新人教版九年级上册初中数学全册课时练（课后作业设计）

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

一、选择题

1.下列方程，一定是一元二次方程的是（）.

A.cuc2+bx+c=OB.8x+2=10C.（x-2）（x+2）=0D.5*+）=0

2.若关于x的方程（，+1）9+3mr-8=0是一元二次方程，则m的取值范围是

（）.

A.任意实数BMW-1C.m>\D./n>0

3.如果关于x的方程f+px+l=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，那么〃的值

是（）.

A.1B.±lC.2D.±2

4.若将关于y的方程化成一般形式后为，则〃2,〃的值依次为（）.

A.1,0B.0,1C.-1,0D.0,-1

5.己知关于x的一元二次方程8二0有一个非零根功，贝I」。功的值为（）.

A.1B.-lC.OD.-2

6.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cn?的长方形.设长方形的长为xcm,

则可列方程为（）.

A.x（20+x）=64B.x（20-x）=64C.x（40+x）=64D.x（40-x）=64

二、填空题

1.一元二次方程（3x-l）（2x+4）=l的一般形式为.二次项系数与一

次项系数的和为.

2.己知x=\是一元二次方程x2+/nr+n=0的一个根，则的值

为.

三、解答题

1.己知tn是关于x的一元二次方程9-201”+1=0的一个根，试求

〃"2019加+驾也的值.

机+1

2.先化简，再求值:其中m是方程2--2工一3=0的根.

参考答案

一、1.C2.B3.D4.A5.A6.B

二、1.6^+10^-5=016

2.1

三、1.解：*：m是关于x的一元二次方程x2-2019工+1=0的一个根,

22

:.W2-2019/W+1=0,:.w-2019m=-l,w+1=2019/M.

.2019〃z

•m2+1

・・.32019研袈A-l+l=0.

in2加2（6+1）一〃，

2.解:原式二

+m+l

_m2m3

（W+1）（7M-1）7W4-1

_m2tn+1

（W2+l）（m-1）m3

__1_

m2-m

-m是方程2x2-2x-3=0的根，

〜3

2/w2-2m-3=0»in2-m=—.

2

工原式=--=-.

m~-m3

21.2解一元二次方程

一、选择题（本题包括11小题，每小题只有1个选项符合题意）

1.已知两圆的圆心距是3,它们的半径分别是方程/-7X+10=0的两个根，那

么这两个圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

2.如果等腰三角形的两边长分别是方程/-10%+21=0的两根，那么它的周长

为（）

A.10B.13C.17D.21

3.在下列方程中，有实数根的是（）

A./+如+i=°R.V4x+l=-lC./+2x+3=°D.喜白

4.如果关于x的一元二次方程/-2x+m-l=0有两个不相等的实数根，那么

机的取值范围是（）

A.m>2B.m<2C.m>2且mHlD.m<2且mH1

5.一元二次方程/-8x-2=0,配方的结果是（）

A.（x+4）2=18B.（%+4）2=14C.（x-4）2=18D.（x-4）2=14

6.一元二次方程/—%-1=0的两个实数根中较大的根是（）

A.1+V5B.UC.UD.士匹

222

7.若关于x的方程%2+Vk%-2=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.kN—8B.kW—8C.kW0D.kN0

8.若方程%2一2%-1=0的两根为“x2，则一-的值为（）

A.-1B.1C.-3D.3

9.用配方法解方程2/+6=7%时，配方后所得的方程为（）

2

A.(X+^)=7B.(T)2*c.(%+令2=专D.(X一令2=表

10.方程3/-2=1-4%的两个根的和为()

11.下列一元二次方程中，两实根之和为1的是()

A.x2—2%4-1=0B.x2+x-3=0C.2x2—x-1=0D.x2—x—5=

0

二、解答题(本题包括4小题)

12.解下列方程：

(l)x2-8%+1=0(配方法)

(2)3x(%-1)=2-2%.

