中考数学二轮复习冲刺第04讲 一次方程及方程组【挑战中考满分模拟练】（解析版）

第04讲一次方程及方程组【挑战中考满分模拟练】一．解一元一次方程（共2小题）1．（2022•沙市区模拟）对于某些用无限循环的形式表达的数可用方程的思想求解，例如，将无限循环小数0.化为分数，可以设0.＝x，则10x＝7+x，解得．仿此，实数的值为（）A． B．2 C．4 D．﹣1或2【分析】仿照题中得例题求解．【解答】解：设＝x，两边平方得：2+＝x2，即：2+x＝x2，解得：x＝2或x＝﹣1（舍去），故选：B．【点评】本题考查了解一元一次方程，仿写例题是解题的关键．2．（2021•衡水模拟）定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，都有a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，等式右边是通常的加法、减法运算，如a＝2，b＝1时，a⊗b＝2+1＝3，a⊕b＝2﹣1＝1．（1）求（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）的值；（2）化简：a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab；（3）若2x⊗1＝﹣（x﹣2）⊕4，求x的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用已知的新定义计算即可求出值；（3）已知等式利用已知的新定义计算求出x的值即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）＝（﹣2）+3+4﹣（﹣2）＝1+6＝7；（2）根据题中的新定义得：a2b⊗3ab+5a2b⊕4ab＝a2b+3ab+5a2b﹣4ab＝6a2b﹣ab；（3）由2x⊗1＝﹣（x﹣2）⊕4，可得，2x+1＝﹣（x﹣2）﹣4，整理得：3x＝﹣2﹣1，解得：x＝﹣1．【点评】此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．二．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）3．（2022•太平区一模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（）A． B． C． D．【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量“1”，根据此列方程即可．【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣10）天，本题中把总的工作量看成整体“1”，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的．根据等量关系列方程得：．故选：D．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．4．（2022•渝中区校级模拟）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（）A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120x C．240x＝120（x+12） D．240x＝120（x﹣12）【分析】设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，根据路程＝速度×时间结合两匹马跑过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，依题意，得：240x＝120（x+12）．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5．（2022•武昌区模拟）有一道题：今有人共买羊，人出七，不足三；人出八，盈十六，问人数、羊价几何？译文为：现在有若干人共同买一头羊，若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱．求买羊的人数和这头羊的价格？设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（）A．7x+3＝8x+16 B．7x﹣3＝8x﹣16 C．7x+3＝8x﹣16 D．7x﹣3＝8x+16【分析】设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x+3）钱或（8x﹣16）钱，根据羊的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程．【解答】解：设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为7x+3＝8x﹣16，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三．一元一次方程的应用（共10小题）6．（2022•开福区校级一模）某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（）A．288 B．360 C．288或316 D．360或395【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过100元，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，依题意有x×0.9＝252，解得：x＝280．②第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，依题意有x×0.8＝252，解得：x＝315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280＝360（元）或80+315＝395（元），均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8＝288（元），395×0.8＝316（元）．故选：C．【点评】此题考查一元一次方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．7．（2022•潍坊二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如表：行驶里程计费方法不超过3公里起步价8元超过3公里且不超过7公里的部分每公里按标准租费收费超过7公里且不超过25公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过25公里且不超过100公里的部分每公里再加收标准租费的75%超过100公里的部分每公里再加收标准租费的100%说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【分析】可设行驶里程为x公里，根据等量关系：某人一次乘车费用为26元，列出方程计算即可求解．