小学四年级奥数思维训练导引(讲义)

小学四年级奥数思维训练导引(讲义)

第1讲整数计算综合

内容概述

熟练运用己学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、

分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体

会用字母表示数。

典型问题

兴趣篇

1.计算：(1)121X32+8;(2)4X(2504-8)(3)25X83X32X125

2.计算：(1)56X22+56X33+56X44(2)222X33+889X66.

3.计算：(1)37X47+36X53(2)123X76—124X75。

4.计算:100—99+98—97+96—95+・・・+12-11+10.

5.计算：50+49-48-47+46+45-44-43+---4-3+2+1.

6.计算：(1+3+5+7+・・・+199+201)—(2+4+6+8+…+198+200).

7.计算:1+2+3+4+・・・+48+49+50+49+48+・・・+4+3+2+1.

8.下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，

按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中

插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字

去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是1995,口令是“8一7,”在

第一个口令“8”发出后变成995,在第二个口令“7”发出后变成9995。

如果给出数“6595”以及口令“8-7-8T7-8-8"，问：变换后依次得到

的6个数的和是多少？

9.规定运算为：avb=(a+1)X(b-l),请计算：(1)8710;(2)10v8.

10.规定运算为：a©b=aXb-(a+b),请计算：

(1)5©8;(2)8©5;(3)(6©5)4;(4)6©(54)

拓展篇

1.计算:(1)72X27X884-(9X11X12);

2.(2)31X121-88X125^(1000^121).

3.计算：(1)555X445—556X444;

(2)42X137-804-15+58X138-70^15.

4.计算：20092009X2009-20092008X2008-20092008.

5.计算：1+2—3+4+5—6+7+8—9+...+97+98-99.

6.计算：100X99-99X98-98X97-97X96-96X95-95X94+-+4X3-3X2

-2X1.

6.在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位

数字为3的数之和.A与B的差是多少?

7.求图1-1中所有数的和.

8.已知平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b),计算:

202-192+182-172+162-152+---+22-12

9.计算：951X949-52X48.

10.规定运算为：a®b=a+2b—2,计算：(1)(8。7)06;(2)80(706)

11.规定运算“。”为：aob=(a+l)X(b-2).如果6o(口。5)=91,那么方格内应

该填入什么数？

12.规定：符号为选择两数中较大的数的运算，为选择两数中较小的

数的运算，例如：3A5=5,3V5=3请计算:1A2A3V4A5A6V7A-V100.

的顺序是从左至右)

超越篇

1.观察下面算式的规律：

2000+1991-1988—1982+1976+1970—1964—1958+1952+1946—1940一

1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加

还是减？算式最终的结果为多少？

2.从1,2,……,9,10中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得

到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少?

3.计算：1-3+6—10+15—21+28—……+4950.

4.已知平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b),计算：

1002+992-982-972+962+952-942-932+••+42+32-22-12

5.a®b表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：403=4+5+6=15,

504=5+6+7+8=26,请计算：(1)4。15(2)在算式(C07)011=1056中，方

框里的数应该是多少？

6.定义两种运算：aQb=a-b+l,avb=aXb+1,用“C”、“V”和括号填入下面

的式子，使得等式成立(不能用别的计算符号)：7345=2

7,现定义四种操作的规则如下：

①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加

±1,然后除以2.例如从16可以得到8,从27可以得到14.

②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如

从5304可以得到50,从408可以得到8.(不含数字3和4的自然数不能进行

“丢三落四”操作)

③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边;

如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从98707可

以得到77908,从802可以得到28.(不含数字7和8的自然数不能进行“七上

八下”操作)

④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0.例如从111可以得到110,从

905可以得到900.(个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作)

(1)请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果：

(2)从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0?

(3)一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果

是

8.求有多少个这样的三位数.

图1-2是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少?

——得.

一二府wra

一.二种三得六二三部九

・四削四二四得八三四十二四四十六

n和五:五一十三五，五四n斗五五二十五

AWA二六十--六十人网六一十四五六三十六六三十六

二七十四三七.十四七二十八五七二十五六七四十：七七四卜九

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K1-2

第2讲和差倍问题三

内容概述

数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数

关系变化的问题；需要利用比较或分组的方法进行分析的问题。

典型问题

兴趣篇

1.有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍.将它们插入水塘中,

插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米.请问：短竹

竿露在外面的长度是多少厘米？

2.李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出

15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中,

则甲堆零件的个数是乙堆的3倍.问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共

生产零件多少个？

3.一个六边形广场的边界上插有336面红旗和黄旗.六边形的每个顶点处都插

有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗.

