中考数学二轮复习冲刺第16讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第16讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识导图】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.··OAB·ABOm·ABOm要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】题型一、正多边形有关计算 例1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（） A.4 B.QUOTEC.QUOTE D.5【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【变式2】已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为.题型二、正多边形与圆综合运用例2．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是()A．B．C．D．例3．如图，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【中考过关真题练】一．选择题（共7小题）1．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是（）A．（﹣，﹣3） B．（﹣3，﹣） C．（3，﹣） D．（﹣，3）2．（2022•安顺）如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．5﹣π B．5﹣ C．﹣ D．﹣3．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．（2﹣2，3） B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）4．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°5．（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π6．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．37．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A． B． C．3 D．2二．填空题（共6小题）8．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．9．（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．10．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．11．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．12．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为．13．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．三．解答题（共1小题）14．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．

【中考挑战满分模拟练】一．填空题（共6小题）1．（2023•抚州一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有．2．（2023•琼山区一模）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为．3．（2023•汉阳区校级一模）线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是°．4．（2023•雁塔区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若该正六边形的边长为5，则⊙O的面积等于．5．（2023•泸县校级模拟）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为．6．（2023•定远县校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为．

【名校自招练】一．选择题（共9小题）1．（2017•双流区校级自主招生）如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）2．（2018•蔡甸区校级自主招生）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．3．（2019•顺庆区校级自主招生）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（）A．50 B．40 C． D．1004．（2020•和平区校级自主招生）如图是边长为2的正方形及其内切圆和外接圆，则图中阴影部分的总面积为（）A．3π﹣4 B．π+4 C．5π﹣4 D．3π+45．（2021•和平区校级自主招生）我国魏晋时期数学家刘徽在公元263年撰写的《九章算术》中提出了一种估计π的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正6n边形的周长估计圆的周长进而估计π的近似值，且n越大时圆内接正6n边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近π．当n＝1时，如图，用这种方法估计此时π的近似值为（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.1416．（2019•汉阳区校级自主招生）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）（）A．80 B．40 C．25 D．1007．（2018•青羊区校级自主招生）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）A．（﹣m，﹣n） B．（m，﹣n） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a）8．（2017•平阳县自主招生）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A． B． C． D．29．（2020•温江区校级自主招生）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术“，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图，连接⊙O的内接正十二边形顶点得到AB，BC，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．2 B．2 C．π D．二．填空题（共8小题）10．（2019•宝山区校级自主招生）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为．11．（2017•双流区校级自主招生）一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为cm2．12．（2021•黄州区校级自主招生）如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为2，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于．13．（2020•洪山区校级自主招生）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为．14．（2017•江阴市自主招生）如图，已知M（3，3），⊙M的半径为2，四边形ABCD是⊙M的内接正方