【解答】解：设行驶里程为x公里，依题意有：8+（7﹣3）×1.8+（x﹣7）×1.8×（1+0.5）＝26，解得x＝11．故行驶里程为11公里．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程．8．（2022•自贡模拟）欣欣服装店某天用相同的价格a（a≥0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．不确定【分析】设第一件衣服的进价为x元，第二件衣服的进价为y元，根据（1+20%）乘以进价x等于a，（1﹣20%）乘以y等于a，列出两个方程，然后解得x和y的数量关系，再根据总体盈利情况等于盈利的20%减去亏损的20%，计算得出结果即可．【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，第二件衣服的进价为y元，由题意得：（1+20%）x＝a，（1﹣20%）y＝a∴（1+20%）x＝（1﹣20%）y整理得：3x＝2y∴y＝1.5x∴该服装店卖出这两件服装的盈利情况是：20%x﹣20%y＝0.2x﹣0.2×1.5x＝﹣0.1x＜0即赔了0.1x元．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．9．（2022•丹江口市模拟）将正整数1至2016按一定规律排列如下：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2000 B．2019 C．2100 D．2148【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，进而可得出三个数之和为3x，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第七列数，即可确定x值，此题得解．【解答】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）＝3x．根据题意得：3x＝2019、3x＝2000、3x＝2100、3x＝2148，解得：x＝673，x＝666（舍去），x＝700，x＝716．∵673＝96×7+1，∴2019不合题意，舍去；∵700＝100×7，∴2100不合题意，舍去；∵716＝102×7+2，∴三个数之和为2148．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．（2022•南川区模拟）夏天到了，体育中心为吸引顾客，在5月份的时候开设了一个夜市，分为运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区，三者摊位数量之比为5：4：3，城管对每个摊位收取60元/月的管理费，到了6月份，由于顾客人数增加，该体育中心扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于运动体验区，结果运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的，同时城管将运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区每个摊位每月的管理费按50元、40元、30元收取，结果城管6月份收到的管理费比5月份增加了，则休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比是2：11．【分析】先设运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为5a个，4a，个3a个，6月份新增的总摊位数为b个，运动体验区的新增摊位数为b个，物资补给区新增摊位数为x，则休闲娱乐区的新增的摊位数为（b﹣x）个，表示出运动体验区的摊位数为和6月份总摊位，根据运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的，得到b＝10a，再根据6月份收到的管理费比5月份增加了，列出方程，求得x＝2a，然后再求休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比即可．【解答】解：设运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为5a个，4a，个3a个，则5月份的管理费为（3a+5a+4a）×60＝720a元．设6月份新增的总摊位数为b个，运动体验区的新增摊位数为b个，则运动体验区的摊位数为（5a+b）个，则6月份总摊位有（12a+b）个，∴＝，解得，b＝10a，设物资补给区新增摊位数为x，则休闲娱乐区的新增的摊位数为（b﹣x）个，则6月份的管理费为50（5a+b）+40（x+4a）+30（b﹣x+3a）＝720a（1+），解得，x＝2a，∴休闲娱乐区的新增的摊位数为b﹣x＝6a﹣2a＝4a，该夜市6月的总摊位数为12a+b＝22a，∴休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比是＝＝2：11，故答案为：2：11．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解答此题的关键．11．（2022•万州区校级一模）某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为5：7．【分析】根据可得去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a．去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b，再根据今年水果总产量的关系可得今年种植面积的比为6：5：3，最后根据丙种水果的总产量与今年水果总产量的关系可得答案．【解答】解：∵去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．∴设去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a．设去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b．∴今年甲种水果的平均亩产量为6b（1+50%）＝9b，则乙种水果的平均亩产量为3b（1+20%）＝3.6b，丙种水果的平均亩产量为5b．