中考数学二轮复习冲刺第11讲 特殊三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第11讲特殊三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识导图】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】题型一、等腰三角形例1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．例2．已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证:AE=AF．(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.求证：CE=DE.题型二、直角三角形例3．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．（1）求证：BE⊥AC；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．例4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．

【变式】.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________.题型三、综合运用例5.如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．又∵，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.例6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

【变式】如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【中考过关真题练】一．选择题（共9小题）1．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．42．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．2 D．43．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（）A．34° B．44° C．124° D．134°4．（2022•德州）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（）A．100° B．105° C．110° D．120°5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3 C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠36．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6 B．3 C．1.5 D．17．（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．38．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（）A．5 B．4 C．6 D．89．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二．填空题（共10小题）10．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．11．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．12．（2022•黔西南州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC与DE相交于点F．若BC∥AE，则∠AFE的度数为．13．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝．14．（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．15．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．16．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝．17．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m（结果取整数，参考数据：≈1.7）．18．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．19．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝．三．解答题（共4小题）20．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．21．（2022•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．22．（2022•徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．（1）∠EDC的度数为°；（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；（4）求的最大值．23．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．

【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共11小题）1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（）A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°2．（2023•碑林区校级二模）如图，△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若CD＝2，则BD的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．（2023•雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，则的值为（）A． B． C． D．4．（2023•泰山区校级一模）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25 B．25 C．50 D．255．（2023•定远县校级一模）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．186．（2023•定远县校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠A＝40°，则有（）A．∠1＝50° B．∠1＝40° C．∠1＝35° D．∠1＝20°7．（2023•海棠区一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°8．（2023•黔江区一模）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．60° B．80° C．70° D．100°9．（2023•定远县校级一模）如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．85°10．（2023•瑶海区校级模拟）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+211．（2023•深圳模拟）如图，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，AB与CD交于点E，若BC＝2，AB＝4，则点D到AC的距离是（）A． B． C． D．二．填空题（共2小题）12．（2023•金安区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D，CD＝OD，则∠BAC＝°．13．（2023•深圳模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝．三．解答题（共8小题）14．（2023•阎良区一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，，点D是AB边的中点．点E是射线BC上的一动点（点E不与点B重合）．点F在ED的延长线上，且DF＝DE，DG⊥EF，垂足为点D，DG交边AC于点G．（1）求证：AF∥BC；（2）当点E在线段BC上时，设AG＝x，CE＝y，求y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；（3）当CE＝2时，直接写出AG的长．15．（2023•雁塔区一模）如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E为△ABC内一点，连接ED并延长到F，使得ED＝DF，连接AF、CF．（1）求证：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求证：AF2＝AB2+BE2；（3）如图②连接，探索当∠BEC与∠BAC满足什么数量关系时，AC＝AF，并说明理由．16．（2023•鼓楼区校级一模）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．（1）根据题意画出图形；（2）求证：AE＝BD；（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．17．（2023•琼山区一模）已知△ABC为等边三角形，点D、E分别是BC、AC上一点．（1）如图1，BD＝CE，连接AD、BE，AD交BE于点F，在BE的延长线上取点G，使得FG＝AF，连接AG，若AF＝4，求△AFG的面积；（2）如图2，AD、BE相交于点G，点F为AD延长线上一点，连接BF、CF、CG，已知BD＝CE，∠BFG＝60°，∠AEB＝∠BGC，探究BF、GE、CF之间的数量关系并说明理由；（3）如图3，已知AB＝12，过点A作AD⊥BC于点D，点M是直线AD上一点，以CM为边，在CM的下方作等边△CMN，连DN，当DN取最小值时请直接写出CM的长．18．（2023•丰台区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）19．（2023•延安一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段CD、AD上的点，且DE＝DF，AE与BF的延长线交于点G，则AE与BF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，点E、F分别在DC和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交BF于点G．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由；②连接DG，若DG＝4，DE＝6，求EG的长．20．（2023•深圳模拟）（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长．（2）类比探究：如图2，△ABC中，AC＝14，BC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°，DE＝2．求AD的长．（3）拓展延伸：如图3，△ABC中，点D，点E分别在线段AB，AC上，∠EDB＝∠ACB＝60°．延长DE，BC交于点F，AD＝4，DE＝5，EF＝6，DE＜BD，＝；BD＝．21．（2023•黔江区一模）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB．（1）证明：△EAC≌△DBC；（2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明．（3）在A的运动过程中，当，时，求△ACM的面积．

【名校自招练】一．选择题（共10小题）1．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（）A．110° B．70° C．55° D．70°或55°2．（2021•江夏区校级自主招生）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB，若∠BGE＝100°，则∠ADE的度数为（）A．18° B．20° C．25° D．30°3．（2022•温江区校级自主招生）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．40°4．（2019•南岸区自主招生）如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树A，B间的距离，小亮测得了以下数据：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，则A，B间的距离是（）A．10m B．15m C．20m D．25m5．（2022•巴南区自主招生）如图，a∥b，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1＝12°，则∠2等于（）A．24° B．30° C．33° D．35°6．（2019•顺庆区校级自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（）条．A．5 B．7 C．9 D．107．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．70°8．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1，h2，h3且满足h2+h3﹣h1＝18，那么等边△ABC的面积为（）A． B． C． D．9．（2021•太仓市自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2019•柯桥