已知每条边上黄旗比红旗的2倍还多12面，那么每两面红旗间插有几面共旗？

4.爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的3倍.冬冬觉得自己搬的

砖头太少了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的2倍.请问：

最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？

5.四年级三班买来单价为5角的练习本若干.如果将这些练习本只分给女生，

平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本.请问:

将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少

钱？

6.有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数

比乙校多5人，比丙校多7人.如果乙、丙两校一共有4()人参加比赛，那么三

所学校各有多少人参加比赛？

7.有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86

千克.问：其中最轻的箱子重多少千克？

8.小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅.她们看中了两款，这两款桌椅都

包含一张桌子和若干把椅子.其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样.第

一款桌椅中有6把椅子，总价为700元；第二款桌椅中有9把椅子，总价为970

元.请问：一张桌子的价钱是多少元？

9.小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平

分了,小白兔当天吃了4个胡萝卜，小黑兔则一口气吃了12个胡萝卜.小白免

往后每天都吃4个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得太多，往后每天只吃2个胡

萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完.小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡

萝卜？

10.一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售.福特汽车的数量

是丰田汽车的3倍.如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售

完时还剩下30辆福特汽车.请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？

拓展篇

1.李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的2倍，

每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲、乙零件

数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？

2.学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花.其中黄花的盆数最多，既是红花盆

数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一

共有多少盆花？

3.动物园的饲养员给三群猴子分花生.如果只分给第一群，则每只猴子可得12

粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴

子可得20粒，试问：现在将这些花生平均分给三群猴子，每只可得多少粒？

4.养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍.一天有10只鸡从西院跑

到东院，这时西院鸡的数是是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少

只鸡？

5.爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子

二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如

果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍.请问：原计划爸

爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？

6.甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人.问：甲班和

丁班共多少人？

7.小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克

与90千克之间的重量，因此他们三人只能两个两个称重.如果小悦和冬冬一起

称，总重量是73千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是80千克；阿奇和小悦一

起称，总重量是75千克，三人的体重分别是多少千克？

8.四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是131人;

不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班

的总人数少1人.问：这四个班共有多少人？

9.某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他一套工作服和

70玩钱，但由于学校另有安排，他工作了20天后便中止了合同，工厂只给他一

套工作服和20元钱.请问：这套工作服值多少元？

10.小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看50页，接着每天看15页；冬

冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？

11.某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米

60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋，这个食堂买来大米多少袋？

12.超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多

10颗，售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水

果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下170颗.请问：这批糖果共有几颗

水果糖，几颗巧克力糖？

超越篇

1.在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的.前20道题中，小时做对了15

道；余下的题中，他做对的题仅是做错的一半，最后一共得了50分.如果满分

是100分，那么小明做对了多少道题？

2.有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52,那么这四个数中最小

的一个数是多少？

3.小伟和小杰两人玩游戏牌，第一轮过后，小伟赢了小杰13张牌，这时小伟的

牌数是小杰的2倍少10张；由于得意忘形，小伟在第二、三轮惨败，输了29

张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的7倍少10张.求小伟和小杰原来各有多少

张牌？

4.费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：第一个月付款750

元，以后每月付150元；或前一半时间每月付300元，后一半时间每月付100

元.两种付款方式的付款总数及时间都相同.问：这台电视机的价格是多少元？

5.日、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，超出部

分必须另付行李费.甲付20元，乙付40元，丙付60元,三人的行李共重150

千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付240元的超重费用.请问：每

人可以免费携带多少千克的行李？

6.小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的3倍.如果全家

每天吃5个桔子和2个梨，那么一星期后，桔子的个数是梨的4倍少5个.原来

桔子和梨分别有多少个？

7.小真、小想和小看在讨论买《变形金刚》电影票的事，小真现有的钱数是小

想的3倍，是小看的2倍.

小真说：“如果小想给我15元钱，我就可以买3张电影票

小想说：“如果我给小真15元钱，剩下的钱恰好能买3个一样的汉堡」

小看说：“如果妈妈再给我35元钱，我就刚好能买2张电影票和2个汉堡

请问：小真原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡多少元？

8.现有三堆糖果，其中第一堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第三堆多.如

果从每堆糖果中各取出一块，那么剩下的糖果中，第一堆的块数是第二堆的3

倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一堆还剩下32块，则第二堆剩

下的糖果数是第三堆的2倍.问：原来三堆糖果总共最多有多少块？

第3讲还原问题与年龄问题

内容概述

学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题

中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。

典型问题

兴趣篇

1.某数加上6,再乘以6,再减去6,再除以6,其结果等于6,则这个数是

多少？

2.有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝.这个人出门带了一

个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他

一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完.问：原来

酒葫芦里有多少两酒？

3.某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候,

箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从

魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走

了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人

身上有多少元？箱子里有多少元？

4.三棵树上共有48只鸟.后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之

后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三

棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多.问：一开始

三棵树上各有几只鸟？

5.1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍?