设今年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为x：y：z，∴今年甲种水果的总产量为9bx，乙种水果的总产量为3.6by，丙种水果的总产量为5bz，依题意得，9bx＝3×3.6by①，5×3.6by＝6×5bz②，分别整理①、②得，x＝1.2y，z＝0.6y，∴x：y：z＝6：5：3，∴可设今年甲的种植面积为6c，乙的种植面积为5c，丙的种植面积为3c，今年水果总产量为54bc+18bbc+15bc，丙水果增加的总产量为（54bc+18bbc+15bc）×＝5bc，依题意得，5b•2a+5bc＝5b•3c，整理得，a＝c，∴三种水果去年的种植总面积5a+3a+2a＝10a，今年的种植总面积为6c+5c+3c＝14c＝14a，10a：14a＝5：7．故答案为：5：7．【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系整理出去年三种水果的总面积和今年三种水果的总面积是解题关键．12．（2022•雁塔区校级模拟）某单位计划元旦组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且到地的旅游价格都是每人300元，已知A旅行社表示可给每人七五折优惠，B旅行社可免去一人费用，其余八折优惠．当该单位旅游人数为多少时，支付A、B两旅行社的总费用相同？【分析】设当该单位旅游人数为x人时，支付给A、B两旅行社的总费用相同，根据“A旅行社表示给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠”即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设当该单位旅游人数为x人时，支付给A、B两旅行社的总费用相同，根据题意得：75%×300x＝80%×300（x﹣1），解得：x＝16．答：当该单位旅游人数为16人时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．【点评】考查了一元一次方程的应用．解题时要正确审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出解析式，当有两种或多种并列的解析式时要分别列出，然后利用解析式之间大小关系的比较来解题．13．（2022•苏州模拟）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．【分析】（1）根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可；（2）根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可．【解答】解：（1）设客房有x间，则根据题意可得：7x+7＝9x﹣9，解得x＝8；即客人有7×8+7＝63（人）；答：客人有63人．（2）如果每4人一个房间，需要63÷4＝15，需要16间客房，总费用为16×20＝320（钱），如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用＝18×20×0.8＝288（钱）＜320钱，所以他们再次入住定18间房时更合算．答：他们再次入住定18间房时更合算．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．14．（2022•砀山县模拟）为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6m．（1）按图示规律，第一图案的长度L1＝1.8m；第二个图案的长度L2＝3m．（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln之间的关系．（3）当走廊的长度L为36.6m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长3×0.6＝L1，第二个图案边长5×0.6＝L2；（2）由（1）得出则第n个图案边长为L＝（2n+1）×0.6；（3）根据（2）中的代数式，把L为36.6m代入求出n的值即可．【解答】解：（1）第一图案的长度L1＝0.6×3＝1.8，第二个图案的长度L2＝0.6×5＝3；故答案为：1.8，3；（2）观察图形可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，…则第n个图案中有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长L＝3×0.6，第二个图案边长L＝5×0.6，则第n个图案边长为L＝（2n+1）×0.6；（3）把L＝36.6代入L＝（2n+1）×0.6中得：36.6＝（2n+1）×0.6，解得：n＝30，答：需带有花纹图案的瓷砖的块数是30．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，以及一元一次方程的应用，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．15．（2022•丰泽区校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．消费金额（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上返还金额（元）060100150注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额为：1600﹣1280+100＝330（元）除以标价就是优惠率；（2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额；（3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析．【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元，消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元，则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）；（2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元；当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元；（3）1500÷80%＝1875（元），当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意；当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合．故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．故答案为：2000．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．四．二元一次方程的应用（共4小题）16．