X+1x+5

13.解方程:

x2-x3x3x-3

14.己知关于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0

(1)若该方程有实数根，求。的取值范围.

(2)若该方程一个根为-1,求方程的另一个根.

15.己知关于彳的方程/+(2々-1)%+攵2-1=0有两个实数根与、x2

(1)求实数&的取值范围；

(2)若%1、％2满足好+后=16+%「％2,求实数左的值.

参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】设方程的两个根分别为修，X2,所以与+不=7,32=10,则

+x22

\X1-x2\=2)-4X1X2=V7-4x10=3,所以两圆内切，故选A.

2.【答案】C

【解析】解方程/-IO%+21=0得，/=3,X2=7,根据三角形的两边之和大于

第三边，三角形的三边不能是3,3,7,所以三边长是3,7,7,则周长是

3+7+7=17,故选C.

3.【答案】A

【解析】A.7+3X+1=0,A=32-4xlxl=5>0,有实数根；B.因为

V4x+1>0,所以没有实数根；C.x2+2%+3=0,A=22-4xlx3=-8<0,没

有实数根；=是增根，没有实数根，故选

x-lx-1x=lA.

4.【答案】B

【解析】根据题意得，△=(一2)2-4x1x(m-1)>0,解得mV2,故选B.

5.【答案】C

【解析】因为析・8x・2=0,所以析・8x+16=18,所以(x-4)2=18.故选C.

6.【答案】B

【解析】用公式法解方程X2-X-1=0,得冗二上且，所以较大的实数根是

2

片上走.故选B.

2

7.【答案】D

【解析】根据题意得，△=(a)2-4x1x(-2)20,解得kN-8,但k是二次根式

的被开方数，所以kN),则kK),故选D.

8.【答案】C

【解析】根据题意得，/+%2=2，%1%2=-1，所以一-电+%1%2=

—(%1+%2)+x1x2=-2-l=-3f故选C.

9.【答案】D

【解析】移项得2/一7%=-6,二次项系数化为1得/一六=一3,两边都加上

一次项系数一半的平方得好一枭+(一/=一3+(一；)2,即4_/=1,故

选D.

10.【答案】D

【解析】将原方程整理得，3X2+4X-3=0,所以％1+%2=-%故选D.

11.【答案】D

【解析】A.两实根之和为2；B.两实根之和为・1；C.两实根之和为0.5；D.两实根

之和为1,故选D.

点睛：本题主要考查了一兀二次方程的根与系数的关系，对于任何一个有实数根

的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两

根之积等于常数项除以二次项系数.

二、解答题

12.【答案】(1)%=4±(2)%=1或%=一手.

【解析】(1)先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的

一半的平方，把方程左边写完全平方的形式，然后用直接开平方法求解；(2)

把方程右边的项移到左边，然后用因式分解法求解.

解：⑴x2-8x=-1,

.・.x2-8%+16=-1+16,即(％-4)2=15,

则％-4=±V15，

/.x=4±反；

(2)•••3x(%—1)+2(%—1)=0,

A(%—1)(3%+2)=0,

则％-1=0或3%+2=0,

解得：x=1或％=一(

13.【答案】x=-4

【解析】方程两边都乘3x(%-1),将原方程化为一元二次方程，再用因式分解法

求解，注意检验.

解：方程两边都乘3%。一1),得：3(%+1)-(％-1)=(%+5)%,

2

整理得：x+3%—4=0,解得：与=—4,x2=1.

经检验：x=-4是原方程的解.

点睛：本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的解法，基本方法是，将

方程两边都乘以分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解

后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母不等于0,则是原分式方程的

解，否则原分式方程无解.

14.【答案】(1)Q>1且QH5(2)方程的另一个根为一

【解析】(1)根据方程有实数根可知：方程根的判别式为非负数，二次项系数不为

零，从而得出a的取值范围；(2)将x=l代入方程求出a的值，然后解出方程的

解.