6.今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差

的3倍.今年小明多少岁？

7.今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍.问：

现在父子的年龄各是多少？

8.兄弟两个年龄之和是32岁.当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时

弟弟年龄的3倍.求哥哥现在的年龄.

9.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么

大时，我已经39岁了求老师和学生现在的年龄.

10.今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁，多少年

后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？

拓展篇

1.有一个数，把它加上37,再乘以18,减去323,得到的结果用23去除，商

是16,余数是11.这个数原来是多少?

2.果园里有一棵桃树.有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一

半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半.这时树上刚好还有

四个桃子，原来树上一共有几个桃子？

3.地上有26地砖，兄弟二人争着去挑.弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥

赶到了，挑了剩下的砖.哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半.弟弟不

肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟

弟多挑2块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？

4.日、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖

少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，

两个人原来的糖数分别是多少？

5.日、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和

丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙,

使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多：最后丙又拿出一些钱给甲和

乙，使他们的钱数和增加2倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有81

元，那么三人原来分别有多少钱？

6.今年张明15岁，他父亲45岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的2

倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？

7.12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3

倍,请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？

8.去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍.求

哥哥和弟弟现在的年龄。

9.今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的

年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？

10.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚5岁：当你像我这

么大时，我己经50岁了。“求老师和学生现在的年龄。

11.有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年

后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙学生

年龄之和；再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄。

12.1年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄

弟二人年龄和的4倍，已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年多少岁？

超越篇

1.口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和

尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，

大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己

的水全部平均分给了另外两个和尚.就这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落

山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水.请问：最初大

和尚的水罐里有多少升水？

2.曰和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一

些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8

块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？

3.哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么

大的时候，你刚刚上幼儿园己知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得

博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄是多

少岁。

4.小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5

岁呢.”小明对爷爷说：“我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了.”请问：

小明的爸爸今年多少岁？

5.1996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；4年后,

父亲年龄是弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍，试问：当父亲年龄

是哥哥年龄的3倍时是公元多少年？

6.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁，4年前全家人的年龄

之和是58岁，而现在是73岁，问：现在各人的年龄分别是多少岁？

7.老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后

写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开

始时老师在黑板上写的三个数之和为2008,且所有写过的数都是整数.请问：开

始时老师在黑板上写的第一个数是多少？

8.；甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时,

甲是17岁，请问：乙现在多少岁？

第4讲数阵图初步

内容概述

各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特

殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。

典型问题

兴趣篇

1.在图4.1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三

个数之和都等于11.

294-1EB4-2

2.请分别将1,2,4,6这四个数填在图4.2中的各空白区域内，使得每个圆圈

里四个数之和都等于15.

3.如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之

和都相等。

4.把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各

行四个数之和也相等。

5.把1至12分别填入图4・5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数

之和相等。

6.在如图4-6所示的3义3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行

7.把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和

都为都

8.把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数

之和相等.这个和最大是多少？最小是多少？

9.把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所

填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出

所有可能的填法。

10.在图4.10的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连

的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？

拓展篇

1.将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）

的三个顶点上的数之和都等于15.现在己经填好了其中三个，请你在图中填出

剩下的数.

2.在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上

三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多

少？并将其补充完整。

图4-12

3.图4・13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈.请你把1、2、

3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的

四个数之和都相等。

4.在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4,使得每个箭头所

指的列中各方格内数字之和都是6,并且使得从上到下第二行与第三行的数字之

和都是7.

5.请在图小15的每个小圆圈内填入1或2,使得每个大圆圈上四个数之和两两不同,

那么所填数的总和是多少？

6.把1至8分别填入图小£的人工4圈内，使得任意鳖建段直接投连的圆圈

内的数字之差都不等于F.绿

7.在图4.17的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数

之和都等于它们连线上的己知数.请问：标有★的圆圈内填的数是多少？

8.小悦是8月11日15点整出生的，她想把1,2,3,4,5,6,7这七个数填

入图4・18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是

8,11,15,问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？

9.把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之

和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？

10.把1至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的

两个或三个数之和都相等。

11.请将1至6填入图4.21的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。

12.如图4-22,有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器,

各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽

量大，应如何在十个掩体中配备武器？

武器手枪步枪自动步枪冲锋枪轻机枪

威力数12345

武器重机枪迫击炮火箭筒加农炮榴弹炮

威力数678910

超越篇

1.如图4.23,四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将

1至12中的另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是28.