（2022•佳木斯模拟）春节前，小明用120元钱购买虎年吉祥物（两种都买），其中吉祥物挂件每件8元，吉祥物摆件每件12元，那么小明的购买方案有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【分析】设购买吉祥物挂件x个，吉祥物摆件y个，利用总价＝单价×数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论．【解答】解：设购买吉祥物挂件x个，吉祥物摆件y个，依题意得：8x+12y＝120，∴y＝10﹣x．∵x，y均为正整数，∴x为3的倍数，∴或或或，∴小明的购买方案有4种．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．17．（2022•铁锋区三模）喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【分析】设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价＝单价×数量，列出二元一次方程，结合x，y均为正整数，求出正整数解，即可得出购买方案的个数．【解答】解：设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，依题意得：8x+12y＝80，∴x＝10﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．18．（2022•高邮市模拟）小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设笔芯的数量为x，橡皮的数量为y，根据题意得出二元一次方程，再根据x和y都为正整数得出x和y可能的值即可．【解答】解：设笔芯的数量为x，橡皮的数量为y，根据题意得，x+1.5y＝9，∵x和y都为正整数，则或，∴小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差6﹣2＝4或4﹣3＝1，故选：C．【点评】本题主要考查二元一次方程的知识，熟练根据题意列出二元一次方程是解题的关键．19．（2021•乐清市二模）目前我国新冠病毒疫情有很大好转，但是防疫不能放松，某物业公司向超市购买A、B、C三种型号的消毒湿巾分别分给第一周、第二周、第三周工作的员工使用，每人每周1包，这三周员工人数之和为100人，已知购买1包A型湿巾和2包B型湿巾共需要130元，购买2包A型湿巾和3包B型湿巾共需要220元，已知C型湿巾每包10元，第一周员工人数＜第二周员工人数＜第三周员工人数．（1）求A型湿巾和B型湿巾的单价．（2）该超市促销方案如下：每购买1包A型湿巾则赠送2包C型湿巾．①若公司购买了第一周所需的A型湿巾后，赠送的C型湿巾刚好够第三周使用，求物业公司购买三种湿巾所需总金额的最小值．②若第三周需要的C型湿巾除了赠送外，还需另外购买，最终三种湿巾总共花费了2560元，求所有满足要求的购买方案．【分析】（1）设A型湿巾和B型湿巾的单价分别为a元，b元，根据题意可知，，解之即可；（2）①设第一周员工人数为m人，则第三周员工人数为2m人，第二周员工人数为（100﹣3m）人，根据题意可知，购买湿巾所需的总金额为：50m+40（100﹣3m）＝﹣70m+4000（元），因为100﹣3m＞2m＞0，所以0＜m＜20，再根据一次函数的性质可求解；②设第一周员工人数为x人，则第二周员工人数为y人，第三周员工人数为z＝（100﹣x﹣y）人，根据题意可知，购买湿巾所需的总金额为：50x+40y+10（100﹣2x﹣x﹣y）＝2560，整理得，2x+3y＝156，再结合x＜y＜100﹣x﹣y可求解．【解答】解：（1）设A型湿巾和B型湿巾的单价分别为a元，b元，根据题意可知，，解得，∴A型湿巾和B型湿巾的单价分别为50元，40元．（2）①设第一周员工人数为m人，则第三周员工人数为2m人，第二周员工人数为（100﹣3m）人，根据题意可知，购买湿巾所需的总金额为：50m+40（100﹣3m）＝（﹣70m+4000）元，∵m＜100﹣3m＜2m，∴20＜m＜25，∵﹣70＜0，∴当m＝24时，所需总金额最小为2320元．②设第一周员工人数为x人，则第二周员工人数为y人，第三周员工人数为z＝（100﹣x﹣y）人，根据题意可知，购买湿巾所需的总金额为：50x+40y+10（100﹣2x﹣x﹣y）＝2560，整理得，2x+3y＝156，令x＝y，可得x＝y＝31.2，又∵x＜y＜100﹣x﹣y，且z＝100﹣x﹣y＞2x，∴当y＝32时，x＝30，z＝38，不合题意，舍；当y＝34时，x＝27，z＝39，不合题意，舍；当y＝36时，x＝24，z＝40，不合题意，舍；当y＝38时，x＝21，z＝41，不合题意，舍；当y＝40时，x＝18，z＝42；当y＝42时，x＝15，z＝43；当y＝44时，x＝12，z＝44，不合题意，舍．综上，共有两种购买方案：当y＝40时，x＝18，z＝42；当y＝42时，x＝15，z＝43．【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，不定方程等知识，涉及一元一次不等式的应用，一次函数的性质等，第（2）问中②小题中，得到不定方程，并根据题干中的信息得到x，y，z的大小关系是解题关键．五．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）20．（2022•如皋市一模）《九章算术》中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．21．（2022•海曙区校级模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】设有绢x疋，布y疋，依据“今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯”列出方程组，此题得解．【解答】解：设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．六．二元一次方程组的应用（共16小题）22．（2022•鼓楼区校级二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程7x+4＝y，则符合题意的另一个方程是（）A．8x﹣3＝y B．8x+3＝y C． D．【分析】由已经列出方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出8元，多3元”，即可列出另一方程，此题得解．【解答】解：∵每人出7元，少4元，且已经列出一个方程7x+4＝y，∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．又∵每人出8元，多3元，∴8x﹣3＝y，故选：A．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．