3）不等式史.3的负整数解是（）

4）不等式x-l<2的正整数解是（）

7、课时小结

师：本课你主要学会了________________________________________

生：1、学会了什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念

2、会探索简单不等式的解集，并把解集表示在数轴上。

3、用数轴表示解集时的注意事项。

8、作业

教学反思

4.一元一次不等式（一）

教学目标：

（一）知识与技能：会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其

解集。

（二）过程与方法：让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比

理解一元一次不等式的解法。

（三）情感与态度：通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习

能力，激发学生的探究兴趣。

教学重点：掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。

教学难点：一元一次不等式的解法。

教学过程

1、创设情境，引入新课

(1)不等式的三条基本性质是什么？

(2)运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或的形式。

①x—4<6②2x>x-5③L-4<6④L

3535

(3)什么叫一元一次方程？解一元一次方程的步骤是什么？

观察下列不等式：

(l)6+3x>30(2)x+l7<5x(3)x>5(4),>12

0.02x1004

这些不等式有哪些共同点？

注意事项：学生自行归纳总结，发言讨论，教师在总结学生发言的基础上板

书一元一次不等式的定义：“左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未

知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linearinequality

withunknown)”。并向学生强调一元一次不等式的主要特征。

巩固概念想一想：在前面儿节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举

两例，并与同伴交流。

2、讲述新课

例1.解不等式3-x〈2x+6,并把它的解集表示在数轴上。

提出问题：

1、你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。

2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？

能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？

3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？

例2.解不等式?2个，并把它的解集表示在数轴上。

解：去分母，得3(x-2)>2(7-x)

去括号，得3x-6>14-2x

移项、合并同类项，得

5x>20

--0123456

两边都除以5,得

x>4

这个不等式的解集在数轴上表示如下

3、练习提高

1.解下列不等式，并把它们的解集分别表示在

数轴上；

⑴5x<200(2)

2

(3)x-4>2(x+2)(4)曰<竺二2

23

2.求不等式4(4x+l)W24的正整数解。

4、课堂小结

11)通过本节课的学习，你学到了那些知识？(什么是一元一次不等式以及一

元一次不等式的解法。)

屹)你学会了哪些数学方法？(类比的数学方法。)

(3)你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？(如果乘

数或除数是负数，不等号的方向要改变。)

5、作业

教学反思

4.一元一次不等式（二）

教学目标：

：1）知识与技能目标：

①进一步熟练掌握解一元一次不等式的解法；②利用一元一次不等式解

决简单的实际问题。

：2）过程与方法目标：

通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解

市实际问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。

13）情感与态度目标：

通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密

切联系，以激发学生学习数学的兴趣与信心。

教学重点：一元一次不等式的应用。

教学难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程。

教学过程1、创设情境，引入新课

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。

⑴烹砥1（2）I>3+121

2、讲述新课

利用一元一次不等式解决简单的实际问题

某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其

利润不能少于5%.请你帮助售货员计算一下，此种商品可以按几折销售？

先独立思考，再小组交流解