2.如图4.24,请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都

等于大圆上三个数之和.

3.把1至8填入图4・25中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的

四个数之和都相等。

4.把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线

上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是

多少？并把下图补充完整

5.把1至8填入图4.27的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相

等，且小正方形顶点的数字之和胆罐颠点的数字之和I

6.图4-28中一共有6条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其

中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于23.

7.如图4・29,5X5的方格表被分成了五块，请你在每格中填入1、2、3、4、5

」和2）,使得每行、每列、每条对角线

图4-29图4-30

8.图4-30是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分

中填入1至9这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最

大是多少？最小是多少？

第5讲竖式问题

内容概述

以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题;

能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。

典型问题

兴趣篇

1.如图5/所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其

AAB

中“G”代表“5”，代表“9”，“D”代表“0”，+代声汴"呼“I”

代表的数字是多少？一丁DHI

图5-1

2.(1)在图5-2的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表

相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？

⑵在图5-3的减法竖式中仁念欧盟耳室集一不眄电算宝二也则勺证^

的数字，那么每个汉字各代,

3.在图5-七的擘式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数

数子谜

字，如果23+解+数+字+谜=30,那么“

北京奥运

4.图5.5所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字,

那么“”代表的四位数是多少?

5.已知图5-6所示的乘法竖式成立，那么A8C0E是多少?

6.(1)在图5-7的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的

数字，那么☆、△、。分别代表什么数字？

(2)在图5-8的竖式中，相同的符号代表相同的数字,

字，那么☆、△、O分别代表什么数字？小八也

曼、「逢【

7.如图5・9,相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十

个方框中数字之和是多少？

8.在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.

9.在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商

是多少?

10.有一个四位数，它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠

倒而得的新四位数，求原来的四位数.

拓展篇

1.在图5・13和5・14中，相同的汉字代表相同的数字」不同的汉字代表不同的数字,

2.如图5・15,在这个算式中，相同的字母代夫

同的数字，那么数字A、B、C分别超

3.在图5・16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数

字，并且A<B<C<D.问：竖式中的和是多少？

4.舍他翩竖式中‘相同的汉字表示相同的数字’不同的汉字表示猫鲁数

字，那么“”所代表的七位数是多少?

5.小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，

阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来,

结果刚好是7826.小悦原来写的四位数是多少？

6.一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，

再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来

的三位数.求原来的三位数.

7.(1)一个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字前面，所构成的

新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？

(2)一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这

个新的五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少/

8.如图5-18,每一个英文字母代表0,

表不同的数字，则字母A、Q、T、R、

9.图5-19中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的

数字，请把这个竖式写出来.

10.请把如图5-20所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少?

口口□□□

6□□□)□口方□□口

□□7口7

□□□□~□7□

□□61□□□

07

图5-20S5-21

11.请把图5-21中的除法竖式补充完整。

12.在图5・22的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式.

超越篇

1.图5-23是一个加法竖式，其中E、.F、I、N、O、R、S、T、X

9中的不同数字，且F、S不等倡，这蹩的结果是多少

2.澳门的拼音和英语写法为AOMEN及MACAO,我们规定这些字母表示1

至9中的不同数字，那么图5-24中竖式的计算结果最大是多少?

3.华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强

韩赵魏，九章色股弦.“三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；“九

章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们来用这副有

趣的对联做下面的题目：

(1)在图5-25的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数

字，如果“三”代表3,“九”代表9,请将竖式补充完整.(只需要找出一种解答)

(2)在图5-26的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代霹j司的

数字，如果"”代表345,请将竖式补充完整.图港蹩唱盘震

4.在图5-27的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数

字，那么A8CDEFG所代表的七位数是多少?

5.请把图5.28中的除法竖式补充完

■ft

6.在图5-29所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示

不同的数字，请问：被除数是多少？

7.在图5-30的乘法竖式中，“二”代表除以3余2的数字，即2、5、8中的一

个；“一”代表除以3余1的数字，即1、4、7中的一个；“零”代表除以3余0

的数字，即0、3、6、9中的一个，请填出这个竖式.