解：⑴I•方程(a-5)x2・4x・l=0有实数根,(-4)2-4x(a-5)x(-l)>0,

16+4a-20>0,4a>4,解得:a>l

・・・a-5#),Aa/5,的范围是：a21且醉5；

⑵把x=・l代入方程得a=2,所以方程为3/+4x+l=0.

解得，马=—L曰=-1,所以，另一个根为

33

15.【答案】(l)k(2)实数攵的值为一2.

【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=-4k+5K),解之即

可得出实数k的取值范围；

(2)由根与系数的关系可得Xl+X2=l・2k、X]・X2=・1,将其代入XJ+X2?=(X1+X2)2-

2X1・X2=16+X-X2中,解之即可得出k的值.

解：(1)・・•关于X的方程x?+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根XI,X2,

/.△=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5>0,

解得：k<p

・•.实数k的取值范围为必不

4

(2).・,关于x的方程x?+(2k-1)x+k?-1=0有两个实数根X],X2,

/.Xi+X2=l-2k,X|X2=k2-1,

VXI2+X22=(X1+X2)2-2X1X2=16+X|X2,

/.(1-2k)2-2x(k2-1)=16+(k2-1),B|]k2-4k-12=0,

解得：1<=-2或1<=6(不符合题意，舍去)，

・•・实数k的值为-2.

点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据

方程的系数结合根的哦按别是，找出△=-4k+5N0；(2)根据根与系数的关系结

合X]2+X22=16+X|X2，找出关于k的一元二次方程.

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21.3实际问题与一元二次方程

一、选择题(本题包括小题，每小题3分，共27分。每小题只有1个选项符合

题意)

1.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2015年的200万元增长到

2017年的392万元，设该购物网站销售额年均增长率为此则下列方程正确的是

()

A.200(1+x)2=392B.200(1一%)2=392

C.200(1+2x)2=392D.200+200(1+x)+200(1+%)2=

392

2.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主

干、枝干和小分支的总数是91.设每个枝干长出元个小分支，则x满足的关系式

为()

A.x+x2=91B.1+/=91

C.1+x+x2=91D.14-x(x-1)=91

3.若关于x的一元二次方程/+mx+m-4=0有一根为0,则加的值为()

A.4B.-4C.2D.-2

4.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部

分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为

()

A.5米B.4米C.3米D.2米

5.下列说法：

①若一元二次方程%2+匕％+a=0有一个根是-Q(Q。0),则代数式a-b的值

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是一1；②若Q+b+c=O,则％=a+b+c是一元二次方程a/+加；+c=0

的一个根；③若b=2a+3c,则一元二次方程a/++。=0有不相等的两

个实数根；④当相取整数-1或1时，关于x的一元二次方程m/-4x+4=0

与/-4mx+4m2-4m-5=0的解都是整数.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时

间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个

队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为()

A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.1x(x+1)=28D.1x(x-1)=28

7.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价

的百分率为X,根据题意可列方程为()

A.81(1-x)2=100B.100(1+%)2=81

C.81(1+%)2=100D.100(1-%)2=81

8.独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均

纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯

收入的平均增长率为％则下面列出的方程中正确的是()

A.2620(1+2%)2=3850B.2620(1+%)=3850

C.2620(1+2%)=3850D.2620(1+%)2=3850

9.某商品原价800元，连续两次降价Q%后售价为578元，下列所列方程正确的是

()

A.800(1+a%)2=578B.800(1-a%)2=578

C.800(1-2a%)=578D.800(1-a2%)=578

二、解答题(本题包括5小题，每小题5分，共25分)。

10.一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧

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率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.己知在第三年年末，这辆车折

旧后价值11.56万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.

11.如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩

形区域内的四周修建宽度相司的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化.当阴影部分面

积为800平方米时，小路宽x为多少米.