23．（2022•义乌市模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元【分析】设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设每件商品定价x元，进价y元，根据题意得：，解得：，即该商品每件进价155元，定价每件200元，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．24．（2022•石家庄三模）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格．小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（）A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C．+4＝x D．﹣4＝x【分析】由已经列出的方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出7文，少4文”，即可列出另一方程，此题得解．【解答】解：∵每人出8文，多3文，且已经列出一个方程8x﹣3＝y，∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．又∵每人出7文，少4文，∴7x+4＝y．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．25．（2022•渝中区校级模拟）某饮料厂生产的一款热卖饮料是由冰糖水、红茶水、草莓汁、纯牛奶四种原料按一定质量比配制而成．3月份，该款饮料中冰糖水与红茶水的质量比为3：2，草莓汁与纯牛奶的质量比为2：1：草莓汁每千克的进价是红茶水每千克进价的2倍，纯牛奶每千克的进价是冰糖水每千克进价的3倍.4月份，根据市场反应，该饮料厂改变配比推出了新款饮料，在3月份的基础上，红茶水和草莓汁的质量均增加，冰糖水的质量减少，纯牛奶的质量不变；草莓汁每千克的进价下降50%，纯牛奶每千克的进价上涨，其余原料每千克的进价不变，结果新款饮料的总成本比3月份推出的老款饮料的总成本多154元（饮料总成本为各种原料的成本之和），两款饮料红茶水与草莓汁的成本之和比两款饮料冰糖水和纯牛奶的成本之和多1106元，那么老款饮料与新款饮料中四种原料质量之和的比为．【分析】设老款饮料中的冰糖水的质量为3akg，则红茶水的质量为2akg，草莓汁的质量为2bkg，纯牛奶的质量为bkg，红茶水的成本为x元/kg，冰糖水的成本为y元/kg，则草莓汁的成本为2x元/kg，纯牛奶的成本为3y元/kg，根据价格变化可得出新款饮料对应的量，根据“新款饮料的总成本比3月份推出的老款饮料的总成本多154元（饮料总成本为各种原料的成本之和），两款饮料红茶水与草莓汁的成本之和比两款饮料冰糖水和纯牛奶的成本之和多1106元”列出方程，可得出a和b的关系，进而可得出老款饮料与新款饮料中四种原料质量之和的比．【解答】解：设老款饮料中的冰糖水的质量为3akg，则红茶水的质量为2akg，草莓汁的质量为2bkg，纯牛奶的质量为bkg，红茶水的成本为x元/kg，冰糖水的成本为y元/kg，则草莓汁的成本为2x元/kg，纯牛奶的成本为3y元/kg，根据题意可知，新款饮料中的冰糖水的质量为2akg，则红茶水的质量为3akg，草莓汁的质量为3bkg，纯牛奶的质量为bkg，红茶水的成本为x元/kg，冰糖水的成本为y元/kg，则草莓汁的成本为x元/kg，纯牛奶的成本为4y元/kg，∴老款饮料的总成本为：3ay+2ax+4bx+3by；新款饮料的总成本为：2ay+3ax+3bx+4by；∴（2ay+3ax+3bx+4by）﹣（3ay+2ax+4bx+3by）＝154，整理得（x﹣y）（a﹣b）＝154①．红茶水与草莓汁的成本＝2ax+3ax+4bx+3bx，冰糖水与纯牛奶的成本＝3ay+2ay+3by+4by，∴2ax+3ax+4bx+3bx﹣（3ay+2ay+3by+4by）＝1106，整理得，（5a+7b）（x﹣y）＝1106②，由①②可得a＝6.5b，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查一次方程的应用和理解题意的能力，关键是知道价格变化后，以成本为等量关系可列方程求解．26．（2022•泗阳县一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．（1）若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为420元（直接写出结果）．（2）若一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）（3）该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？【分析】（1）设一次性购买B场门票x张，每张票价为y元，用待定系数法求出当x≤70时的解析式，然后代入x＝10即可；（2）当一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，设每张票价为y元，用待定系数法求出解析式即可；（3）根据题意，分两种情况讨论：①当观看A场比赛的人数小于等于30的时候，每张票400元，得240m+400（120﹣m）＝32160；②当观看A场比赛的人数大于30小于50的时候，每张票（﹣5x+550）元，得240m+（120﹣m）（﹣5（120﹣m）+550）＝32160，解方程即可．【解答】解：（1）当x≤70时，设一次性购买B场门票x张，每张票价为y元，设解析式为y＝kx+b，将点（0，450）和（70，240）代入，得，解得，∴y＝﹣3x+450，当x＝10时，y＝﹣30+450＝420．故答案为：420．（2）当一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，设每张票价为y元，设y＝ka+b，将点（30，400），（70，200）代入，得，解得，∴y＝﹣5a+550，∴一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，需支付门票费用为：﹣5a2+550a．（3）设有m人观看了B场比赛，∵观看A场比赛的人数不足50人，总共有120人，∴观看B场比赛的人数大于70人，∴观看B场比赛的每张票240元．①当观看A场比赛的人数小于等于30的时候，每张票400元，∴240m+400（120﹣m）＝32160，解得m＝99．②当观看A场比赛的人数大于30小于50的时候，每张票（﹣5x+550）元，∴240m+（120﹣m）（﹣5（120﹣m）+550）＝32160，解得m＝72或m＝111（舍去），综上，有99人或72人观看了比赛．【点评】本题考查了方程和一次函数的综合，结合一次函数的图象并根据题意列方程是解决本题的关键．27．