蟋

8.在图5-31的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同

的数字，其中W=0.请用合适的数字替换字母，使得竖式成立.

第6讲行程问题一

内容概述

掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系，掌握基本相遇问题

和基本追及问题的解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程.

重点掌握画线段图的分析方法.

典型问题

兴趣篇

1.A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽

车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中

停留了1小时,如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程上每小时应

该行驶多少千米？

2.A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行,

如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：

(1)甲从A走到B需要多长时间？

(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？

3.在第2题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两

个人同时、同向出发.请问：乙出发后多久可以追上甲？

4.甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千

米的速度开往乙地，2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲

地.问：什么时候两车在途中相遇？

5.小悦和冬冬分别从相距720米的两地出发同向而行，且冬冬比小悦先出发2

分钟，已知小悦的速度是每分钟60米，冬冬的速度为每分钟50米，试问：当

小悦追上冬冬的时候，冬冬已经走了多少米？

6.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，公

共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问：

(1)2小时后两车相距多少千米？

(2)经过几小时后两车第一次相距50千米？

7.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300千米的两地同时出发，同向而行，公共

汽车在前，每小时行40千米；小轿车在后，每小时行60千米，问：

(1)经过6小时后两车相距多少千米？

(2)经过几小时后两车第一次相距100千米？

8.甲、乙两人分别在A地和B地，甲从A地到B地需要20分钟，乙从B地到

A地需要30分钟，如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？

9.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶40千

米，两车6小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了3小时，甲车到达B地,

问：乙车还要过多久才能到达A地？

10.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走50米，

乙走完全程要18分钟，出发3分钟后，甲、乙仍相距450米，问：还要过多少

分钟，甲、乙两人才能相遇？

拓展篇

I.甲、乙两地相距450千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快

车每小时行60千米，慢车每小时行30千米，试问：

(1)如果两车同时出发，几小时后相遇？

(2)如果慢车比快车早出发3小时，当两车相遇时快车走了多远?

2.A、B两地相距400千米,甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行，甲

车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问:

(1)从出发算起，多久后甲、乙两车第一次相距100千米？

(2)从出发算起，多久后甲、乙两车第二次相距100千米？

3.甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米,

乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2

小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？

4.冬冬步行上学，每分钟行75米，冬冬离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文

具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米，求爸爸追上冬冬所需要的时间隔。

5.小轿车和大货车上午9点同时同向从甲地出发，小轿车每小时开60千米，大

货车每小时开48千米，请问：下午几点的时候小轿车领先大货车72千米/

6.一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去，3

小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城，当小轿车到达

B城后，公共汽车离B城还有160千米，问：公共汽车什么时候到达B城？

7.甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行，甲每小时行36千米，乙每小

时行30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离。

8.小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米，实际上，由于高速公

路堵车，汽车每小时只行驶30千米，这样就晚到了2小时，请问：小悦一家在

路上实际花了几个小时？

9.甲从A地出发去B地办事情，下午1点出发，晚上7点准时到达，如果他想

下午2点出发，晚上7点准时到达，每小时就必须多行2千米，求A、B两地之

间的距离.

10.甲、乙两人分别在A、B两地同时出发，如果相向而行，1小时后两人相遇,

如果同向而行，3小时后甲追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？

11.甲、乙两人分别由A、B两地同时出发，相向而行，A、B两地相距48千米,

甲的速度是乙的3倍，请问：当甲、乙相遇的时候，甲走了多远？

12.猎狗追兔子，猎狗的速度是兔子的2倍，兔子径直往兔洞里跑，猎狗则紧随

其后.现在，猎狗距离洞口还有1000米，当猎狗跑到兔子现在的位置时，兔子

距离洞口将还剩100米，问：现在兔子距离洞口多少米？最终兔子会被猎狗追

上吗？

超越篇

L小悦、冬冬骑车从甲地同时出发，同向而行，小悦的速度比冬冬的速度每小

时快4千米，因此小悦比冬冬早20分钟通过途中的乙地，当冬冬到达乙地时，

小悦又前进了8千米，求甲、乙两地之间的距离.