4Qm

I

k----------607n--------->1

12.销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元/件，但不超过50元/件时,

销售数量N（件）与商品单价M（元/件）的函数关系的图象如图所示中的线段A8.

（1）求），关于x的函数关系式;

（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元?

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13.某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元.为

了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，减少库

存.经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8

件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少

元？

14.某花店第一次购进甲、乙两种多肉植物共300株，甲种多肉植物每株的成本4

元，售价为8元；乙种多肉喷物每株成本价为6元，售价为10元

(1)若第一次购进多肉植物的总金额为1400元，则购进甲种多肉植物多少株？

(2)多肉植物一经上市，十分抢手，花店决定第二次购进甲乙两种多肉植物，它

们的进价不变.甲种多肉植物的进货量在第一次进货量的基础上增加了2瓶％,

售价也提高了m%,乙种多肉植物的售价和进货量不变，但是由于乙种多肉植

物的耐热性不强，导致销售完之前它的成活率为90%,结果第二次共获利2100

元，求相的值.

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参考答案

一、选择题(本题包括小题，每小题3分，共27分。每小题只有1个选项符合

题意)

1.【答案】A

【解析】设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x,根据从2015年的200

万元增长到2017年的392万元，得200(1+x)2=392.故选A.

2.【答案】C

【解析】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝

干和小分支的总数是91,即可得:x2+x+l=91.故选C.

3.【答案】A

［解析】把x=0代入x2+mx+m-4=0得m-4=0,解得m=4.故选A.

4.【答案】D

【解析】设道路的宽为x,根据题意，得20X+32X-X2=20X32-540,整理得(x-

26)2=576,开方得x-26=24或x-26=-24,解得x=50(舍去)或x=2,所以道路宽

为2米.故选D.

5.【答案】B

【解析】①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a翔)，则a?+bx(-a)

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+a=0整理得出：a(a-b+1)=0,则代数式a-b=l,故此选项正确；②若

a+b+c=0,则x=l是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项错误；③若

b=2a+3c,那么△=b?-4ac=(2a+3c)2-4ac=(2a+2c)2+5c2,当a，0,c=-a时，△

>0；当存0,c=0时，△>0；当时c和时，△>0,・・・△>(),故此选项正确；

@V关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0则m#),

A>0,mx2-4x+4=0,A=16-16m>0,BPm<l；x2-4mx+4m2-4m-5=0,

△=16m2-16m2+16m+20>0,4m+5>0,m>--；,而m是整数，所以

44

m=l,m=0(舍去)，m=-l(一个为x2-4x+4=0,另一个为x2+4x+3=0,冲突，故

舍去)，当m=l时，mx2-4x+4=0BPx2-4x+4=0,方程的解是XI=X2=2；x2-

4mx+4m2-4m-5=0BPx2-4x-5=0,方程的解是xi=5,X2=-l；当m=0时，mx2-

4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.故m=l,故此选项错

误；故正确的有2个，故选B.

6.【答案】D

【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x-l)场，但2队之间只有1场比赛，所

以可列方程为：(x-l)=28.故选D.

7.【答案】D

【解析】利用基本数量关系：商品原价x(1.平均每次降价的百分率)二现在的价

格，列方程可得：100x(1-x)2=81.故选D.

8.【答案】D

【解析】由题意得2620(1+x)2=3850.故选A.

点睛：平均增长率(降低)百分率是3,增长(降低)一次，一般形式为。(l±x)

二。；增长(降低)两次，一般形式为。(l±x)2=b；增长(降低)〃次，一般形

式为。(l±x)11二b,。为起始时间的有关数量，力为终止时间的有关数量.

9.【答案】B

【解析】根据题意分别表示出两次降价后的价格可得：800(1-a%)2=578.故选

B.

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【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出降价后价

格是解题关键.