（2022•海珠区二模）火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排25人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木70棵或B花木60棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】（1）首先设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，根据题意可得等量关系：①A、B两种花木共6600棵；②A花木数量＝B花木数量的2倍﹣600棵，根据等量关系列出方程，再解即可得A、B两种花木的数量；（2）设应安排a人种植A花木，则安排（25﹣a）人种植B花木，由题意可等量关系：种植A花木所用时间＝种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可判断．【解答】解：（1）设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，由题意得：，解得：，答：A种花木的数量为4200棵，B种花木的数量为2400棵；（2）设安排a人种植A花木，由题意得：＝，解得：a＝15，经检验：a＝15是原分式方程的解，25﹣a＝25﹣15＝10，答：应安排15人种植A花木和10人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】此题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．28．（2022•澄迈县模拟）有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%，问这两块试验田改用良种后，各增产花生多少千克？【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“原来两块试验田可产花生470千克”和“改用良种后两块田共产花生532千克，第一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%后的产量”，列方程组求解即可．【解答】解：设第一，二块田原产量分别为x千克，y千克．得，解得，所以16%x＝40，10%y＝22．答：第一块田增产40千克，第二块田增产22千克．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．29．（2021•永嘉县校级模拟）某蔬菜基地打算将115吨的蔬菜运往县城销售，现找到一物流公司有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载，并且每种车型数量足够）：车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费7800元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）蔬菜基地计划用甲、乙、丙三种车型共15辆同时参与运送，将全部蔬菜运往县城销售，如何安排装运，可使运费最省？最省运费是多少？【分析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据蔬菜的总重量为115吨以及总运费为7800元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种车型用a辆，乙种车型用b辆，则丙种车型用（15﹣a﹣b）辆，根据蔬菜的总重量为115吨结合各种车型的运载量，即可得出关于a、b的二元一次方程，进而即可用含b的代数式表示出a，由a，b，15﹣a﹣b均为正整数可得出b＝5或10，设总运费为W元，根据总运费等于各种车型运费之和，即可得出W关于b的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据题意得：，解得：．答：需甲种车型7辆，乙种车型10辆．（2）设甲种车型用a辆，乙种车型用b辆，则丙种车型用（15﹣a﹣b）辆，根据题意得：5a+8b+10（15﹣a﹣b）＝115，化简得：5a+2b＝35，即a＝7﹣b，∴15﹣a﹣b＝8﹣b．∵a，b，15﹣a﹣b均为正整数，∴b只能为5或10．设总运费为W元，则W＝400（7﹣b）+500b+600（8﹣b）＝﹣20b+7600，∵k＝﹣20＜0，∴W的值随b值的增大而减小，∴当b＝10时，W取到最小7400．答：甲车3辆，乙车10辆，丙车2辆时，运费最省，最省运费是7400元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据总运费等于各种车型运费之和，找出W关于b的函数关系式．30．（2021•商河县一模）某市火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】（1）根据在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：（1）设A，B两种花木的数量分别是x棵、y棵，，解得，，即A，B两种花木的数量分别是4200棵、2400棵；（2）设安排种植A花木的m人，则种植B花木的（13﹣m）人，，解得m＝7，检验：当m＝7时，60m≠0，40（13﹣m）≠0，故原分式方程的解是m＝7，∴13﹣m＝6，答：安排种植A花木的7人，种植B花木的6人，可以确保同时完成各自的任务．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和分式方程，注意分式方程要检验．31．（2021•奎屯市三模）有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？【分析】本题等量关系比较明显：2辆大车运载吨数+3辆小车运载吨数＝15.5；5辆大车运载吨数+6辆小车运载吨数＝35．算出1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨后，再算3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨．【解答】解：设大货车每辆装x吨，小货车每辆装y吨根据题意列出方程组为：解这个方程组得所以3x+5y＝24.5．答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题应注意不能设直接未知数，应先算出1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨后再进行计算．32．（2020•南康区模拟）南康是中部家具产业基地，某家具厂接到订单要生产如图所示的正三棱柱家具配件6000个，每个配件由3个矩形侧面和2个等边三角形底面组成．仓库现有甲、乙两种规格的木板共2600张，其中甲种木板刚好可以裁出4个侧面，乙种木板可以裁出3个底面和2个侧面．