2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，6小时后相遇在中点，如果甲延迟1

小时出发，乙每小时少走4千米，两人仍在中点相遇，请问：甲、乙两地相距

多少千米？

3.冬冬平时每天上学都是先步行10分钟后再跑步2分钟，某天他步行6分钟后

就开始跑步，结果比平时早到了2分钟，请问：冬冬跑步的速度是步行速度的

几倍？

4.阿奇家离学校1000米，平时他步行25分钟后准时到校，有一天他晚出发10

分钟，为避免迟到，阿奇先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校，已知

公共汽车的速度是阿奇步行速度的6倍，请问：阿奇这天上学步行了多少米？

5.甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，已知：甲车速度是乙车

的2倍，甲、乙到达途中C站的时刻依次为5：00和17：00.问：两车是在几

点相遇的？

6.甲、乙两人分别由A、B两地同时出发，如果相向而行，1小时后两人相遇:

如果同向而行，且乙先出发2小时，那么甲3小时后追上乙.请问：甲的速度是

乙的几倍？

7.如图6・1所示，一条笔直的公路上有有个车站A1,A2,A3……A16,已知相

邻两站之间的距离都相等，有一天，甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站.甲

先出发，当甲到达第2站时，已出发，当乙到达第3站时丙出发，如果丙在第4

站追上乙，甲和丙同时到达第16站，那么甲的速度是乙的速度的几倍？

8.甲、乙两人分别从相距24千米的A、B两地同时出发同向而行，一段时间后

甲在C点追上乙，如果甲每小时多走1千米，而乙每小时少走1千米，则甲追

上乙的时间会少用2小时，且追上的地点与C点相距12千米，试问：如果甲、

乙两人以原速度分别从A、B两地同时出发相向而行，需要几个小时相遇？

第7讲

第8讲抽屉原理一

内容概述

理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考

虑某些问题时，需要利用最不利原则进行分析.

典型问题

兴趣篇

1.学校周末要组织四个班的同学去春游，有三个地点可供选择：石景山游乐园、

植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有两个班要去同

一个地点.

2.小悦，冬冬和阿奇到费步步家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们

一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人

至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块.

3.任意40个人中，至少有几个人属于同一生肖？

4.有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都

足够多，一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相同？

5.某校的小学生中，年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少选几个

学生，就能保证其中一定有三个学生的年龄相同？

6.有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各10支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那

么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？

7.口袋里装有红、黄、蓝、绿这4种颜色的球，且每种颜色的球都有4个，小

华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的

球中每种颜色的球都有？

8.一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花

色的牌各13张，那么：

（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？

（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？

（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？

9.把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内，如图8-1,A盒中放的最多,

放了13块，且四个盒子内装的巧克

B

困8-1

（1）D盒最少可以装几块?

（2）D盒最多可以装几块?

10.圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐，当再有一人入

座时，就必须和已就坐的某个人相邻，问：已就坐的最少有多少人？

拓展篇

1.红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的.试说明：

他们中一定有两个人是在同一天出生的.

2.某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查，是不是一定有12个

人会去同一城市？“一定有13个人去同一城市”这个说法正确吗？

3.一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有

放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一

格内？

4.一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其

中有5条相同品种的鱼?

5.冬冬把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那

么他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？(围

棋子有黑、白两种颜色)

6.在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口

味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻.请问：

(1)至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？

(2)至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？

7.一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有

8个，蓝色的有3个，绿色的有1个，请问：

(1)一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？

(2)一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？

8.一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花

色的牌各13张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少

包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？

9.黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根，混杂放在一起，在黑暗中取出一

些筷子.要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双），

那么最少要取多少根才能保证达到要求？

10.将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一

个布袋里，请问：

（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？

（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只

袜子颜色相同即为一双）

11.31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那

么男生最多有多少人？

12.现有10把钥匙分别能开10把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁.最少要

试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？

超越篇

1.体育馆里有足球、篮球和排球3种球，一个班的50名学生去借球，每人最少

借1个，最多可以借2个，请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全

一样？

2.把31个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过3个，那么至少有

几只猴子得到的桃子一样多？

3.有37个数，每个数为。或1.要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上

时，总能找到6个1连排在一起，问：其中最少有多少个数是1?

4.有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字，其中写0的有1

个，写1的有2个，写2的有3个，……，写9的有10个.如果闭着眼睛从袋

中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有3个，它们上面

的数字恰好组成678?（考虑"9”倒过来看是“6”）

5.一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8

个，现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少

要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则

至少要取出多少个球？

6.50个苹果分给8个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如

果1号小朋友最多给2个，2号最多给4个，3号最多给6个，……8号最多给

16个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？

7.888名学生站成一个圆圈，如果任意连续32人中，至多有9名男生，那么男

生的人数最多有多少人？

8.新春佳节，商场举办抽奖活动，抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32、

30、28、26、24张，每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付2