二、解答题(本题包括5小题，每小题5分，共25分)

10.【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为15%

【解析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x,则第二年这就后的价格为20(1-

20%)(1-x)元，第三年折旧后的而价格为20(1-20%)(l-x)2元，与第三年

折旧后的价格为11.56万元建立方程求出其解即可.

解：设这辆车第二、三年的年折IH率为-有题意,得20(1-20%)(1)2=

11.56.

整理得：(1-x)2=0.7225.

解得:不合题意,舍去).

xt=0.15,x2=1,85(

・•・%=0.15,即％=15%.

答：这辆车第二、三年的年折日率为15%.

【点睛】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解

答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立

方程是关键.

11.【答案】小路的宽为10米.

【解析】分别表示出阴影部分的矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式列出方

程求解.

解：设小路的宽为x米，根据题意得：(40-2x)(6。-2%)=800,

解得：x=10或％=40(舍去)

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答：小路的宽为10米.

12.【答案】（l）y=-4%+220；（2）计划每天的销售额为2400元M,该商品的单

价应该定40元.

【解析】（1）根据A、B两点的坐标值可求出一次函数的解析式；（2）设该商

品的单价应该定x元，利用：每天的销售额=商品单价x销售数量，得到关于x的

一元二次方程，计算求出x的值即可.

解：（1）设了关于x的函数关系式为y=kx+b（k。0）.

由题意,得｛滥心

解得真嬴

故y关于x的函数关系式为y=-4%+220；

（2）设该商品的单价应该定x元.

由题意，得%（—4%+220）=2400.

化简整理，得/一55%+600=0.

解得，x1=40/x2=15-

经检验，x2=15不合题意，舍去.

答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元.

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一元二次

方程的关系，是中考题中常见题型.

13.【答案】每件童装降价20元

【解析】利用童装平均每天售出的件数x每件盈利二每天销售这种童装利润列出方

程解答即可.

解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得：

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(40-x)(20+2x)=1200

解得即=20,及=10.

•・•增加盈利，减少库存，.・・x=io(舍去).

答：每件童装降价20元.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用.找到等量关系准确的列出方程是解决问

题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

14.【答案】(1)甲种多肉植物购进200株；(2)m的值为25.

【解析】(1)设购进甲种多肉植物x株，则购进乙种多肉植物(300-x)株，根

据购进多肉植物的总金额为1400元列出方程并解答：(2)根据第一次共获利

2100元列出方程，求解即可.

解：(1)设甲种多肉植物购进x株，根据题意得

4x+6(300-x)=1400,

解得x=200.

答：甲种多肉植物购进200株；

(2)根据题意，得

200(l+2m%)[8(1+m%)-41+100x90%xl0-100x6=2100,

解得mi=25,m2=-125(不合题意舍去)，

即m的值为25.

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第二十一章一元二次方程

22.1二次函数的图象和性质

一、选择题(本题包括io小题，每小题只有1个选项符合题意)

1.二次函数y=ax2-2x-3(a<0)的图象一定不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.

2.抛物线y=-(x+I)2+3的顶点坐标是()

A.(-1,-3)B.(1,-3)C.(一1,3)D.(1,3)

3.己知抛物线y=ax2+3x+(a—2),a是常数且aV0,下列选项中可能是它大

致图象的是()

4.下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是()

29

A.y=2xB.y=x2C.y=--D.y=-(x>0)

5.将抛物线y=(x+27向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为()

A.y=x2B.y=X2-2C.y=(x+2)2+2D.y=(x+2)2-2

6.如果抛物线丫=2*2+6*+(:经过点(一1,0)和(3,0),那么对称轴是直线

()

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A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3

7.函数y=(a-l)xa2+1+x—3是二次函数时，则a的值是()

A.1B.-1C.±1D.0

8.将抛物线yl=x2-2x-3先向左平移l个单位，再向上平移4个单位后，与抛

物线丫2=ax?+bx+c重合，现有一直线丫3=2x+3与抛物线y?=ax2+bx+c

相交，当丫24丫3时，利用图象写出此时x的取值范围是()