（裁剪后边角料不再利用，拼接材料忽略不计）（1）若裁出的侧面和底面恰好全部用完，问两种木板各有多少张？（2）仓库的这些木板是否能满足这批订单的需要？如果能，请求出还可剩余甲、乙木板各多少张；如果不能，那么至少还需要甲、乙木板各多少张才能生产出这批订单．【分析】（1）设甲种规格的纸板有x张，乙种规格的纸板有y张，根据两种纸板共2600张且3个侧面和2个底面做一个家具配件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）通过计算，矩形侧面的数量小于6000×3张，故不能满足订单，设还需要a张甲种木板，b张乙种木板．即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种规格的纸板有x张，乙种规格的纸板有y张，依题意，得：，解得：．答：甲种规格的纸板有1000张，乙种规格的纸板有1600张．（2）1000×4+1600×2＝7200（张），7200＜6000×3，故不能满足订单，设还需要a张甲种木板，b张乙种木板．，解得：．故还需要1500张甲种木板，2400张乙种木板．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．33．（2020•宁波模拟）有16张全等的矩形卡纸．其中8张恰好拼成如图1的大矩形，其余8张可拼成如图2的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为8cm的小正方形．用这16张卡纸做三棱柱盒子，每个三棱柱盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，每张卡纸用图3或图4所示方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．A方法：剪5个侧面；B方法：剪3个侧面和10个底面．（1）求每张卡纸的长和宽．（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，16张卡纸是否能满足这个要求？若能满足，求所做的三棱柱盒子的个数；若不能满足，则至少要增加多少张卡纸，才能满足要求？请说明你的理由．（3）在满足（2）要求的前提下，要给所做的三棱柱盒子表面涂色，直接写出涂色部分的总面积．【分析】（1）设每张卡纸的长为xcm、宽为ycm，根据题意列出方程组解答即可；（2）设卡纸用图3方案的为a张，图4方案为b张，则侧面为（5a+3b）张，底面为10b张，根据题意列出二元一次方程求整数解即可；（3）结合（1）（2）先求出一个三棱柱的面积，进而可得结果．【解答】解：（1）设每张卡纸的长为xcm、宽为ycm，根据题意，得，解得，答：每张卡纸的长为40cm、宽为24cm；（2）不满足，理由如下：设卡纸用图3方案的为a张，图4方案为b张，则侧面为（5a+3b）张，底面为10b张，根据题意，得＝，且a，b为整数，若a+b＝16，由上式可知：5a＝12b，则无整数解，最小整数解为a＝12，b＝5，则需增加1张卡纸；（3）由（2）知：侧面有60+15＝75（个），可以做成25个三棱柱，即25×2＝50（个）底面，由（1）知：一个三棱柱的面积为：S＝3×8×24+8×4＝（576+16）cm2，∴总面积为：S总＝25S＝25（576+16）＝（14400+400）cm2．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，等边三角形的性质，认识立体图形，解决本题的关键是综合掌握以上知识．34．（2020•运城模拟）某市园林局准备种植A种花木4200棵，B种花木2400棵．现计划安排26人同时种植这两种花木，已知每人每天能种植A种花木30棵或B种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两种花木，才能确保同时完成各自的任务？【分析】设安排x人种植A种花木，则安排y人种植B种花木，根据题意可得等量关系：种植A种花木人数+种植B种花木人数＝26、种植A种花木所用时间＝种植B种花木所用时间，根据等量关系列出方程组求解即可．【解答】解：设安排x人种植A种花木，安排y人种植B种花木，根据题意，得：，解得：．答：应安排14人种植A种花木，安排12人种植B种花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】此题主要考查方程组和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．35．（2021•阿城区一模）一汽车销售商店经销A，B两种型号轿车，用400万元购进A型轿车10辆和B型轿车20辆；用300万元可以购进A型轿车9辆，B型轿车14辆．（1）求A型、B型轿车每辆进价分别为多少万元？（2）若该汽车销售商店购进A、B两种型号的轿车共60辆，且购车资金不超过700万元，该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆？【分析】（1）等量关系为：10辆A轿车的价钱+20辆B轿车的价钱＝400万元；9辆A轿车的价钱+14辆B轿车的价钱＝300万元；（2）根据（1）中求出AB轿车的单价，然后根据关键语“用不超过700万元购进A、B两种型号轿车共60辆”列出不等式，解出不等式即可．【解答】解：（1）设A型号的轿车每辆进价为x万元，B型号的轿车每辆进价为y万元．根据题意得，解得．答：设A型号的轿车每辆进价为10万元，B型号的轿车每辆进价为15万元．（2）设汽车销售商店至少购进A型轿车x辆，则B型轿车（60﹣x）辆，由题意得，10x+15（60﹣x）≤700，解得：x≥40．答：该汽车销售商店至少购进A型轿车40辆．【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式的运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．36．（2021•襄阳模拟）文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票价上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？【分析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可；（2）有两种情况：①当180≤x＜210时，学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y＝51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），②当0＜x＜180时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，得到解析式是y＝﹣30x+17010；（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y＝﹣13x+13950和当0＜x＜180时，y＝﹣30x+17010，分别讨论即可．【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：，解得，则2m＝20，答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人．（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），即y＝﹣13x+13950（180≤x＜210），②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51x+81（210﹣x），即y＝﹣30x+17010（0＜x＜180），答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y＝﹣13x+13950（180≤x＜210）或y＝﹣30x+17010（0＜x＜180）．（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y＝﹣13x+13950，∵﹣13＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝209时，y的值最小，最小值为11233元，当x＝180时，y的值最大，最大值为11610元．当0＜x＜180时，y＝﹣30x+17010，∵﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝179时，y的值最小，最小值为11640元，当x＝1时，y的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元，答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．【点评】本题主要考查对一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．37．（2021•湖北模拟）某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．【分析】（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不同型号的彩票扎数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝45000，然后根据实际含义确定他们的解．（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较，可以得出结果．（3）有两个等量关系：A彩票扎数+B彩票扎数+C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数+购买B彩票钱数+购买C彩票钱数＝45000．设三个未知数，用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，然后根据三个未知数的取值范围都小于20，得出一元一次不等式组，求出解集，最后根据实际含义确定解．【解答】解：（1）若设购进A种彩票x张，B种彩票y张，根据题意得：x+y＝1000×20；1.5x+2y＝45000，解得：x＝﹣10000，y＝30000，∴x＜0，不合题意；若设购进A种彩票x张，C种彩票y张，根据题意得：x+y＝1000×20；1.5x+2.5y＝45000，解得：x＝5000，y＝15000，若设购进B种彩票x张，C种彩票y张，根据题意得：2x+2.5y＝45000；x+y＝1000×20．解得：x＝10000，y＝10000，综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行，即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎；（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×15000＝8500（元），若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000＝8000（元），∴为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎；（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎．设购进A种彩票m扎，B种彩票n扎，C种彩票h扎．由题意得：m+n+h＝20；1.5×1000m+2×1000n+2.5×1000h＝45000，即h＝m+10，∴n＝﹣2m+10，∵m、n都是正数∴1≤m＜5，又m为整数共有4种进票方案，具体如下：方案1：A种1扎，B种8扎，C种11扎；方案2：A种2扎，B种6扎，C种12扎；方案3：A种3扎，B种4扎，C种13扎；方案4：A种4扎，B种2扎，C种14扎．【点评】（1）从A，B，C中同时取出两种，有三种情况．（2）在求几个未知数的取值范围时，注意转化，利用等量关系用含有同一个未知数的代数式去表示另外的未知数，转化为求一元一次不等式组的解集．七．三元一次方程组的应用（共4小题）38．（2022•重庆模拟）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第一天一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为215.8元．【分析】首先设A，B两种水果的单价为y元，C种水果单价为x元，A种水果的销量为a，D种水果的销量为b，可得D种水果的单价为7x元，C种水果的销量为a，B种水果的销量为7b，根据题意列出不等式，由第一天的单价与销量均为正整数确定出各参数的值，再代入第二天的总销售额确定出最大值即可．【解答】解：设A，B两种水果的单价为y元，C种水果单价为x元，A种水果的销量为a，D种水果的销量为b，则D种水果的单价为7x元，C种水果的销量为a，B种水果的销量为7b，根据题意，得，∵第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，∴（a+7b）y﹣（a+7b）x＝126，∴（a+7b）（y﹣x）＝126，∵四种水果第一天的单价与销量均为正整数，∴y﹣x＝7或y﹣x＝9，a+7b＝18或a+7b＝14，再由，可得x＝3或2或1，当y﹣x＝7时，a+7b＝18，此时x+y＝13或11或9；a＝11，b＝1或a＝4，b＝2；当y﹣x＝9时，a+7b＝14，此时x+y＝15或13或11；a＝7，b＝1；第二天四种水果总销售额为a（x+y）+5.6b（x+y）＝（x+y）（a+5.6b）元，如果总销售额最多，那么a＝11，b＝1，x+y＝13，此时销售额＝13×16