A.x<—1B.x>3C.-1<x<3D.x>0

9.将抛物线丫=乂2-4乂-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物

线的函数表达式为()

A.y=(x4-I)2—13B.y=(x-5)2—3C.y=(x-5)2—13D.y=(x+

l)2-3

10.小明将图中两水平线k与k的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线

h与L的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出

二次函数y=-X2-2X+1的图象，则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是

()

A.k为x轴，卜为y轴B.k为x轴，〃为y轴

(2」2为乂轴，13为丫轴D」2为X轴，>为y轴

二、解答题(本题包括4小题)

11.己知：抛物线y=-x2+bx+c经过B(3,0)、C(0,3)两点,，顶点为A.

求：(1)抛物线的表达式;

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(2)顶点A的坐标.

12.已知抛物线y=-2x2-4x4-1.

(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)将这个抛物线平移，使顶点移到点P(2,0)的位置，写出所得新抛物线的表

达式和平移的过程.

13.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax?+bx-(经过点

A(—l,0)、B(5,0).

(1)求此抛物线顶点C的坐标；

(2)联结AC交y轴于点D,联结BD、BC,过点C作CH1BD,垂足为点H,

抛物线对称轴交x轴于G,联结HG,求HG的长.

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14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+4x+c与y轴交于点A(0,5)，

与x轴交于点E,B,点B坐标为(5,0).

(1)求二次函数解析式及顶点坐标；

(2)过点A作AC平行于x釉，交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P

在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时，四边形

APCD的面积最大？并求出最大面积.

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参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】•・•二次函数y二ax2・2x-3(a<0)的对称轴为直线x==一?=2V

2a2aa

o,・••其顶点坐标在第二或第三象限.・・•当X=O时，y=3,・,・抛物线一定经过第四

象限，・,・此函数的图像一定不经过第一象限.故选A.

2.【答案】C

【解析】根据抛物线的顶点式；y=a(x-h)2+k,(a^O),则抛物线的顶点坐标

为(h,k)可得：抛物线y二-(x+1)2+3的顶点坐标为(-1,3),所以C选项的

结论正确.故选C.

【点睛】抛物线的顶点式：y=a(x-h)2+k,(a#)),则抛物线的顶点坐标为

(h,k).

3.【答案】B

【解析】,・•抛物线y=ax2+3x+(a・2),a是常数且aVO,・•.图象开口向下,a-2<

0,・・・图象与y轴交于负半轴，・・・aV0,b=3,・,•抛物线对称轴在y轴右侧.故选

B.

4.【答案】D

【解析】A选项：函数y=2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B选

项：函数函数y=x2的对称轴为x=0,当烂0时y随着x增大而减小，故本选项错

误；C选项：函数y=—1,当xVO或x>0时，y随着x增大而增大，故本选项

错误；D选项：函数y=：(x>0),当x>0时，y随着x增大而减小，故本选项

错误；故选D.

5.【答案】D

【解析】抛物线产(x+2)2的顶点坐标为(-2,0),向下平移2个单位后的顶

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点坐标是(-2,-2),所以，平移后得到的抛物线解析式为丫=(x+2)2.2.故选

D.

【点睛】本题考查了二次函数国象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析

式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，

上加下减

6.【答案】B

【解析】:抛物线y=ax?+bx+c与x轴两交点的坐标为(-1,0)和(3,0),而

抛物线y=ax?+bx+c与x轴两交点是对称点，，抛物线的对称轴为直线x=l.故选

B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数丫=@乂21bxic(a/0)的图

象为抛物线，当a>0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=V；抛物线与y轴的

交点坐标为(0,c)；当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0,抛

物线与x轴有一个交点；当b2-4acV0,抛物线与x轴没有交点.

7.【答案】B

【解析】依题意，得a2+l=2且a-"0,解得a=l.故选B.

8.【答案】C

【解析】yi=x2-2x-3=(x-1)2-4,则它的顶点坐标为(1,-4),所以抛物线

y尸x2・2x-3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解圻式为y=x2,解方

程组匕驾3得｛“1J或忧；，所以当-1WXW3,故选C

9.【答案】D

【解析】因为y=x2-4x-4=(x-2)2-8,所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为(2,-

8),把点(2,-8)向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标

为(-1,-3),所以平移后的抛物线的函数表达式为丫=(x+1)Z3.故选D.

10.【答案】D

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【解析】y=-x2-2x+l=-(x+1)2+2,故抛物线的对称轴为：直线x=・l,顶点坐标

为：(-1,2),则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是：k为x轴，14为y

轴.故选D.

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确求出二次函数的对称轴与顶点坐

标是解题关键.

二、解答题

11.【答案】(Dy=-/+2%+3(2)(1,4)

【解析】(1)直接把B(3,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的

方程组，解方程组求出b、c,可确定抛物线的解析式；(2)把(1)的解析式进

行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可.

解：(1)把8(3,0)、C(0,3)代入y=_/+b%+c{_9+3)\c=0,

IC—3

解得，二I.

故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)y=—x2+2%+3=—(x2—2%+1)4-3+1=—(x—l)2+4,

所以顶点A的坐标为(1,4).

12.【答案】(1)对称轴是直线％=-1,顶点坐标为(—1,3);(2)平移过程为：向

右平移3个单位，向下平移3个单位

【解析】(1)将抛物线整理成顶点式形式，然后解答即可；(2)根据向右平移

横坐标加，向下平移纵坐标减解答.

解：(l)y——2/—4x+1,=-2(%2+2.x+1)+2+1,=-2(%+1)?+3,

所以，对称轴是直线％=-1,

顶点坐标为(一L3);

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(2)•・•新顶点P(2,0),

••・y——2(%—2产，

v2-(-1)=2+1=3,

0—3=-3»

・•・平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位.

13.【答案】(1)C(2,-3)(2)HG=^V13.

【解析】(1)已知抛物线过A,B两点，可将A,B的坐标代入抛物线的解析式

中用待定系数法即可求出抛物线的解析式.然后可根据抛物线的解析式得出顶点

C的坐标.(2)本题介绍三种解法：方法一：分别求直线AC的解析式和BD的

解析式，直线AC：y=-x-l,直线BD：y=1x-l,可得D和P的坐标，证明

△BPGs/XCPH和△HPGs/XCPB,列比例式可得HG的长；方法二：如图2,

过点H作HM1CG于M,先根据勾股定理的逆定理证明NBCD=90。，利用面积

法求CH的长，再证明AOBDs/XMCH,列比例式可得CM的长，从而可得结

论；

方法三：直线AC：y=-x-l,求CH和BD的解析式，联立方程组可得H的坐标，

由勾股定理可得GH的长.

解：(1)把4(一1,0)、8(5,0)代入抛物线解析式，

(a-b=0fa=

得：435»解得：＜3，

l25a+5b-1=0\b=

・•・抛物线的解析式为：y=i%2-^x-1=i(x-2)2-3,

・,・顶点C(2,-3)

(2)方法一：设8。与CG相交于点P,

设直线AC的解析式为：y=kx+b

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把4(一1,0)和。(2,-3)代入得：02

解得：｛£=一;

3=-1

则直线AC：y=—x—lt

.•・。(0,-1),

同理可得直线BD：y=1x-l,

3

•••P(2，-5)

乙CHP=乙PGB=90°,乙GPB=Z.CPH

:ABPGs^CPH,

CPPH

••~~1

PBPG

：・>HPGs〉CPB,

HG_PGHG_g

•.BC~PB13V2一1V26，

口l3V13

；•HG=------；

13

方法二：如图2,过点”作HM_LCG于M,

•••CD=2VLBC=3V2,BD=V26,

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222

BD=CD+BCf

・•・乙BCD=90°,

vZ.ABD=乙HCG,

OBDs〉MCH,

1_5_V26630

••-=-=6HM=—/CM=—,

HMCMyp/261313

GM=—,

13

由勾股定理得：GH=y/HM2+GM2

・♦.GW=—V13,

13

方法三：直线AC：y=-x—1,

・・・。(0,-1),

直线86y=1x-l,

VCH1BD,

**,^BD'kH=11，

•••直线C”：y=-5x4-7,

i_35

联立解析式：［y=?T,解得：|"一石$

(y=-5x+7卜=一三

・Y号A。号代

14.【答案】(1)(2,9)(2)P(£y)

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【解析】(1)用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；(2)

先求出直线AB解析式，设出点P坐标(x,-x?+4x+5),建立函数关系式SIMI边形

APCD=-2X2+10X,根据二次函数求出极值；可得P的坐标.

解：(1)把点4(0,5),点B坐标为(5,0)代入抛物线y=。/+4%+。中，

得：晨一；?记解得：｛"[1，

(25Q+4X5+C=0tc=5

抛物线的解析式为：y=-/+4%+5=-(工一2)2+9,

・•・顶点坐标为(2,9)；

(2)设直线AB的解析式为：y=mx+n»

•・•4(0,5),8(5,0)，

『解得：1=J

15m+n=0l九=5

二直线AB的解析式为：y=-x+5,

设P(x,-X2+4X+5)，则D(X,一％+5),

.・.PD=(-x2+4x+5)—(-x+5)=-x2+5x,

•••点C在抛物线上，且纵坐标为5,

5),

:.AC=4,

S四边形APCD=PD=1x4(一/+5x)=-2x2+10%=-2(%一1)24-y,

•••—2V0,・・・S有最大值，

当％=[时，S有最大值为

此时P(1第.

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【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极

值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极

值.

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22.2二次函数与一元二次方程

一、选择题（本题包括io小题，每小题只有1个选项符合题意）

1.下列命题：①若Q+b+c=0,贝防2-4。。20；②若b>a+c,则一元二次

方程a%2+"+c=o有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c,则一元二次

方程。/+族+。=0有两个不相等的实数根；④若力2一4附>0,则二次函数

y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是

（）

A.只有①②③B.只有①©④C.只有①④D.只有②③④

2.二次函数y=ax2+b%的图象如图所示，若一元二次方程。产+bx+m=0有

实数根，则根的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<—3D.m>—3

3.已知二次函数y=ax2+b%+。的图象上部分点的横坐标x与纵坐标），的对应值

如下表：

X・・・-1012•••

y•••0343•••

那么关于它的图象，下列判断正确的是（）

A.开口向上B.与x轴的另一个交点是（3,0）

C.与），轴交于负半轴D.在直线％=1的左侧部分是下降的

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4.在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象

如图所示，它与x轴交于4(1,0),与)，轴交于点8(0,3),则。的取值范围是

()

393

A.a<0B.—3<a<0C.aV—2D.—2<cz<—2

5.二次函数y=ax2+b%+c（aH0）的图象如图所示，那么一元二次方程a-+

bx+c=m（a0/?n为常数JELmW4）的两根之和为（）

A.1B.2C.-1D.-2

6.已知二次函数y=+%一，当自变量x取加时对应的值大于0,当自变量

x分别取771-1、m+1时对应的函数值为yi、y2»则丫1、%必须满足()

A.yi>0、y2>0B.yiV0、y2VoC.%V0、丫2>0D.yi>0、y2Vo

7.如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点(3,0);小彬答：过点

(4,3);小明答：a=l；小颖答：抛物线被彳轴截得的线段长为2.你认为四人

的回答中，正确的有()

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已知抛物线y^-bx-3

与x轴交于（乙试添

加一个条件，使它的对称

轴为直线"2。

A.1个B.2个C.3